3.6 脉冲响应不变法-数字信号处理 总结

1、如何将如何将转变为转变为? W Wp,W Wsw wp,w ws H(s)H(z) 频率频率 变换变换 设计模拟设计模拟 滤波器滤波器 AF到到DF 的转换的转换 z变换的定义变换的定义 令z= 拉普拉斯复变量， 式中 是相对连续系统及连续信号的角 频率，单位为rad/s （1） （2） Wjs s sT e ssss TjTTjsT eeeez WW )( w w j s T rez T er s W 则 f2W z变换的定义变换的定义 Ts是抽样周期（或抽样间隔），Fs=1/Ts是抽样 频率 因此,当f在 轴上从-变至+的过程中，每 间隔Fs，对应的 从0变到2，即在单位圆上绕 了一周，所

2、以，由s平面到z平面的映射不是单一的。 ss ss FT FfT ww w W W / 2 Wj w 对模拟滤波器的单位冲激响应对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样等间隔抽样 来获得数字滤波器的单位脉冲响应来获得数字滤波器的单位脉冲响应hk kTt thkh )( 1对对H(s)进行进行Laplace反变换获得反变换获得h(t)。 2对对h(t)等间隔抽样得到等间隔抽样得到hk。 3计算计算hk的的z变换得到变换得到H(z)。 H(s)h(t)hkH(z) 拉氏反变换拉氏反变换抽样抽样t=kTz变换变换 设设H(s)只有一阶极点，即只有一阶极点，即 )(e)()( 1 1 tuAsHL

3、th tp l M l l 对对h(t)等间隔抽样得等间隔抽样得 e)( 1 kuAkThkh slkT p l M l s 1 1 e1 )( z A khZzH slT p l M l l l M l ps A sH 1 )( H(s)h(t)hkH(z) 拉氏反变换拉氏反变换抽样抽样t=kTZ变换变换 l l M l ps A sH 1 )( 1 1 e1 )( z A zH slT p l M l 1 e1 11 zps Tp l l TjT eez W 令令 ，则有，则有 sT ez T ez l l M l ps A sH 1 )( 1 1 e1 )( z A zH slT p l

4、 M l Wjs 1) 1) 0,0,|z| 0,0,|z|1 S域虚轴映射到域虚轴映射到z域单位圆上域单位圆上 S域右半平面映射到域右半平面映射到z域单位圆外域单位圆外 )( wj eH )( WjH T n H T H n s 2 j 1 )e ( j w w 无混叠时：无混叠时： ),j ( 1 )e ( j Ww w H T H s 数字滤波器在数字滤波器在w w点的频率响应和模拟滤波器点的频率响应和模拟滤波器 在在W W 点的频率响应只差一个常数因子点的频率响应只差一个常数因子1/Ts )( wj eH 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为设一阶模拟低通滤波器的系统函数为 c c )(

5、w w s sH 利用脉冲响应不变法求利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出，并分别画出AF与与DF的幅度响应。的幅度响应。 1 c c e1 )( z zH Tw w Ww W w j cj ee1 )e( c T H c c j )j ( ww w w H 利用单极点利用单极点H(s) 与与H(z)的映射关系，可得的映射关系，可得 AF与与DF的频率响应分别为的频率响应分别为 其中其中W W w wT，抽样频率为抽样频率为50，200Hz的幅度响应如下的幅度响应如下 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为设一阶模拟低通滤波器的系统函数为 c c )( w w s sH 利用脉冲响应不变法求利用

6、脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出，并分别画出AF与与DF的幅度响应。的幅度响应。 0510152025 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Hz DF AF fsam=50 Hz 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为设一阶模拟低通滤波器的系统函数为 利用脉冲响应不变法求利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出，并分别画出AF与与DF的幅度响应。的幅度响应。 020406080100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Hz DF AF fsam=200 Hz c c )( w w s sH 存在频谱混叠，故不能用存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设脉冲响应不变法设 计计高通、带阻高通

7、、带阻等等滤波器。滤波器。 数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性 ：AF分子、分母多项式的系数向量分子、分母多项式的系数向量 ：抽样频率：抽样频率 ：DF分子、分母多项式的系数向量分子、分母多项式的系数向量 u脉冲响应不变法的脉冲响应不变法的MATLAB实现实现 利用利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一及脉冲响应不变法设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2 , W Ws=0.6 , Ap 2dB, As 15dB 。 %Design DF BW low-pass filter using impulse invariance %DF BW

8、 LP specfication Wp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15; Fs=1; %Sampling frequency(Hz) %Analog Butterworth specfication wp=Wp*Fs; ws=Ws*Fs; %determine the order of AF filter N=buttord(wp,ws,Ap,As,s); %determine the 3-db cutoff frequency of BW filter from pass-band specfication wc=wp/(10(0.1*Ap)-1)(1/N/2)

9、; %determine the AF-BW filter numa,dena=butter(N,wc,s); 利用利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一及脉冲响应不变法设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2 , W Ws=0.6 , Ap 2dB, As 15dB 。 %determine the DF filter numd,dend=impinvar(numa,dena,Fs); %plot the frequency response w=linspace(0,pi,1024); h=freqz(numd,dend,w); norm=max(abs(h); numd=nu

10、md/norm; plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm); xlabel(Normalized frequency); ylabel(Gain,dB); %computer Ap As of the designed filter w=Wp Ws; h=freqz(numd,dend,w); fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10( abs(h(1); fprintf(As= %.4fn,-20*log10( abs(h(2); 利用利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一及脉冲响应不变法设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2 , W Ws=0

11、.6 , Ap 2dB, As 15dB 。 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Normalized frequency Gain,dB Ap = 1.72dB As = 14.2dB 结论结论 对于低通和带通滤波器，当Ts足够小时，冲 激响应不变法可给出较为满意的结果。 对于高通，带通滤波器不是限带的，因此不 能用冲激响应不变法实现H（s）到H（z）的转 换。 确定阶数为确定阶数为N，3-dB截频为截频为w wc(radian/s)的的Butterworth filter。s 表示模拟域。表示模拟域

12、。 确定模拟确定模拟Butterworth filter的的和和。 wc是由阻带参数确定的。是由阻带参数确定的。 s 表示模拟域。表示模拟域。 确定确定N阶归一化的阶归一化的Butterworth filter 的的 (gain) 设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟Butterworth低通滤波器低通滤波器 fp=1kHz, fs=2kHz, Ap=1dB, As=40dB Wp=2*pi*1000;Ws=2*pi*2000;Ap=1;As=40; N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s); fprintf(Order of the filter=%.0fn,N) nu

13、m,den = butter(N,Wc,s); disp(Numerator polynomial); fprintf(%.4en,num); disp(Denominator polynomial); fprintf(%.4en,den); omega=Wp Ws;h = freqs(num,den,omega); fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10(abs(h(1); fprintf(As= %.4fn,-20*log10(abs(h(2); omega = 0: 200: 12000*pi; h = freqs(num,den,omega); gain=20*log1

14、0(abs(h);plot(omega/(2*pi),gain); xlabel(Frequency in Hz);ylabel(Gain in dB); 设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟Butterworth低通滤波器低通滤波器 fp=1kHz, fs=2kHz, Ap=1dB, As=40dB 050010001500200025003000 -80 -60 -40 -20 0 Frequency in Hz Gain in dB BW型: N=8 确定确定N阶归一化的阶归一化的Chebyshev filter 的零点、极点和增益的零点、极点和增益(gain)。 确定阶数为确定

15、阶数为N，通带截频为，通带截频为w wc(radian/s)的的Chebyshev filter。 s 表示模拟域表示模拟域 确定模拟确定模拟Chebyshev filter的阶数的阶数N。w wc=w wp(rad/s) 设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟CB I型低通滤波器型低通滤波器 fp=1kHz, fs=2kHz, Ap=1dB, As=40dB %filter specification Wp=2*pi*1000;Ws=2*pi*2000;Ap=1;As=40; %Computer filter order N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s); fp

16、rintf(Order of the filter=%.0fn,N) %compute filter coefficients num,den = cheby1(N,Ap,Wc,s); disp(Numerator polynomial); fprintf(%.4en,num); disp(Denominator polynomial); fprintf(%.4en,den); 设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟CB I型低通滤波器型低通滤波器 fp=1kHz, fs=2kHz, Ap=1dB, As=40dB %Compute Ap and As of designed filte

17、r omega=Wp Ws; h = freqs(num,den,omega); fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10(abs(h(1); fprintf(As= %.4fn,-20*log10(abs(h(2); 设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟CB I型低通滤波器型低通滤波器 fp=1kHz, fs=2kHz, Ap=1dB, As=40dB 050010001500200025003000 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 Frequency in Hz Gain in dB BW型:N=8 CB 型:N=5 确定模拟切比雪夫确定模拟切

18、比雪夫II型滤波器的型滤波器的。 确定阶数为确定阶数为N，阻带衰减为，阻带衰减为As dB的切比雪的切比雪 夫夫II型滤波器的型滤波器的。w w c由 由 cheb2ord函数确定。函数确定。 %高通滤波器的设计高通滤波器的设计 wp=1/(2*pi*5000);ws=1/(2*pi*1000);Ap=1;As=40; N,Wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s); num,den = butter(N,Wc,s); disp(LP 分子多项式分子多项式); fprintf(%.4en,num); disp(LP 分母多项式分母多项式); fprintf(%.4en,den); nu

19、mt,dent = lp2hp(num,den,1); disp(HP 分子多项式分子多项式); fprintf(%.4en,numt); disp(HP 分母多项式分母多项式); fprintf(%.4en,dent); 设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, Ap 1dB, As 40dB。 Ap= 40.0000 As= 0.1098 0100020003000400050006000 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Frequency in Hz Gain in dB 设计满足下列条件的模

20、拟设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, Ap 1dB, As 40dB 试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器型带阻滤波器 Ap=1dB;As=20dB;w wp1=10;w wp2=30;w ws1=19;w ws2=21。 Ap=1;As=20;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21; B=ws2-ws1;w0=sqrt(ws1*ws2); wLp1=B*wp1/(w0*w0-wp1*wp1); wLp2=B*wp2/(w0*w0-wp2*wp2); wLp=max(abs(wLp1),abs(wL

21、p2); N,Wc=buttord(wLp,1,Ap,As,s) num,den = butter(N,Wc,s ); numt,dent=lp2bs(num,den,w0,B); w=linspace(5,35,1000); h=freqs(numt,dent,w); plot(w,20*log10(abs(h); w=wp1 ws1 ws2 wp2; set(gca,xtick,w);grid; h=freqs(numt,dent,w);A=-20*log10(abs(h) 试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器型带阻滤波器 Ap=1dB;As=20dB;w wp

22、1=10;w wp2=30;w ws1=19;w ws2=21。 试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器型带阻滤波器 Ap=1dB;As=20dB;w wp1=10;w wp2=30;w ws1=19;w ws2=21。 10192130 -100 -80 -60 -40 -20 0 ：AF分子、分母多项式的系数向量分子、分母多项式的系数向量 Fs：抽样频率：抽样频率 ：DF分子、分母多项式的系数向量分子、分母多项式的系数向量 利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2 , W Ws=0.6 , Ap 2

23、dB, As 15dB %determine the DF filter numd,dend=bilinear(numa,dena,Fs) %plot the frequency response w=linspace(0,pi,1024); h=freqz(numd,dend,w); plot(w/pi,20*log10(abs(h); axis(0 1 -50 0);grid; xlabel(Normalized frequency); ylabel(Gain,dB); %computer Ap As of the designed filter w=Wp Ws;h=freqz(numd,dend,w); fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10( abs(h(1); fprintf(As= %.4fn,-20*log10( abs(h(2); 利用利用AF-BW filter及及双线