2017届高三三角函数的图像与性质

1、3.5三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 双基研习双基研习面对高考面对高考 1周期函数周期函数 一般地，对于函数一般地，对于函数yf(x)，如果存在一个，如果存在一个_ 实数实数T，使得当，使得当x取定义域内的每一个值时，取定义域内的每一个值时， _都成立，那么就把函数都成立，那么就把函数yf(x)叫叫 作周期函数，不为零的实数作周期函数，不为零的实数T叫作这个函数的周叫作这个函数的周 期对于周期函数来说，如果所有的周期中存在期对于周期函数来说，如果所有的周期中存在 着一个最小的正数，就称它为着一个最小的正数，就称它为_周期，今周期，今 后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般后提到的

2、三角函数的周期，如未特别指明，一般 都是指它的都是指它的_ 非零非零 f(xT)f(x) 最小正最小正 最小正周期最小正周期 思考感悟思考感悟 如果函数如果函数yf(x)的周期为的周期为T，那么函数，那么函数yf(x) 的周期是多少？的周期是多少？ 2正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质 课前热身课前热身 答案：答案：A 答案：答案：B 答案：答案：C 4(教材习题改编教材习题改编)y1cosx，x0,2的图像的图像 与与y0的交点的个数为的交点的个数为_ 答案：答案：1 5(原创题原创题)函数函数y|tanx|的单调增区间是的单调增区间是 _ 考点

3、探究考点探究挑战高考挑战高考 三角函数的定义域三角函数的定义域 求三角函数的定义域时，转化为三角不等式组求三角函数的定义域时，转化为三角不等式组 求解，常常借助于三角函数的图像和周期解决，求解，常常借助于三角函数的图像和周期解决， 求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可 以先求交集再加周期的整数倍即可以先求交集再加周期的整数倍即可 【思路点拨思路点拨】先列出使函数有意义的不等式先列出使函数有意义的不等式 (组组)，再结合函数的图像或三角函数线求解，再结合函数的图像或三角函数线求解 1三角函数属于初等函数，因而前面学过的求三角函数属于初等函数，因而前面学

4、过的求 函数值域的一般方法，也适用于三角函数，但涉函数值域的一般方法，也适用于三角函数，但涉 及正弦、余弦函数的值域时，应注意正弦、余弦及正弦、余弦函数的值域时，应注意正弦、余弦 函数的有界性，即函数的有界性，即|sinx|1，|cosx|1对值域的对值域的 影响影响 2解答此类题目首先应进行三角恒等变形，将解答此类题目首先应进行三角恒等变形，将 函数式化为只含一个三角函数式的形式，再根据函数式化为只含一个三角函数式的形式，再根据 定义域求解定义域求解 三角函数的值域和最值三角函数的值域和最值 【思路点拨思路点拨】先将原函数式进行恒等变形，再先将原函数式进行恒等变形，再 化为一个角的三角函数或

5、利用化为一个角的三角函数或利用|sinx|1， |cosx|1等求解等求解 【规律小结规律小结】求解涉及三角函数的值域求解涉及三角函数的值域(最值最值) 的题目一般常用以下方法：的题目一般常用以下方法： (1)利用利用sinx、cosx的值域；的值域； (2)形式复杂的函数应化为形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的的 形式逐步分析形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调的范围，根据正弦函数单调 性写出性写出yAsin(x)的值域；的值域； (3)换元法：把换元法：把sinx、cosx看作一个整体，可化看作一个整体，可化 为二次函数为二次函数 三角函数的单调性三角函数的单调性 【思路点拨思路点

6、拨】利用复合函数的单调性规律利用复合函数的单调性规律“同同 增异减增异减”求解求解 【误区警示误区警示】(1)单调区间是定义域的子区间，单调区间是定义域的子区间， 因而应先求定义域因而应先求定义域 (2)正确分析复合函数的复合情况是解题关键也是正确分析复合函数的复合情况是解题关键也是 易错点易错点 三角函数的周期性和对称性三角函数的周期性和对称性 (1)(2010年高考陕西卷年高考陕西卷)函数函数f(x) 2sinxcosx是是() A最小正周期为最小正周期为2的奇函数的奇函数 B最小正周期为最小正周期为2的偶函数的偶函数 C最小正周期为最小正周期为的奇函数的奇函数 D最小正周期为最小正周期为

7、偶函数偶函数 【答案答案】(1)C(2)A 【名师点评名师点评】形如形如yf(x)的三角函数在的三角函数在 求解单调区间、周期、最值、对称性等问题时，求解单调区间、周期、最值、对称性等问题时， 往往把往往把x看作一个整体看作一个整体 答案：答案：(1)(2)A 方法技巧方法技巧 1利用函数的有界性利用函数的有界性(1sin x1，1cos x1)，求三角函数的值域，求三角函数的值域(最值最值)(如例如例2(1)、(3) 2利用函数的单调性求函数的值域或最值利用函数的单调性求函数的值域或最值(如如 例例2(2) 3利用换元法求复合函数的单调区间利用换元法求复合函数的单调区间(要注意要注意x 系数

8、的正负号系数的正负号)(如例如例3) 方法感悟方法感悟 1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域 的基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨的基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨 论参数对最值的影响论参数对最值的影响 2求三角函数的单调区间时，应先把函数式化求三角函数的单调区间时，应先把函数式化 成形如成形如yAsin(x)(0)的形式，再根据基的形式，再根据基 本三角函数的单调区间，求出本三角函数的单调区间，求出x所在的区间应所在的区间应 特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考 虑注意区分下列两题的单调增区间不同

9、：虑注意区分下列两题的单调增区间不同： 失误防范失误防范 考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考 三角函数的性质是每年高考必考的知识点之一，三角函数的性质是每年高考必考的知识点之一， 考查重点是三角函数的周期性、单调性、最考查重点是三角函数的周期性、单调性、最 值题型既有小题，又有解答题，难度中、低值题型既有小题，又有解答题，难度中、低 档近几年试题加强了与三角恒等变换交汇命题档近几年试题加强了与三角恒等变换交汇命题 的考查，在考查三角函数性质的同时，又考查三的考查，在考查三角函数性质的同时，又考查三 角恒等变换的方法与技巧角恒等变换的方法与技巧 预测预测2012年高考仍将以三角函数周期性、单调性、

10、年高考仍将以三角函数周期性、单调性、 最值为主要考点，考查运算和恒等变形能力最值为主要考点，考查运算和恒等变形能力 规范解答规范解答 【名师点评名师点评】(1)本题易错点是：不会化简本题易错点是：不会化简 f(x)，不知从何处入手；三角变换公式不熟，不知从何处入手；三角变换公式不熟， 不能逆用两角和不能逆用两角和(差差)的三角公式将的三角公式将f(x)，h(x)化为化为 “一角一函数一角一函数”；记混正、余函数取得最值时的；记混正、余函数取得最值时的 x的集合，致使的集合，致使h(x)取得最大值时取得最大值时x的集合求错的集合求错 (2)解决这类题目的一般思路就是变换函数解析式，解决这类题目的一般思路就是变换函数解析式， 将其化为将其化为yAsin(x)h的形式，一般要求的形式，