高三直线与圆锥曲线综合复习

1、2021/3/10讲解：XX1 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 2021/3/10讲解：XX2 焦半径公式焦半径公式 0 2 x p AF 01 exaAF 02 exaAF 椭圆椭圆 双曲线双曲线 aexAF 01 抛物线抛物线 0 2 x p AF 0 2 y p AF 0 2 y p AF 特别地，抛物线的焦点弦长为特别地，抛物线的焦点弦长为 21 xxpAB)( 21 xxpAB 21 yypAB )( 21 yypAB aexAF 02 返回返回 P在右支上在右支上 2021/3/10讲解：XX3 1.直线和圆锥曲线的位置关系及判断、运用设直线直线和圆锥曲线的位置关

2、系及判断、运用设直线l的方程的方程 为：为：Ax+By+C=0圆锥曲线方程为：圆锥曲线方程为：f(x，y)=0 由由 若消去若消去y后得后得ax2+bx+c=0，若，若f(x，y)=0表示椭圆，则表示椭圆，则a0， 为此有为此有 (1)若若a0，设，设=b2-4ac 0时，直线与圆锥曲线相交于不同两点时，直线与圆锥曲线相交于不同两点 =0时，直线与圆锥曲线相切于一点时，直线与圆锥曲线相切于一点 0时，直线与圆锥曲线没有公共点时，直线与圆锥曲线没有公共点 2)若若a=0，当圆锥曲线为双曲线时，直线，当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行与双曲线的渐近线平行 或重合或重合. 当圆锥曲线是

3、抛物线时直线当圆锥曲线是抛物线时直线l与抛物线对称轴平行或重合与抛物线对称轴平行或重合. Ax+By+C=0 f(x，y)=0 消元消元(x或或y) 2021/3/10讲解：XX4 4、直线与抛物线的位置关系、直线与抛物线的位置关系(直线斜率存在直线斜率存在) 0 a a0 0 直直线线与与抛抛物物线线有有两两个个交交点点 0 0 a a a0 0 直直线线与与抛抛物物线线有有一一个个交交点点或或（直直线线与与对对称称轴轴平平行行） 0 a a0 0 直直线线与与抛抛物物线线没没有有交交点点 知识指要知识指要 抛物线抛物线 2021/3/10讲解：XX5 交点问题 一个交点直线与抛物线有且仅有

4、平行于抛物线对称轴的 性质： 直线有几条？ 只有一个交点，这样的与抛物线作直线过例：xyl8)4 , 2(M) 1 ( 2 F M 轴的，另一条为切线条，一条平行于x2 2021/3/10讲解：XX6 程只有一个交点的直线方且与抛物线求过xyP2) 1 , 0()2( 2 P 满足显然直线0, 1xy k y ykxyl 1 2:1: 2 代入抛物线方程，得设 2 1 084 022 2 kk yky整理得： 1 2 1 , 0, 1xyxy这样的直线为： 2021/3/10讲解：XX7 2 2 . 22 7 ).8)8 3 22 9).10)(3, 2).11)2 4 12)0 14)8.1

5、5)3 C B BD B B yx xy yx 抛 物 线 2021/3/10讲解：XX8 例例 ：如图所示，过双曲线：如图所示，过双曲线 的右焦点的右焦点F2,倾斜角为倾斜角为 30的直线交双曲线于的直线交双曲线于A，B两点，求两点，求|AB| 22 1 36 xy F1F2x y O A B 法二法二: :设直线设直线ABAB的方程为的方程为 3 (3) 3 yx 与双曲线方程联立消与双曲线方程联立消y得得5x2+6x-27=0 由两点间的距离公式得由两点间的距离公式得 2222 12121212 2 1212 1 |()()()() 3 2316 ()43 35 ABxxyyxxxx x

6、xxx 设设A、B的坐标为的坐标为(x1,y1) 、(x2,y2),则则 1212 627 , 55 xxxx 2 2| 8 3AF 2021/3/10讲解：XX9 2021/3/10讲解：XX10 22 22 10)1 7525 30 12)230. 3 13)22.2.14)1 33 24 33 7)424.8)1.9.10) 42 xy x CBAD y xy BA 椭 圆 测 试 题 或） 2021/3/10讲解：XX11 x y O P A B 点差法点差法: 0 xx yy x y b 1 a 1 21 21 0 0 22 0kk b 1 a 1 即 ABOP 22 2 OPAB

7、2 b kk a 0 b 1 a 1 22 )(2)(2 210210 yyyxxx 0)y)(yy(y b 1 )x)(xx(x a 1 :两式相减 1 b y a x 1 b y a x 则 P(x),y,B(x,)y,设A(x 2121 2 2121 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 02211 ), 0 y 2 00 0 2(0)(,) 0 k AB p ypx pP k xy y 中中 22 在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率 xy ab 验证： 2021/3/10讲解：XX12 y x o ) 1 , 1 (B ) 1 , 2(P N M ),1(2 , )1

8、( xkyAB AB ：设设 斜斜率率存存在在法法一一：显显然然 2 2 2. 1 2 P2,1M N. B 1,1 . (1) , 2(1), y x AB AByk x 例已 知 双 曲 线 的 方 程 为 求 以为 中 点 的 弦所 在 的 直 线 方 程 试 问 是 否 存 在 被 点平 分 的 弦 ？ 如 果 存 在 ， 求 出 弦 所 在 的 直 线 方 程 ， 如 果 不 存 在 说 明 理 由 法 一 ： 显 然斜 率 存 在 设： 2021/3/10讲解：XX13 . 1 01 2 )2( 2 ),(),(,0 064)2(2)2( 1 2 2 2 21 2211 222 2

9、 xyAB k k kkxx e yxByxA kkxkkxk y x kkxy ：直直线线 满满足足 则则 设设时时当当 得得：由由 y x o ) 1 , 2(P 2021/3/10讲解：XX14 1122 2 2 1 1 2 2 2 2 12121212 1212 12 1212 2 2 ( ,),(,), 1 2 ,: 1 2 1 ()()()() 2 2() , 2 1 1,:1. 2 10. 2 AB A x yB xy y x y x xxxxyyyy yyxx xx xxyy kAB yx y x 法二：设 则两式相减得 代入得： 2021/3/10讲解：XX15 （2）假设存

10、在这样的弦， 2 2 1(1) 1 2 yk x y x 2222 222230kxkk xkk 2 2 22 12 2 2 kk k xx 2k 2 22430 164 2 380 kxx 当时，为 此时， 不存在这样的弦 k不存在显然不合题意 设弦所在的直线方程为： ) 1(1xky 并且交双曲线于C(x1,y1) ,D(x2,y2） 2021/3/10讲解：XX16 （3）点差法求方程要注意检验: 如果点在双曲线内部（图中的阴 影部分），那么以该点为中点的弦一 定存在. 如果点在双曲线外部（图中的另 外部分），那么以该点为中点的弦不 一定存在，必须检验. 4 2 -2 -4 -5510

11、xo y 2021/3/10讲解：XX17 例例.中心在原点一个焦点为的椭中心在原点一个焦点为的椭 圆的截直线所得弦的中点横坐圆的截直线所得弦的中点横坐 标为，求椭圆的方程标为，求椭圆的方程 23 xy 2 1 )50, 0 ( 1 F 椭圆测试-10、12 2021/3/10讲解：XX18 解：设所求椭圆的方程为 由得 把直线方程代入椭圆方程，整理得 设弦的两个端点为，则由 根与系数的关系得 又中点的横坐标为由此得 1 2 2 2 2 b y a x )50, 0(F50 22 ba 0)4(12)( 222222 abxbxba ),( 11 yxA),( 22 yxB 22 2 21 9

12、 12 ba b xx 2 1 22 3ba 2021/3/10讲解：XX19 1 2575 22 xy 25,75 22 ba .故所求的椭圆方程为: 2021/3/10讲解：XX20 变式变式2 2：已知抛物线已知抛物线y y2 2=2px(p=2px(p0),0),过其焦点且过其焦点且 斜率为斜率为1 1的直线交抛物线于的直线交抛物线于A A、B B两点两点, ,若线段若线段ABAB 的中点的纵坐标为的中点的纵坐标为2,2,求该抛物线的准线方程求该抛物线的准线方程. . 法一法一【解】【解】: :设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),), ABA

13、B：y=x- ,y=x- ,代入代入y y2 2=2px=2px得得:y:y2 2-2py-p-2py-p2 2=0,=0, yy1 1+y+y2 2=2p,=2p,由题意知：由题意知：y y1 1+y+y2 2=4,=4, p=2,p=2,抛物线的方程为抛物线的方程为y y2 2=4x,=4x, 其准线方程为其准线方程为x=-1.x=-1. p 2 A B 2021/3/10讲解：XX21 变式变式2：已知抛物线已知抛物线y y2 2=2px(p=2px(p0),0),过其焦点且过其焦点且 斜率为斜率为1 1的直线交抛物线于的直线交抛物线于A A、B B两点两点, ,若线段若线段ABAB 的

14、中点的纵坐标为的中点的纵坐标为2,2,求该抛物线的准线方程求该抛物线的准线方程. . 法二法二【解】【解】: :设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),), y y1 12 2=2px=2px1 1,y,y2 22 2=2px=2px2 2, ,两式相减得：两式相减得： p=2,p=2,抛物线的方程为抛物线的方程为y y2 2=4x,=4x, 其准线方程为其准线方程为x=-1.x=-1. 12 AB 1212 yy2pp k1, xxyy2 A B 2021/3/10讲解：XX22 )(点差法题型二：中点弦问题 的轨迹方程中点求 两点，于交抛物线作直线例

15、：过 PBC ,4),1, 0(A 2 CBxyl ),(P),(),(B 2211 yxyxCyx中点设 2 2 21 2 1 4xy,4xy则 12 12 xx yy kBC 两式相减，得： yyy 24 12 x y1 02 2 xyy xyyxP4),( 2 必须落在焦点所在区域中点 02)(2 22 yyyyy或 )02(02 2 yyxyy或所求轨迹方程为： P 2021/3/10讲解：XX23 椭圆椭圆 的两个焦点为的两个焦点为F1 、 、F2 ，过左焦点作 ，过左焦点作 直线与椭圆交于直线与椭圆交于A，B 两点，若直线两点，若直线AB的倾角为的倾角为30度，度， 求求 AB F

16、2 的面积。的面积。 22 1 84 xy 例2优化154页-3 x x y y B （x1 , y1） F1F2 o （x2 , y2） A 2021/3/10讲解：XX24 法一法一：利用利用 2 1 2 A B F SA Bd d 联立方程组 22 28 3 (2) 3 xy yx 2 581 60 xx 12 16 5 x x 12 8 5 xx 162 5 d=2 过 作到直线AB的垂线,设距离为d 法二：利用法二：利用 分割思想 y y B （x1 , y1） F1F2 o （x2 , y2） A 21212 A B FA F FB F F SSS 112112 11 sin 30

17、sin 150 22 AF FFBF FF 12 1 4 FFA B 2 16 2 5 ABF S |AB|= 2 F 2021/3/10讲解：XX25 直线和圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系 例例2：是否存在：是否存在 使直线使直线 与曲线相与曲线相 交于交于A、B 两点，且以两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出为直径的圆过原点？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由 01 axy 13 22 yxRa o x y C A B 解：设解：设),(),( 2211 yxByxA 以以AB 为直径的圆过原点为直径的圆过原点 OBOA 0 212

18、1 yyxx即：即： 把把 代入代入 化简得：化简得： 1 axy13 22 yx 022)3( 22 axxa 由韦达定理得：由韦达定理得： 2 21 2 21 3 2 , 3 2 a xx a a xx 0)3(8403 222 aaa且且由由366 aa且且有有 1)()1)(1( 2121 2 2121 xxaxxaaxaxyy又又： 01 21 xx从从而而01 3 2 2 a 即即：1 a解解得得： 时时当当1 a，以，以AB 为直径的圆过原点为直径的圆过原点 1 2021/3/10讲解：XX26 的倾斜角的范围对称，求 关于直线，上存在两点例：若抛物线 l xmylxy)3(:Q

19、P 2 ),(R),(),(P 002211 yxyxQyx中点设 m x xx yy1 2x 1 x k 0 21 12 12 PQ 则 m m mxmy3 2 1 )3 2 1 ()3( 00 在焦点所在区域内)3 2 1 , 2 1 (Rm m 22 ) 2 1 (3 2 1 m mxy即 2 1 m ) 2 1 arctan, 2 ( 的倾斜角的范围为l 2021/3/10讲解：XX27 22 :1 43 4 xy C yxm 5 m 例 已知椭圆 试确定的取值范围， 使得椭圆上有两个不同的点， 关于直线 ， 对称。 22 , 1313 m 2021/3/10讲解：XX28 求圆锥曲线

20、的最值求圆锥曲线的最值 常用哪些方法？常用哪些方法？ 2021/3/10讲解：XX29 例例1 选择题选择题 1）点）点P在抛物线在抛物线y2=x上，定点上，定点 A(3,0),则则|PA|的最小值是（的最小值是（ ） 111D. 1)11(C. 11 B. 111 A. 2 1 2 1 2 1 2 1 方法一：（建立目标函数方法一：（建立目标函数）设）设P（x,y) 则则y2=x. 2 22 2 y y3 3) )( (x xP PA A B x x9 9) )6 6x x( (x x 2 2 9 95 5x xx x 2 2 4 4 1111 2 2 2 2 5 5 ) )- -( (x

21、2 2 1 11 1 2 2021/3/10讲解：XX30 变式变式 1）若）若P为抛物线为抛物线y2=x上一动点，上一动点， Q为圆（为圆（x-3)2+y2=1 上一动点，则上一动点，则 |PQ|的最小值为的最小值为_ 见图 1 1 2 2 1111 4 2021/3/10讲解：XX31 例例3 求点求点 到椭圆到椭圆 上点的最大距离，上点的最大距离， 并求出此时椭圆上的点的坐标。并求出此时椭圆上的点的坐标。 ) 2 3 0(P， 1y 4 x 2 2 本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐 标，然后根据两点间的距离公式借助于二次函数标，然后根据

22、两点间的距离公式借助于二次函数 求出此最大值，并求出点的坐标。求出此最大值，并求出点的坐标。 分析：分析： 解：解： 设点设点 Q(x,y)为椭圆为椭圆 上的任意一点，上的任意一点，1y 4 x 2 2 则则 2 PQ 22 ) 2 3 y(0 x ）（ 又因为又因为x2 = 4- 4y2 所以所以 2 PQ 4 9 y3yy44 22 4 25 y3y3 2 7) 2 1 y(3 2 （1y1） 2021/3/10讲解：XX32 椭圆的参数方程椭圆的参数方程 椭圆椭圆 + =1的参数方程为的参数方程为: a x 2 2 b y 2 2 x=acos y=bsin 应用应用: 用作三角代换用作

23、三角代换,把关于把关于x、y的二元函数的二元函数 转化为一元的三角函数转化为一元的三角函数. 2021/3/10讲解：XX33 此时，此时，3x 2 1 y ，所以所以 的最大值为的最大值为 PQ 7 即此时即此时Q的坐标为：的坐标为：），）、（，（ 2 1 3 2 1 3 2 222 ( , ) x2cosysin .02 31 PQ4cossin3 sin7 22 13 7sincos 22 1 3 2 11 33 22 Q x y PQ xy Q 另解：设是椭圆上的任意点， 则，（） （）（） 的最大值为，此时， ， 即此时 点的坐标为：（，）、（，） 思考：我们能否通过椭圆的参数方程去

24、求？思考：我们能否通过椭圆的参数方程去求？ 2021/3/10讲解：XX34 1、 y 2 10064 1 2 2 x x 已已知知椭椭圆圆有有一一内内接接矩矩形形A A B B C C D D , ,求求矩矩形形A A B B C C D D 的的最最大大面面积积. . x AyPPA 2 2 2.(1,0),1,. 4 已已知知点点椭椭圆圆点点 在在椭椭圆圆上上移移动动 求求的的最最小小值值 练习练习2： 2021/3/10讲解：XX35 L x y P 解：设点P的坐标为(x, y) 则点P到直线L的距离为 2 |4| yx d 2 88yx 2 |4122| 2 yy d 例2 如图,

25、 已知点P在椭圆x2 + 8y2 = 8上, 求点P 到直线L:x y + 4 = 0 距离的最大、最小值. 2021/3/10讲解：XX36 例2 如图, 已知点P在椭圆x2 + 8y2 = 8上, 求点P 到直线L:x y + 4 = 0 距离的最大、最小值. x y L P 解法二： 过点P作平行于L的直线L 当直线L平移至与椭圆 相切的位置时点P到直线 L:x y + 4 = 0 距离达到 最大、最小值. L1 L2 L 设L的方程为： x y + m = 0 由： 0 88 22 myx yx 得： 9x2 + 16mx + 8(m2 1) = 0 由=0 得： m = 3 当m =

26、 3时： 22d = 当m = 3时： d = 227 2021/3/10讲解：XX37 例例3 设设P为抛物线为抛物线 y= x2上的一动点，求上的一动点，求P点到点到 直线直线L: 3x-4y-6=0的距离的最小值。的距离的最小值。 解法解法1:设设P（x,x2),P到直线到直线L:3x-4y-6=0的距离的距离d。 4 4) )( (3 3 6 64 4x x- -3 3x x d d 则则 2 22 2 2 2 5 5 ) )- -4(x4(x 1616 8787 2 2 8 8 3 3 8080 8787 8 80 0 8 87 7 d d m mi in n .P(x,x2) d

27、8 2021/3/10讲解：XX38 解法二：当解法二：当L平移到与抛物线平移到与抛物线y=x2只有一个公共只有一个公共 点时点时,设此时的直线为设此时的直线为L1， ，其方程为 其方程为3x-4y-b=0。 则则L与与L1的距离即为所求。的距离即为所求。 由由 3x-4y+b=0 y=x2 代入代入可得：可得：4x2 -3x+b=0 =(-3)2-44b=0 可得可得 b=-9/16 . )4(3 )(6 22 16 9 为所求 的距离是与 8 80 0 8 87 7 L LL L 1 1 d 见图见图 L1 3x-4y-b=0 复习：两平行线复习：两平行线L1 : Ax +By+C 1=0

28、, L 2: Ax+By+C 2=0 的距离的距离 d=_ 2 22 2 1 12 2 B BA A C CC C d d 9 2021/3/10讲解：XX39 圆 锥 曲 线 中 的 最 值 问 题圆 锥 曲 线 中 的 最 值 问 题 O y x 换换 元元 法法 判别式法判别式法 ._ _43 1 916 . 1 22 最最小小值值是是 ，的的最最大大值值是是则则 满满足足，设设实实数数例例 yx yx yx tyx 43 212 212 )0 , 3 ( t ._ 1 916 22 面面积积的的最最大大值值是是 两两侧侧，则则四四边边形形且且分分别别在在 是是椭椭圆圆上上两两点点，、的

29、的两两个个顶顶点点， 是是椭椭圆圆、如如图图，已已知知 ABCDAB DC yx BA O B A y x C D 2021/3/10讲解：XX40 O y x l P O y x A B P 的最大值的最大值求求 PAB S 的的距距离离的的最最小小值值定定直直线线 到到求求抛抛物物线线上上一一动动点点 l P 圆 锥 曲 线 中 的 最 值 问 题圆 锥 曲 线 中 的 最 值 问 题 知知 识识 迁迁 移移 变变 题题 ._ 1 916 22 面面积积的的最最大大值值是是 两两侧侧，则则四四边边形形且且分分别别在在 是是椭椭圆圆上上两两点点，、的的两两个个顶顶点点， 是是椭椭圆圆、如如图

30、图，已已知知 ABCDAB DC yx BA O B A y x C D 212 2021/3/10讲解：XX41 如图所示，（如图所示，（1）抛物线焦点为）抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为，准线方程为x=-1. P点到准线点到准线x=-1的距离等于的距离等于P点到点到F(1,0)的距离的距离, 问题转化为问题转化为:在曲线在曲线 上求一点上求一点P，使点，使点P到到 A（-1,1）的距离与）的距离与P 到到F（1，0）的距离）的距离 之和最小之和最小.显然显然P是是AF 的连线与抛物线的交的连线与抛物线的交 点点,最小值为最小值为|AF|= . 5 设设P是抛物线是抛物线y2=4x上的一

31、个动点上的一个动点. (1)求点求点P到点到点A（-1，1）的距离与点）的距离与点P到直线到直线x=-1的距离之的距离之 和的最小值和的最小值; 优化151页-例1 2021/3/10讲解：XX42 已知定点已知定点M（3，2），），F是抛物线是抛物线y2=2x的焦点，在的焦点，在 此抛物线上求一点此抛物线上求一点P，使，使|PM|+|PF|取得最小值，求取得最小值，求 点点P的坐标的坐标 抛物线上的点到焦点的距离与到抛物线上的点到焦点的距离与到 准线的距离相等。准线的距离相等。 即即|PF| = |PN| |PM|+|PF|= |PM|+|PN| 当当 M、P、N三点共线三点共线 时距离之和

32、最小。时距离之和最小。 F M 练习练习2： 如图，由抛物线的定义：如图，由抛物线的定义：分析：分析： F M P N 2021/3/10讲解：XX43 解：解： 如图所示如图所示 |PF|= |PN|即：即：|PF|+|PM|= |PN|+|PM| |PM|+ |PN| |PM|+|PN|= |PM|+|PF| 又又点点P的纵坐标等于点的纵坐标等于点M的纵坐标，即的纵坐标，即y=2 所以，点所以，点P的坐标为（的坐标为（2，2） 在抛物线在抛物线 y2 = 2x上任取一点上任取一点 P(x,y),作作PN准线准线L，作，作MN L ，MN交抛物线于交抛物线于P（x，y） 由抛物线的定义得：由

33、抛物线的定义得： 当当P和和P重合时，即重合时，即PNL，N、P、M三点共线，三点共线， F M P N P N 2021/3/10讲解：XX44 2021/3/10讲解：XX45 例例1、已知：动点已知：动点P在抛物线在抛物线x2=4y上，点上，点A（12，6），）， 则则P到到A的距离与到的距离与到x轴的距离之和的最小值是多少？轴的距离之和的最小值是多少？ x y o P F G Q H 简析简析: : 应用抛物线的几何性质，将应用抛物线的几何性质，将P到到x轴轴 的距离的距离 转化转化 成到准线的距离，成到准线的距离， 进而进而 转化转化 成到焦点的距离。成到焦点的距离。 Pmin A

34、2021/3/10讲解：XX46 例例2 2、已知：已知：A(4,0),B(2,2),M是椭圆是椭圆9x2+25y2=225 上的动点上的动点,求求 MA + MB 的最值。的最值。 x y o Mmax Mmin 简析简析: : MA + MB =（2a- MA1）+ MB =2a+（MB - MA1） 应用三角形的三边关系，应用三角形的三边关系， 即可求得取得最值时的即可求得取得最值时的M点的位置。点的位置。 A1 M A B 利用圆锥曲线的定义将利用圆锥曲线的定义将折线段和的折线段和的问题问题化归化归为平面上为平面上直线段最短直线段最短来解决来解决. 2021/3/10讲解：XX47 取

35、值范围156页-3 155页-例3 2021/3/10讲解：XX48 对称？关于直线，抛物线上是否存在求抛物线方程 两点，若，线交于抛物线焦点，并与抛物 ，且过的倾斜角为直线例：已知抛物线 l lppxy NM)2( (1) 34SBA 60),0(2 AOB 2 A B F O ),(),(A 2211 yxByx设 代入抛物线方程，得将直线) 2 (3: p xyl 0323 22 ppyy 3 4 4 3 4 4)(| 2 2 21 2 2121 p p p yyyyyy 3234 3 4 22 1 | 2 1 21 p pp yyOFS AOB xy34: 2 抛物线方程为 33:xy

36、l直线 2021/3/10讲解：XX49 ),(R),(),(M 002211 yxlyxNyx对称，中点关于设存在两点 3 13234 k 02112 12 MN yyyxx yy 则 6 0 y 333),( 00000 xxylyx上在又 )6, 3(中点为MN NM，不存在这样的 抛物线焦点所在区域，这一点在第三象限不在 2021/3/10讲解：XX50 例例1 1： 已知抛物线已知抛物线y y2 2=4x=4x，以抛物线上两点，以抛物线上两点 A(4,4)A(4,4)、B(1,-2)B(1,-2)的连线为底边的的连线为底边的ABPABP，其顶点，其顶点P P 在抛物线的弧在抛物线的弧

37、ABAB上运动，求：上运动，求： ABPABP的最大面的最大面 积及此时点积及此时点P P的坐标。的坐标。 动点在弧动点在弧AB上运动，可以设出点上运动，可以设出点P的坐标，只要求的坐标，只要求 出点出点P到线段到线段AB所在直线所在直线AB的最大距离即为点的最大距离即为点P到线段到线段 AB的最大距离，也就求出了的最大距离，也就求出了ABP的最大面积。的最大面积。 要使要使ABP的面积最大，只要点的面积最大，只要点P到直线到直线AB的距离的距离d最大。最大。 设点设点P( )y 4 y 2 ， 解：由已知：解：由已知： |AB|= 22 )24()14( 2x-y-4=0直线直线AB： *解

38、题过程如下：解题过程如下： *分析：分析： 2021/3/10讲解：XX51 d= 5 4y 2 y 2 52 8y2y 2 52 91y 2 ）（ 由已知由已知：2y4 dmax= 52 9 此时，此时，y=1, x = 4 1 d 2 1 AB= 2 1 52 9 53 4 27 点的坐标为点的坐标为( ，1 ) 4 1 Smax= 2021/3/10讲解：XX52 我们可以连接我们可以连接AB，作平行，作平行AB的直线的直线L与抛物线相切，与抛物线相切， 求出直线求出直线L的方程，即可求出直线的方程，即可求出直线L与与AB间的距离，从而间的距离，从而 求出求出ABP面积的最大值和点面积的

39、最大值和点P的坐标。的坐标。 分析：分析： y2-2y+2m=0 设直线设直线L与抛物线与抛物线 y2=4x相切，相切，直线直线AB：2x-y-4=0 直线直线L的方程为：的方程为：2x-y+m=0 （*） =4-8m=0, m= 2 1 此时，此时，y=1,x= 4 1 直线直线L的方程为：的方程为：2x-y+ =0 2 1 两直线间的距离两直线间的距离d= 52 9 另解：另解： 把（把（*）代入抛物线的方程得）代入抛物线的方程得 其他过程同上。其他过程同上。 2021/3/10讲解：XX53 例题一 给定双曲线 . (1)过点A(2,1)的直线l与双曲线交于两点M,N ,如 果A点是弦M

40、N的中点,求l的方程. (2)把点A改为(1,1).具备上述性质的直线是否存 在,如果存在求出方程,如果不存在,说明理由. 2 2 1 2 y x 4x-y-7=0不存在 2021/3/10讲解：XX54 例1.双曲线 （1）过它的右焦点 作倾斜角 为的弦 ，求 ；（2）过 的直线与双曲线交 于 ，求 中点的轨迹方程. 1 2 2 2 y x 1 F 0 45 AB AB) 1 , 2(C 21,P P 21P P ),(),( 2211 yxByxA解：（1）设 0532 1 2 3 2 2 2 xx y x xy 法一：5,32 2121 xxxx 8201221 21 2 xxkAB 法

41、二: 05 21 xx 直线与双曲线两支相交于两点 )()( 1 22 2 x c a e c a xeAFBFAB 83232)(2 21 xxea 2021/3/10讲解：XX55 （2）法一（分析）：当直线 的斜率不存在时，中 点为 21P P )0 , 2( 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 21P P 21P P )2(1xky 0684)44()2( 1 2 )2(2 2222 2 2 kkxkkxk y x xky Rk 0486424)684)(2(4)44( 22222 kkkkkkk 01283 2 kk 0123464 消去参数k.得 y k k yy x k kk

42、 xx 2 2 88 2 2 44 2 21 2 2 21 042 22 yxyx 2021/3/10讲解：XX56 法二：设 ，中点 ),(),( 222111 yxPyxP),(yxP 1 2 , 1 2 2 22 2 2 12 1 y x y x 2 )( )( 2121 2121 yyyy xxxx y x xx yy2 21 21 21P PAM kk 2 12 x y y x 042 22 yxyx 点的轨迹方程为 042 22 yxyx 2021/3/10讲解：XX57 例2已知某椭圆的焦点是 ，过点 并垂直于 轴的直线与椭圆的一个交点为B ,且 ，椭圆上 有不同的两点 ，满足条

43、件 、 、 成 等差数列。 )0 , 4(),0 , 4( 21 FF 2 Fx 10 21 BFBF ),(),( 2211 yxCyxAAF2BF2CF2 (1)求该椭圆的方程 (2)求弦AC中点的横坐标 (3)设弦AC的中垂线方程为 ，求 的取值范围 mkxy m 解：（1）由题意知 椭圆方程为 4,5ca 3b 1 925 22 yx 2021/3/10讲解：XX58 （2） 、 、 成等差数列 AF2BF2CF2 CFAFBF 312 2 ) 4 25 ( 5 4 ) 4 25 ( 5 4 5 3 2 21 xx 8 21 xx 的中点的横坐标为4AC 2021/3/10讲解：XX5

44、9 （3）法一： 在椭圆上， 设 ),(),( 2211 yxCyxA ),4( 0 yP ， 225259 2 1 2 1 yx225259 2 2 2 2 yx 0)(25)(9 12121212 yyyyxxxx )0( 1 )(25 22 )(25 )(9 1212 12 12 12 k kyyyy xx xx yy 25 36 0 k y 在 直线 上), 4( 0 ymkxy 25 36 0 k mkxy my 16 9 0 2021/3/10讲解：XX60 法二： 的方程为AC)0)(4( 1 0 kx k yy 0925) 4(25) 4(50)259( 1 925 ) 4(

45、1 22 00 22 22 0 kkyxkyxk yx x k yy 0 2 0 21 36 25 8 259 )4(50 yk k ky xx 下同法一 在 椭圆内部 ),4( 0 y 1 9 ) 16 9 ( 25 16 2 m 5 16 5 16 m 2021/3/10讲解：XX61 三、课堂小结：三、课堂小结： 1. 直线和圆锥曲线的位置关系可以通过判断两方程组成的直线和圆锥曲线的位置关系可以通过判断两方程组成的 方程组消去某个变量后所得方程根的情况来研究，特别要方程组消去某个变量后所得方程根的情况来研究，特别要 注意对最高次项系数的讨论；注意对最高次项系数的讨论； 2.平行于抛物线对

46、称轴的直线与抛物线仅有一个交点；平行于抛物线对称轴的直线与抛物线仅有一个交点； 平行于双曲线渐近线的直线与双曲线仅有一个交点；平行于双曲线渐近线的直线与双曲线仅有一个交点； 3. 直线被圆锥曲线所截得的弦长直线被圆锥曲线所截得的弦长= ； 涉及到焦点弦的问题，还可以利用圆锥曲线的统一定义来涉及到焦点弦的问题，还可以利用圆锥曲线的统一定义来 研究研究 | 11 2 21 2 a kxxk 直线和圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系 2021/3/10讲解：XX62 圆锥曲线与直线的关系圆锥曲线与直线的关系 利用判定圆锥曲线与直线的位置关系： 椭圆：=0是直线与椭圆只有一个交点的充要条件.

47、双曲线：=0或直线平行于渐近线时仅有一个交点. 抛物线：=0或直线与对称轴平行时仅有一个交点. 当0时，直线与圆锥曲线有两个交点. 圆锥曲线弦的中点是圆锥曲线常见题型： 常常用到违达定理，一般地，如果K为弦AB的斜率,点p（x0 , y0 ) 为弦AB的中点，则： 椭圆+ y2 b2 = 1 x2 a2 有：k= b2x0 a2y0 双曲线 x2 a2 _ y2 b2 = 1 有：k= b2x0 a2y0 抛物线y2=2px 有：k= p yo 相关相关 习题习题 2021/3/10讲解：XX63 经典习题经典习题 1.过（0 ，2）的直线与抛物线仅有一个交点，则 满足条件的直线L共有 条. 设直线L为y=kx+2,联立方程得：k2x2+4(k-1)x+4=0,k=0时有一公共点 k0时，由=0得一解；当L垂直x轴时，适合题意，共三解 2.直线y=2x+m与椭圆 x2 9 + y2 4 =1有两个交点， 则实数 m的取值范围 . 联立方程组得40 x2+36mx+9m2-