152定积分的概念

1、1.5.2 定积分的概念 求由连续曲线求由连续曲线y= =f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2) 近似代替近似代替:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i个小曲边梯形的面积用高个小曲边梯形的面积用高 为为f(x xi)而宽为而宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积 f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (4)取极限：取极限：所求曲边所求曲边梯形的梯形的 面积面积S为为 （3）求和：求和：取取n个小矩形面积个小矩形面积 的和作为曲边梯形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：的近似值： xi y=f(x) x y Oba xi+1xi xD 1 lim( ) n

2、i n i Sfxx = =D 1 ( ) n i i Sfxx = D (1)分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成 n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度x ba n - = 11211 , iin a xx xxxxb - 三、定积分的定义三、定积分的定义 11 ( )( ) nn ii ii ba fxf n xx = - D = 小矩形面积和S= 如果当如果当n时，时，S 的无限接近某个常数，的无限接近某个常数， 这个常数为函数这个常数为函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分，记作上的定积分，记作 b a (x)d

3、x，即f (x)dx =f (x i)Dxi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步四步 曲曲”: 分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限取极限得到解决得到解决. 1 ( )lim( ) n i n i ba f x dxf n x = - = b a 即 定积分的定义： 定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区

4、间。叫做积分区间。 1 ( )lim( ) n i n i ba f x dxf n x = - = b a 即 O ab x y )(xfy = = = = b a Idxxf)( ii n i xfD D = = )(lim 1 0 x x 被积函数被积函数 被积表达式被积表达式 积分变量积分变量 积分下限积分下限 积分上限积分上限 S= b a f (x)dx； 按定积分的定义，有按定积分的定义，有 (1) (1) 由连续曲线由连续曲线y y= =f f( (x x) () (f f( (x x) ) 0) 0) ，直线，直线x x= =a a、x x= =b b及及 x x轴所围成的曲

5、边梯形的面积为轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) (2) 设物体运动的速度设物体运动的速度v v= =v v( (t t) )，则此物体在时间区间，则此物体在时间区间 a a, , b b 内运动的距离内运动的距离s s为为 s= b a v(t)dt。 定积分的定义：定积分的定义： O ab ( )vv t= t v 1 ( )lim( ) n i n i ba f x dxf n x = - = b a 即 b a f(x)dx =f (t)dt =f(u)du。 说明：说明： (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关， 而与积

6、分变量的记法无关，即而与积分变量的记法无关，即 （2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和x xi的的取取法法是是任任意意的的. b b a a f f( (x x) )dxdx = = b b a af f ( (x x) )dx dx - - (3)(3) 定积分的几何意义：定积分的几何意义： Ox y ab y=f (x) b a f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxf b a )( 在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 a=b 时，有 b a f (x)dx=0。 当当f(x) 0时，由

7、时，由y= =f (x)、x= =a、x= =b 与与 x 轴所围成的轴所围成的 曲边梯形位于曲边梯形位于 x 轴的下方，轴的下方， x y O dxxfS b a )(-= =- ， dxxf b a )( ab y=f (x) y=-f (x) dxxfS b a )(-= b a f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-S 上述曲边梯形面积的负值。上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：定积分的几何意义： 积分 b b a a f f ( (x x) )dxdx 在几何上表在几何上表示示 b b a a f f ( (x x) )d dx x = =f f ( (x x

8、) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 =-=-S S 当函数当函数 f (x)在在 x a, b 有正有负时有正有负时, 定积分定积分 几何意义几何意义 b a dxxf)( 3 32 21 1 b b a a S SS SS Sf f( (x x) )d dx x即即-= 就是图中几个曲边图形面积的就是图中几个曲边图形面积的代数和代数和,(x 轴上方面积取正号轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号轴下方面积取负号) O XS2 S1 y S3 1求下列定积分求下列定积分: (1) - 5 0 4)dx4)dx(2x(2x dxx - - 1 1 2 1)3( 例题分析例

9、题分析: 2 0 s si in nx xd dx x (2) 求定积分，只要求定积分，只要 理解被积函数和理解被积函数和 定积分的意义，定积分的意义， 并作出图形，即并作出图形，即 可解决可解决。 用定积分表示下列阴影部分面积用定积分表示下列阴影部分面积 S=_;S=_; S=_; y=sinx X O y X O y 5 -1 y=x2-4x-5 X O y 2 - 2 3 y=cosx 0 sindxx - - 5 1 2 )54(dxxx - - 2 3 2 2 2 coscos dxxdxx ab y=f (x) Ox y ( )yg x= 探究探究: 根据定积分的几何意义根据定积分

10、的几何意义,如何用定积分表示如何用定积分表示 图中阴影部分的面积图中阴影部分的面积? a b y=f (x) Ox y 1 () b a Sfx dx= ( )yg x= 12 ( )( ) bb aa S S Sf xdxg xdx= -=- 2 ( ) b a Sg x dx= 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(f b a = = b a b a dx)x(gdx)x(f 性质性质2. 2. b a dx)x(kf = = b a dx)x(fk 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 = = b c c a b a dx)x(fdx

11、)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. = = 2 12 1 c c b c c a b a dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f Ox y ab y=f (x) 定积分的基本性质定积分的基本性质 例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积 积为义，可得阴影部分的面 根据定积分的几何意上连续，且 ，在）在图中，被积函数（ , 0)( 0)(1 2 = xf axxf解：解： dxxA a2 0 = 0000a y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -12 f(x)=1 ab-12 f(x)=(x-1)2-1 积为义，可得阴影部分的面 根据定积分的几何意上连续

12、，且 ，在）在图中，被积函数（ , 0)( 21)(2 2 -= xf xxf解： dxxA 22 1- = 例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积 0000a y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -12 f(x)=1 ab-12 f(x)=(x-1)2-1 积为义，可得阴影部分的面 根据定积分的几何意上连续，且 ，在）在图中，被积函数（ , 0)( 1)(3 = xf baxf解： dxA b a = 例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积 0000a y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -12 f(x)=1 ab-12 f(x)=(x

13、-1)2-1 可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义 ，上，在上，上连续，且在 ，在）在图中，被积函数（ 0)(20, 0)(01 211) 1()(4 2 - -= xfxf xxf 解： dxxdxxA -= - 1) 1( 1) 1( 22 0 20 1 例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积 0000a y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -12 f(x)=1 ab-12 f(x)=(x-1)2-1 成立。 说明等式利用定积分的几何意义0sin 2 2 = - xdx 例3： 解： 所以 并有上，在 上，上连续，且在，在 在右图中，被积函数 , , 0sin 2 0, 0sin 0 2 22 sin)( 21 AA xx xxf = - = 0)( 12 2 2 =-= - AAdxxf 2 - 2 2 A 1 A x y f(x)=sinx 1 -1 1、利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的 正、负号。 2 0 sin xdx - 2 1 2dx x 2、利用定积分的几何意义，说明下列各式成立： 0sin 2 0 = xdx = 2 00 sin2sin xdxxdx 1）2）. 1）2）. 练习： 3、试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。 0 y