【创新设计】高考数学一轮复习 限时集训(四十八)空间向量在立体几何中的应用 理 新人教A版

1、限时集训(四十八)空间向量在立体几何中的应用(限时：50分钟满分：84分)1(满分12分)如图，在abc中，abc60，bac90，ad是bc上的高，沿ad把abd折起，使bdc90.(1)证明：平面adb平面bdc；(2)设e为bc的中点，求ae与db夹角的余弦值2(满分12分)(2013孝感模拟)如图所示，四棱锥pabcd中，底面abcd为正方形，pd平面abcd，pdab2，e、f、g分别为pc、pd、bc的中点(1)求证：paef；(2)求二面角dfge的余弦值3(满分12分)如图，在正三棱柱abca1b1c1中，abaa1，点d是a1b1的中点，点e在a1c1上且deae.(1)证明

2、：平面ade平面acc1a1；(2)求直线ad和平面abc1所成角的正弦值4(满分12分)(2012江西高考)如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，已知abacaa1，bc4，点a1在底面abc的投影是线段bc的中点o.(1)证明在侧棱aa1上存在一点e，使得oe平面bb1c1c，并求出ae的长；(2)求平面a1b1c与平面bb1c1c夹角的余弦值5(满分12分)如图所示，在多面体abcda1b1c1d1中，上，下两个底面a1b1c1d1和abcd互相平行，且都是正方形，dd1底面abcd，ab2a1b12dd12a.(1)求异面直线ab1与dd1所成角的余弦值；(2)已知f是ad的中点，求

3、证：fb1平面bcc1b1；(3)在(2)的条件下，求二面角fcc1b的余弦值6(满分12分)(2013聊城模拟)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，bad60，q为ad的中点(1)若papd，求证：平面pqb平面pad；(2)设点m在线段pc上，求证：pa平面mqb；(3)在(2)的条件下，若平面pad平面abcd，且papdad2，求二面角mbqc的大小7(满分12分)(2012福建高考)如图所示，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由

4、；(3)若二面角ab1ea1的大小为30，求ab的长答 案限时集训(四十八)空间向量在立体几何中的应用1解：(1)证明：折起前ad是bc边上的高，当abd折起后，addc，addb，又dbdcd，ad平面bdc，ad平面abd，平面abd平面bdc.(2)由bdc90及(1)知da，db，dc两两垂直，不妨设|db|1，以d为坐标原点，以，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，易得d(0,0,0)，b(1,0,0)，c(0,3,0)，a(0,0，)，e，(1,0,0)，与夹角的余弦值为cos，.2.解：(1)证明：以d为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则d(

5、0,0,0)，a(0,2,0)，c(2,0,0)，p(0,0,2)，e(1,0，1)，f(0,0,1)，g(2,1,0)(1)(0,2，2)，(1,0,0)，0，paef.(2)易知(0,0,1)，(2,1，1)设平面dfg的法向量为m(x1，y1，z1)，则即令x11，得m(1,2,0)是平面dfg的一个法向量同理可得n(0,1,1)是平面efg的一个法向量，cosm，n，由图可知二面角dfge为钝角，二面角dfge的余弦值为.3解：(1)证明：由正三棱柱abca1b1c1的性质知aa1平面a1b1c1，又de平面a1b1c1，所以deaa1.而deae，aa1aea，所以de平面acc1a

6、1.又de平面ade，故平面ade平面acc1a1.(2)如图所示，设o是ac的中点，以o为原点建立空间直角坐标系不妨设aa1，则ab2，相关各点的坐标分别是a(0，1,0)，b(，0,0)，c1(0,1，)，d.易知(，1,0)，(0,2，)，.设平面abc1的一个法向量为n(x，y，z)，则有解得xy，zy.故可取n(1，)所以，cosn，.由此即知，直线ad和平面abc1所成角的正弦值为.4解：(1)证明：连接ao，在aoa1中，作oeaa1于点e，因为aa1bb1，所以oebb1.因为a1o平面abc，所以a1obc.因为abac，oboc，得aobc，所以bc平面aa1o，所以bco

7、e，所以oe平面bb1c1c，又ao1，aa1，得ae.(2)如图，分别以oa，ob，oa1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，b(0,2,0)，c(0，2，0)，a1(0,0,2)，由得点e的坐标是，由(1)得平面bb1c1c的法向量是，设平面a1b1c的法向量n(x，y，z)，由得令y1，得x2，z1，即n(2,1，1)，所以cos，n，即平面bb1c1c与平面a1b1c的夹角的余弦值是.5.解：以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(2a,0,0)，b(2a,2a,0)，c(0,2a,0)，d1(0

8、,0，a)，f(a,0,0)，b1(a，a，a)，c1(0，a，a)(1)(a，a，a)，(0,0，a)，|cos，|，所以异面直线ab1与dd1所成角的余弦值为.(2)(a，a，a)，(2a,0,0)，(0，a，a)，fb1bb1，fb1bc.bb1bcb，fb1平面bcc1b.(3)由(2)知，为平面bcc1b1的一个法向量设n(x1，y1，z1)为平面fcc1的法向量，(0，a，a)，(a,2a,0)，得令y11，则x12，z11，n(2,1,1)，cos，n，即二面角fcc1b的余弦值为.6.解：(1)连接bd，四边形abcd菱形，bad60，abd为正三角形，又q为ad中点，adbq

9、.papd，q为ad的中点，adpq，又bqpqq，ad平面pqb，ad平面pad.平面pqb平面pad.(2)连接ac交bq于点n，如图(1)：由aqbc可得，anqcnb，.又， 图(1).pamn.mn平面mqb，pa平面mqb，pa平面mqb.(3)由papdad2，q为ad的中点，则pqad.又平面pad平面abcd，pq平面abcd.以q为坐标原点，分别以qa、qb、qp所在的直线为x，y，z轴，建立如图(2)所示的坐标系，则各点坐标为a(1,0,0)，b(0，0)，q(0,0,0)，p(0,0，)设平面mqb的法向量n(x，y,1)，可得 图(2)pamn， 解得n(，0,1)取

10、平面abcd的法向量m(0,0,1)cosm，n.故二面角mbqc的大小为60.7.解：(1)证明：以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设aba，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a，0,1)，故，(a,0,1)，.011(1)10，b1ead1.(2)假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae，此时(0，1，z0)又设平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n，n，得取x1，则y，za，得平面b1ae的一个法向量n.要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap.(3)连接a1d，b1c，由长方体ab