角平分线模型的构造

1、建筑第二章 角平分线模型的构造技巧提炼:与角平分线有关的常用辅助线作业，即角平分线的四大基本模型。已知p是/ monf分线上一点，(1)若pal omf点a,如图a,可以过p点作pb，ont点b,则pb=pa可记为“图中有角平分线，可向两 边作垂线”。(2)若点a是射线om上任意一点，如图 b,可以在 on截取ob=oa连接pb,构造 opb opa可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。(3)若apiop于点p,如图c,可延长ap交0阳点b,构造 ao呢等腰三角形，p是底边ab的中点，可 记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”。(4)若过p点作pq/ onx omf点q如

2、图d,可以构造 poq等腰三角形，可记为“角平分线 +平行线， 等腰三角形必呈现”。例题精讲例1 (1)如图a,在4abc中，/ c=90 ,ad平分/ car bc=6cm, bd=4cm,那么点 d到直线 ab的距离是 cm。(2)如图 b,已知：/ 1 = /2, /3=/4,求证：ap平分/ bac例2如图a在rtabc中，/ acb=90 , cdl ab,垂足为 d, af平分/ cab交cd于点e,交cb于点f,(1)求证：ce=cf(2)将图a中的 ade沿ab向右平移到 a d ez的位置，使点e落在bc边上，其他条件不变，如图 b, 试猜想：be与cf有怎样的数量有关系？请

3、证明你的结论。dd例3阅读下列学习材料：如图a, op平分/ mon a为om上一点，c为op上一点，连接 ac,在射线onlh截取ob=oa连接bc,易证 aocobc请根据上面的学习材料，解答下列各题：(1)如图c,在 abc中，ad中 bac的外角平分线， p是ad上异于 a点的任意一点，试比较 pb+pcw ab+ac 的大小，并说明理由。(2)如图d, ad中abac的内角平分线，其他条件不变，试比较pc-pb与ac-ab的大小，并说明理由。例4如图，已知等腰直角abc中，/ a=90,ab=ac,bd平分/abc；chbd,垂足为点e,求证：bd=2ce例5(1)如图a, bq c

4、e分别是abc的外角平分线，过点a作adbqae!ce,垂足分别为d、e,连接de _ 1 .求证 de/ bc, de=(ab bc ac); 2(2)如图b, bq ce分别是 abc的内角平分线，其他条件不变；(3)如图c, bd为 abc的内角平分线，ce为 abc的外角平分线，其他条件不变，则在图b,图c两种情况下，de与bc还平行吗？它与 abc三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对 其中的一种情况进行证明。岫变式练习：如图，在 abc中，ab=3ac / bac的平分线交 bc于点d,过点b作b已ar 垂足为 e,求证：ad=de例6如图a, ab=ac bd cd分别平分

5、/ abg / acb问：(1)图a中有几个等腰三角形？(2)过点d点作ef/ bc,如图b,交ab于点e,交ac于点f,图中又增加了几个等腰三角形？(3)如图c,若将题中的 abc改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线段ef与be、cf有什么关系？(4)如图d,bd平分/ abc cd平分外角/ acg de/ bc交ab于点e,交ac于点f,线段ef与be、cf有什么关 系？并说明理由。(5)如图e,bdcd为外角/ cbm / bcn的平分线，de/bc交ab延长线于点e,交ac延长线于点f,直接写出线段ef与be、cf有什么关系？例 7 如图，已知在 abc中

6、，ac=bc /c=90 ,ad 平分/ car 求证：ab=ac+cd变式练习:1、已知 abc中，ac=ac / a=108 ,bd 平分/ abc；求证：bc=ab+cd2、已知 abc中，ac=ac / a=100 ,bd 平分/ abg 求证:bc=bd+ad例8如图a, op是/ mon勺平分线，请你利用该图形画一对以op所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图b,在 abc中，/acb是直角，/ b=60 ,ad、ce分另是/ bac / bca的平分线，ad ce相交于点f, 请你判断写出fe与fd之间的数量关系；(2)如图c,在

7、 abc中，/ acb不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得出结论是否依然成立？若成立请证明，若不成立，请说明理由。牛刀小试1、( 1)如图a,在 abc中，/ abc与/ acb的角平分线相交于点 f,过点f作de/ bc,交ab于点d,交ac 于点e,若bd+ce=9则线段de之长为。(2)如图 b,在 abc中，bd、cd分别平分/ abc和/ acb, de/ ab, fd/ ac,如果 bc=6,求 def的周长。-一 一 ，、1 ，2、已知：/ bad=z cad, abac, cd ad 于点 d, h 是bc 的中点。求证：dh(abac)。23、已知：四边

8、形 abcd中，/ b+/d=180 ,bc=cd 求证：ac平分/ bad。4、 abc的外角/ acd的平分线 cp与内角/ abc的平分线 bp交于点p,连接 ap、cp,若/ bpc=40，求/ cap的度数。5、在四边形中， bcar ad=cd, bd平分/ abc,求证：/ a+/c=180。6、如图a, bp平分/ mbn,点d在射线 bp上，/ adc的两边分别交射线 bm、bn于a、c两点，且/ adc+z mbn=180 。（1）猜想ad与dc之间的数量关系，直接写出你的结论。（2）图b是/ adc绕点d旋转一定角度得到的，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立

9、，说明理由。ab7、（1）如图a,在rtabc中，/ c=90 ,/b=45 , ad是 abc的角平分线，则 ac、cd、ab三条线段之间 的数量关系为。（2）如图 b,若将（1）中条件“在 rtabc 中，/ c=90，/b=45 ” 改为“在 abc中，/ c=2/ b” 请问（1） 中的结论是否仍然成立？证明你的猜想。8、在平行四边形 abcd中，/ bad的平分线交直线 bc于点e,交直线dc于点f。(1)在图a中证明ce=cf(2)若/ abc=90 ,g是ef的中点(如图b),直接写出/ bdg的度数；(3)若/ abc=120 , fg/ ce, fg=ce 分别连接 db、dg (如图 c)，求/ bdg 的度数。9、已知，在 odc中，/ d=90 , ec是/ dco的角平分线，且 oel ce,过点e作ef oc交oc于点f,猜想: 线段ef与od之间的数量关系，并证明。10、在四边形 abde中，c是bd边的中点。(1)如图a,若ac平分/ bae,/ ace=90,则线段ae、ab、de的长度满足的