勾股定理 (2)

1、 读一读读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦较长的直角边称为股，斜边称为弦.图图1-1称为称为“弦图弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在注解，最早是由三国时期的数学家赵爽在注解周髀算周髀算 经经时给出的时给出的.图图1-2是在北京召开的是在北京召开的2002年国际数学年国际数学 家大会（家大会（TCM2002）的会标，其图案正是）的会标，其图案正是“弦图弦图” ，它标志着中国古代的数学成就，它标志着中国古代的数学成就. 图1-1图1-2 18.1 勾股定理勾股定理 相传相传2500年前，毕达哥拉斯有一次

2、年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系种数量关系 我们也来观察右我们也来观察右 图中的地面，看看有图中的地面，看看有 什么发现？什么发现？ 数学家毕达哥拉斯的发现：数学家毕达哥拉斯的发现： A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？ 直角三角形三边有什么关系？直角三角形三边有什么关系？ SA+SB=SC 两直边的平方和等于斜边的平方两直边的平方和等于斜边的平方 AB C A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位

3、面积） 图图2-1 图2-2 让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系 A的面的面 积积(单位单位 长度长度) B的面的面 积积(单位单位 长度长度) C的面的面 积积(单位单位 长度长度) 图图1 图图2 9 918 44 8 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积） 图图2-1 图2-2 c S正方形 1 43 318 2 分分“割割”成若干个直成若干个直 角边为整数的三角形角边为整数的三角形 （单位面积）（单位面积） A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积） 图图2-1 图2-2 c

4、S正方形 2 1 6 2 18 （单位面积）（单位面积） 把把C“补补” 成边长为成边长为6的的 正方形面积的一半正方形面积的一半 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积） 图图2-1 图2-2 SA+SB=SC A的面的面 积积(单位单位 长度长度) B的面的面 积积(单位单位 长度长度) C的面的面 积积(单位单位 长度长度) 图图1 9918 图图1 A、B、 C面积面积 关系关系 直角三直角三 角形三角形三 边关系边关系 44 8 两直角边的平方和 等于斜边的平方 A B C 图图3-1 A B C 图图3-2 分割成若干个直角边为分

5、割成若干个直角边为 整数的三角形整数的三角形 c S正方形 25 1 44 3 1 2 （面积单位）（面积单位） 一般的直角三角形一般的直角三角形 三边为边关系三边为边关系 探究二： A B C 图图3-1 A B C 图图3-2 把把C“补补”成边长为成边长为7的的 正方形面积加正方形面积加1单位面单位面 积的一半积的一半 c S正方形 25（面积单位）（面积单位） 思考：思考：面积面积A，B， C还有上述关系还有上述关系 吗？吗？ ）（17 2 1 2 A B C 图图3-1 A B C 图图3-2 （1）你能用三）你能用三 角形的边长表示角形的边长表示 正方形的面积吗？正方形的面积吗？

6、（2）你能发现）你能发现 直角三角形三边直角三角形三边 长度之间存在什长度之间存在什 么关系吗？与同么关系吗？与同 伴进行交流。伴进行交流。 议一议议一议 42 32 52 22 32 （ 13 ）2 A A B B C C a a c c b b S Sa a+S+Sb b=S=Sc c 设：直角三角形的三边长分别是设：直角三角形的三边长分别是a、b、c 猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？ a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 a a c c b b 勾勾 股股 弦弦 命题命题1 1： 如果如果直角三角形的两

7、直角边长直角三角形的两直角边长 分别是分别是a a、b b，斜边长是，斜边长是c c，那么，那么 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2。 赵爽的赵爽的“弦图弦图” 早在公元早在公元3世纪，我国世纪，我国 数学家赵爽就用左边的图数学家赵爽就用左边的图 形验证了形验证了“勾股定理勾股定理” 思考思考:你能验证吗？你能验证吗？ (4) (3) (2) (1) (1) (2) (3) (4) c c c c (a-b)2 (a-b)2C24 2 1 ab= a2 + b2 = c2可得： a2+b22ab = c22ab b C a 想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？想一想：这四个直角三角形还能

8、怎样拼？ 证明一证明一 b a b a b a b a c c c c 想一想想一想: : 大正方形的面积该怎样表示大正方形的面积该怎样表示? (a+b)2= a2 + b2 + 2ab = c2+2ab 可得可得: a2 + b2 = c2 ab 2 1 4 2 c 证明二证明二 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 a a c c b b 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方等于斜边的平方. . 勾勾 股股 弦弦 勾股定理勾股定理 ( (毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理) ) 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定

9、理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国

10、家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的 国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周 朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直 尺折成一个直角，

11、如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三， 股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即 “勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记 载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作 周髀算经周髀算经中。中。 结论变形结论变形 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； a b c c2=a2 + b2 1. 1.求下列图中表示正方形面积的未知数求下列图中表示正方形面积的未知数x x、y y、z z 的值的值. . 8181 144144 x x y y z z 625625 576576 144144 169169 做一做：做一做： P 625 400 2 6

12、 x P的面积的面积 =_ X=_X=_ 243226 22 x 24 225 B A C AB=_ AC=_ BC=_ 25 15 20 比比 一一 比比 看看 看看 谁谁 算算 得得 快！快！ 3.3.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: : 可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结: 8 8 x x 1717 1616 2020 x x 1212 5 5 x x 5 21 22222 BCABAC 5 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到 一个男孩头顶上方一个男孩头顶上方40004000米处，过了米处，过了202

13、0秒，飞机秒，飞机 距离这个男孩头顶距离这个男孩头顶50005000米。飞机每时飞行多少米。飞机每时飞行多少 千米？千米？ A 4000米米 5000米米 20秒后秒后 B C 、本节课我们经历了怎样的过程？、本节课我们经历了怎样的过程？ 经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探 索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。 、本节课我们学到了什么？、本节课我们学到了什么？ 通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还 知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、 验证数学