华东师大版八年级上册11.1平方根讲义

1、典型例题：平方根例1说出一个正数的算术平方根与平方根的区别与联系.解：(1) 一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数，其中正的平 方根叫做算术平方根.(2) 一个数的算术平方根与平方根的平方都等于这个数.例2如图，把12个边长为1cm的正方形拼在一起.(1)算出4点到仄c、d、e、尸之间的长度.(2)以图中a、b、c、d、e、产中的三个点为顶点的三角形中有没有等腰 三角形？如果有写出这些三角形，并说明它们为什么是等腰三角形.“分析：利用勾股定理可以算出a点与c d、e、/各点的距离.(2)找到某 一点到另外两个点的距离相等，就可以确定由这三个点为顶点的三角形是等腰三 角形.解：(1)

2、ab = 3cm. ac=v42+12 =vt7cm.ad= a/42+22 =商= 2氐 m.ae = 77 + 3?=后=5 cm.af = j22+32 =v13cm.(2)图中ceeab石尸是等腰三角形，因为石。二石/=26,因此(?石尸是 等腰三角形.又因为be=bf= j32 +仔=、/mcm,因此me尸是等腰三角形.例3在直角三角形a8c中，小是两条直角边,j为斜边，若=9.23/ = 13.46, 求c的长(精确到。.01).分析：根据勾股定理，/+=。2,代入相关的数据，利用求平方根的方法可求出c的值.解：cr +b2 =c2 ,且a = 9.23,z? = 13.46,例4

3、求下列各数的平方根.22(1) 9(2) 3(3) 0. 8149解：. (3)2=99的平方根是3,即土豆=土3.22 16913/ 16949 49749.噂的平方根是若，即土得土争(3) (0.9)2 =0.81a0. 81的平方根是0.9,即土疝加=0.9.说明：命题目的：给出一个正数，会求出平方根.解题关健：一个正数有两个平方根并互为相反数.错解剖析：容易犯漏掉负的平方根的错误.例5求下列各数的平方根和算术平方根.2io(1) 0.0064(2) 2(3) 1-()2(4) (-7)24913解答：(1)因为(0.08)2 = 0.0064 ,所以00064的平方根是0.08算术平方

4、根是0.08.(2)因为24=等，而(：尸=等，所以2二的平方根是土 它的算 49 49749497术平方根是m因为 符=厘=磊，而仕廿二高，所以守的平方根是它的算术平方根是、(4)因为(-7尸=49,而(7尸=49,所以(一7的平方根是土 7 ,它的算术 平方根是7.说明：本题考查求平方根和求算术平方根的方法.因为一个正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根.当被开方数是带分数 时，应把带分数化为假分数，然后再求平方根，当被开方数是一个数字算式时， 要先算出这算式的值，再求它的平方根，不这样做，容易造成错误.例如，说(-7尸 平方根是一7,就错了.例6求下列各式中的x:(1) x2-289 =

5、 0(2) (x + 1)2=81.分析：根据平方根的定义，或/=小则x = &(,co),其中中(x+l) 看成一个整体，先求出*+1)的值，再求x的值.解答：(1) ,/ x2-289 = 0, ep x2 = 289.(2) 。+ 1)2=81,当 x+l=9 时，x = 8;当式+1=9 时，x = -10.例7已知25/-144 = 0,且x是正数，求代数式2j5x + 13的值.分析：只要求出x的假，代入代数式2、，货不就可以了，关键是解已知方程.解答 1:由 25/-144 = 0得/=，x = u,又;x。，=2555x = 时，2j5x + 13 =2,5x + 13 =2后

6、= 10.解答 2:由 25/-144 = 0,得 25./=144,即(5x=144,a 5x = 12.把 5x = 12代入2j5x + 13 ,得 2、5x + 13 = 2j12+ 13 = 2、名=10.例 8 如果 jx+l+jy-3 + jx+y + 2 =0,求 x,y,z 的值.分析：已知条件是含三个未知数的等式，一般很难求出未知数的值，但注意到算术平方根非负这一条件可解.解答:*/ jx+1 之 0, jy-3 3 0, jx+y + z n 0+1 = 0应有，y 3 = 0x+y + z = 0,x = -1解得，j = 3z = -2. 说明：求解本题的关键抓住了算

7、术平方根非负这一隐含条件，如果若干个非 负数的和为零，则每个非负数都必须为零.例9选择题：下列命题中真命的个数是().(1)/=02(2)株=土;(3) 一”的平方根是一 2;(4) 师产的算术平方根是一 3;794(5) (是的平方根；(6)。的平方根是0,。没有算术平方根;(7)；的算术平方根是1(a) 1(b) 2(c) 3(d) 4分析：判断上述命题的直假，要依靠各自本身的定义.(1)(0.2)2 = o.(m。0.40.2不是0.4的算术平方根.枚(1)是假命题.(2)题中，焉是算术平方根，其结果是唯一的，不可能是两个值，所以(2) 也是假命题.(3)题中-2?=-4,由平方根性质：

8、负数没有平方根.所以(3)也是假命题.(4)中 g1的算术平方根应是正数，而-3是个负数，不符合算术平方根 的定义.故(4)也是假命题.什7)2_4924247二.i二的平方根是土!.此为直命题. 255(6) 0的平方根0就是。的算术平方根，故(6)题也不正确.求;的算术平方根，应是吗进行开方运算，而非平方运算.故此命 题也不是富命题.解答：应选(a)说明：平方根、算术平方根是非常重要的概念.唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目,其相应传授者 称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲 解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均

9、原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗 学,”,律学,，“医学,，“武学,，等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了， 主要协助国子、博士培养生徒。助教在古代不仅要作入流的学问，其教书育人 的取责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学 官。至明清两代，只设国子监(国子学)一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称 得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今h教师应 具有的基本概念都具有了。其共同点：平方根和算术平方根都是对非负数的开方 运算，0的平方根和算术平方根都只有一个0；其不同点是：一个正数的平方根 有两个，两算术平方根只有一个；它们的

10、联系是：算术平方根是平方根中的正的 平方根.例10如果一个数的平方根是4 + 3与那么这个数是多少？分析：首先我们观察题目中给出的是一个正数的两个平方根，根据平方根的 性质可知它们互为相反数，其和为。.其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会 “活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范 围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的， 必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及 丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里 注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水湎石穿，绳锯木断的功效。 解答：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以( + 3) + (24-15) = 0,解得 。=4,当 =4时，。+ 3 = 7,即两个平方根分别为7和一7 ,故原数为49 唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为 “博士”，这与当今“博士”含义巳经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经 籍者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于束，乃“宗学” “律 学,，“医学,“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要 协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学