131函数的单调性和最大小值

1、-函数的单调性 一、引入课题一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相 应函数的哪些变化规律：应函数的哪些变化规律： y x 1 1 -1 y x 1-1 1 -1 问：随问：随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？ x1 -1 1 y -1 -1 画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1 1f (x) = x 从左至右图象上升还是下降从左至右图象上升还是下降_?_? 在区间在区间 _ _ 上，随着上，随着x的增大，的增大，f (x)的的 值随着值随着 _ _ 2 2f (x) =

2、 -2x+1 从左至右图象上升还是下降从左至右图象上升还是下降 _?_? 在区间在区间 _ _ 上，随着上，随着x的增大，的增大，f (x)的值的值 随着随着 _ _ 上升上升 （-，+） 增大增大 下降下降 （-，+） 减小减小 3 3f (x) = x2 在区间在区间 _ _ 上，上，f (x)的值随的值随 着着x的增大而的增大而 _ _ 在区间在区间 _ _ 上，上，f (x)的值随的值随 着着x的增大而的增大而 _ _ x -4 -3 -2 -1 01234 f(x) 16 941014916 (-,0 减小减小 （0，+） 增大增大 y 2 4 6 8 10 O - -2 x 841

3、21620 24 621014 1822 D 对区间对区间D内内 x1，x2 ， 当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2) 图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升 ？ O x I y 区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大 x1x2 f(x1) f(x2) M N 对区间对区间D内内 x1，x2 ， 当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2) xx1x2 ？ I y f(x1) f(x2) O M N 任意任意 区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大 图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升 对区间对区间D内内 x1，x2 ， 当当x1x2时，时， 有有

4、f(x1)f(x2) xx1x2 都都 y f(x1) f(x2) O 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I. 如果对于如果对于区间区间D上的上的任意任意 当当x1x2时，时，都有都有 f(x1 ) f(x2 )， 定义定义 M N 任意任意 两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， D 称为称为 f (x)的的单调单调 增区间增区间. 那么就说那么就说 f (x)在区间在区间D上上 是单调是单调增函数增函数， 区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大 图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升 D 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单

5、调 减减函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间. O x y x1x2 f(x1) f(x2) 类比单调增函数的研究方法定义单调减函数类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. . x O y x1x2 f(x1) f(x2) 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I, 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个区间D上上 的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I, 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个区间D上上 的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， 那么就说在那么就

6、说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 区间区间.增增 当当x1x2时，时，都有都有 f (x1 ) f(x2 )， 当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 )， 单调区间单调区间 注意：注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质， 是函数的局部性质；是函数的局部性质； 必须是对于区间必须是对于区间D D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2； 函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接 说某函数是增函数或减函数。说某函数是增函数或减

7、函数。 下列说法是否正确？请画图说明理由。下列说法是否正确？请画图说明理由。 （1 1）如果对于区间（）如果对于区间（0 0，+）上的任意）上的任意x x有有 f( (x)f(0),(0),则函数在区间（则函数在区间（0 0，+）上单调）上单调 递增。递增。 （2）对于区间（对于区间（a, ,b）上的某）上的某3 3个自变量的值个自变量的值 x1 1, ,x2 2, ,x3 3, ,当当 时，时， 有有 则函数则函数f( (x) )在区间（在区间（a, ,b）上单调递增）上单调递增。 123 ( )()()()( )f af xf xf xf b 123 axxxb （二）典型例题 例例1 1

8、 如图如图6 6是定义在闭区间是定义在闭区间-5-5，55上的函数上的函数y=f(x)的图的图 象，根据图象说出象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调的单调区间，以及在每一单调 区间上，函数区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数. . O 书写单调区间时，注意区间端点的写法。书写单调区间时，注意区间端点的写法。 对于对于某一个点某一个点而言，由于它的函数值是一个而言，由于它的函数值是一个 确定的确定的常数，无单调性可言常数，无单调性可言，因此在写单调因此在写单调 区间时，可以包括端点，也可以不包括端点区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。 但对于某些不在

9、定义域内的区间端点，但对于某些不在定义域内的区间端点， 书写时就必须去掉端点。书写时就必须去掉端点。 练习：判断函数练习：判断函数 的单调区间。的单调区间。 2 ( )2f xxx x xxxf2)( 2 y 2 1 o 单调递增区间：单调递增区间： 单调递减区间：单调递减区间： 1 ,( ), 1 ）上上是是增增函函数数。，（ 在在区区间间证证明明函函数数 xxf12)( . 例例2 2 内内任任意意是是区区间间设设),(,x 21 x 1212 12 ( )()(21) (21) 2(x) f xf xxx x 0 x , 2121 xxx0)()( 21 xfxf )()( 21 xfx

10、f 即即 证明：证明： 。两两个个实实数数，且且 x 21 x ),(12)( 在在区区间间则则函函数数xxf 是是增增函函数数。 （取值）（取值） （作差）（作差） （下结论）（下结论） （定号）（定号） 补例补例 3 3证明函数单调性的方法步骤证明函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性的一上的单调性的一 般步骤：般步骤： 任取任取x1，x2D，且，且x1x2； 作差作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）； 下结

11、论（即指出函数下结论（即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性）上的单调性） .23)( . 2上上是是增增函函数数在在证证明明函函数数练练习习Rxxf f（x1） f（x2）f（x1）f（x2）0 f（x1）f（x2）（）（3x12）（）（ 3x22） 3（x1x2） 由由x1x2，得，得 x1x20 .23)(上是增函数上是增函数在在函数函数Rxxf 设设x1，x2是是R上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且x1x2，则，则 例例2 2 物理学中的玻意定律物理学中的玻意定律 ( (k k为正常数为正常数) )告诉我们告诉我们, ,对于一定量的气体对于一定量的气体, ,当

12、体积当体积V 减减 小时小时, ,压强压强 P 将增大将增大. .试用函数的单调性证明之试用函数的单调性证明之. . k p V = 探究：探究：P30 P30 画出反比例函数画出反比例函数 的图象的图象 这个函数的定义域是什么？这个函数的定义域是什么？ 它在定义域它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论上的单调性怎样？证明你的结论 x y 1 思考思考3 3：反比例函数反比例函数 的单调性，的单调性， 单调区间：单调区间： )0(k x k y . ), 0( 1 )(. 3 减函数？证明你的结论减函数？证明你的结论 上是增函数还是上是增函数还是在在函数函数例例 x xf 设设x1，x2（0

13、，+），且），且x1x2，则，则 2 2 1 1 1 )(, 1 )( x xf x xf 21 21 11 )()( xx xfxf 21 12 xx xx 0), 0(, 2121 xxxx 0 1221 xxxx 0)()( 21 xfxf)()( 21 xfxf .), 0( 1 )(上是减函数上是减函数在在函数函数 x xf 11 1 Ox y 1 f（x）在定义域）在定义域 上是减函数吗？上是减函数吗？ 减函数减函数 取取x1=-1，x2=1 f（-1）=-1 f（1）=1 -11 f（-1）f（1） 例例3 3 讨论函数讨论函数 在在(-2,2)(-2,2)内的单内的单 调性调性

14、. . 32 2 axxf(x) 变式变式1 1：若二次函数：若二次函数 2 ( )4f xxax 在区间在区间(-,1(-,1上单调递增，求上单调递增，求a a的取值范围。的取值范围。 变式变式2 2：若二次函数：若二次函数 2 ( )4f xxax 的递增区间是（的递增区间是（-,1-,1，则，则a a的取值情况是的取值情况是 ( )f x 是定义在是定义在R上的单调函数，且上的单调函数，且 的图的图 象过点象过点A（0，2）和）和B（3，0） （1）解不等式）解不等式 （2）求适合）求适合 的的 的取的取 值范围值范围 ( )f x (2 )(1)fxfx ( )2( )0f xf x或

15、x ( )f x 是定义在（是定义在（-1，1）上的单调增函数，）上的单调增函数， 解不等式解不等式 (2 )(1)fxfx 的单调区间。的单调区间。求函数求函数34xxy 2 练习：练习： 注意：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性 在原函数定义域内讨论函数的单调性 思考与讨论思考与讨论 f(x)f(x)和和g(x)g(x)都是区间都是区间D D上的单调函数，上的单调函数， 那么那么f(x)f(x)和和g(x)g(x)四则运算后在该四则运算后在该 区间区间D D内还具备单调性吗？情况如何？内还具备单调性吗？情况如何？ 你能证明吗？能举例吗？你能证明吗？能举例吗？ 1.1.若若f(x)f(x

16、)为增函数，为增函数，g(x)g(x)为增函数，为增函数， 则则F(X)=f(x)+g(x)F(X)=f(x)+g(x)为增函数。为增函数。 2.2.若若f(x)f(x)为减函数，为减函数，g(x)g(x)为减函数，为减函数， 则则F(X)=f(x)+g(x)F(X)=f(x)+g(x)为减函数。为减函数。 3.3.若若f(x)f(x)为增函数，为增函数，g(x)g(x)为减函数，为减函数， 则则F(X)=f(x)-g(x)F(X)=f(x)-g(x)为增函数。为增函数。 4.4.若若f(x)f(x)为减函数，为减函数，g(x)g(x)为增函数，为增函数， 则则F(X)=f(x)-g(x)F(X)=f(x)-g(x)为减函数。为减函数。 三、归纳小结三、归纳小结 1.1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数函数 的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画 函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要 注意函数的定义