习题册部分题目解答或提示

1、习题册部分题目解答或提示第一章、概率论的基本概念内容提示：1 .掌握事件的关系及运算.2 .理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(bayes)公式等.3 .理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算.1.掌握事件的关系及运算：重点：和、积、补事件(逆事件)的表示、运算1.1.1 以a表示事件 甲种产品畅销，乙种产品滞销 ”，则其对立事件 a为：(d )。a)甲种产品滞销，乙种产品畅销；b)甲乙产品均畅销；c)甲种产品滞销；d)甲产品滞销或乙种产品畅销 .1.1.2 设a,b,c是三个事件，则 au

2、buc表示(c )。a)a,b,c都发生；b) a,b,c都不发生；c)a, b ,c至少有一个发生；d) a,b,c不多于一个发生提示：以上主要是关于事件关系的理解，以及事件运算的表示， 尤其是德摩根定律的应用2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，掌握概率的加法公式、减法公式、 乘法公式特例：差事件概率计算转化为包含事件的概率计算特别提示：很多题型都使用到了p(a-b) = p(a) - p(ab),这个是一般公式1.1.3对于任意事件a,b,有p(a b)= ( c )。a) p(a)-p(b);b) p(a) _p(b)+ p(ab);c) p(a)p(ab);d) p(a)

3、+p(b) p(ab)。1.1.2 设 p(a) =1/3 ,p(b) =1/ 2。在下列三种情况下求 p(ba)的值:1) ab=; 2) aub； 3) p(ab)=1/8。解：因 p(ba) =p(b) p(ab)1) p(ba)=1/2； 2) p(ba) = p(b)p(a) =1/6； 3) p(ba)=3/8。重点：加法公式、乘法公式、条件概率计算的综合使用1.1.6 已知 p(b) =1/3, p(ba)=1/4, p(a b) =1/6,则 p(ab)=1/18。1.3.4 设事件 a,b,p(a) =0.7,p(b) =0.5,p(b a) = 0.4，则 p(a= b)

4、= 0.72 ；1.1.3假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1 ；乙河流泛滥的概率为0.2 ;当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为 0.3,试求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率。解：设a =甲河流泛滥, b =乙河流泛滥,由题意，该地区遭受水灾可表示为a= b,于是所求概率为：(1) p(a b)= p(a) p(b) - p(ab)= p(a) p(b) - p(a)p(b/a)= 0.1 0.2 -0.1 0.3 =0.27(2) p(a/b)=p(ab) p(a)p(b/a)

5、 _ 0.1 0.3=0.15p(b)p(b)0.2应用：根的概率计算21.3.3 若k u(1, 6),则方程x2 +kx +1 =0有实根的概率是4/5 ;特例：放回与不放回试验结果相同的理解1.3.4 已知5个人进行不放回抽签测试，袋中 5道试题(3道易题，2道难题)，问第3个 人抽中易题的概率是(a )。a) 3/5；b) 3/4；c) 2/4；d) 3/10 .1.2.5某人射击时，中靶的概率为3/4,如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为(c )a ) (3/4)3 b) (3/4)2 0/4 c) (1/4)2x3/4d) (3/4)33.不可能事件、必然事件、对立事件、相

6、互独立事件、互不相容事件概念的理解1.3.6 辨析题：判断下列命题是否为真，若不为真，请举一反例：1)若p(a) = 0 ,则a为不可能事件；2)若p(a) =1,则a为必然事件；3)若a,b互不相容，则 p(a)=1p(b)。解：反例：向区间0,1上随机投点，则 s=x0wxw1,事件：a=x=0.5, b=x0x1, c =x0mxm0.4, d=x0.5x0,p(b) 0,p(a b) = p(a),则下列结论不正确的有( d )a) p(b|a) = p(b); b) p(a|b) = p(a);c) a,b相容;d) a, b互不相容。1.3.5.设a, b互不相容，且p(a) 0,

7、 p(b)0,则下列结论正确的有( c )。a) p(b|a)0;b) p(a|b) = p(a);c) p(ab)=0;d) p(ab) = p(a)p(b).4.重点：掌握概率的全概率公式以及贝叶斯(bayes)公式1.1.5 有三个形状相同的箱子，在第一个箱中有两个正品，一个次品；在第二个箱中有三个正品 一个次品；在第三个箱中有两个正品，两个次品.现从任何一个箱子中，任取一彳产品，求取到正 品的概率。解：设bi=从第i个箱子中取到产品(i=1,2,3) , a=取得正品。由题意知 q=b1+b2+b3 , b1,b2,b3是两两互不相容的事件。p(b1)=p(b2)=p(b3)=1/3

8、,p(a|b1)=2/3,p(a|b2)=3/4,p(a|b3)=2/4=1/2由全概率公式得p(a尸p(b1)p(a|b1)+p(b2)p(a|b2)+p(b3)p(a|b3)=0.641.1.6 已知商场某产品由三个厂家提供，产品次品率分别为0.02、0.01、0.03,销售份额分别占0.15、0.80、0.05,现消费者因为产品问题提出索赔，但由于保存不善标志缺失， 如果你是商场负责人，想将这笔索赔转嫁给厂家，如何分摊最合理？解：设a表示产品为不合格品，bi (i =1,2,3)表示产品是由第i个厂家提供的，由题可得：p(b1)=0.15, p(b2)=0.80, p(&)=0.05,

9、p(ab1)=0.02, p(ab2)=0.01, p(ab3)=0.03由全概率公式：p(a) -p(a bi)p(bi) p(a b2)p(b2) p(ab3)p(b3) =0.0125由贝叶斯公式：p(bi a)=p(abi)p(bi)p(a)0.02 0.150.0125=0.24p(b2 a) = 0.64p(b3 a) =0.12.由上可见，比较合理的分配比例应为：0.24 :0.64 :0.12 ,即6:16:3.1.1.7 三个箱子，第一个箱子中有3个黑球一个白球，第二个箱子中有2个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球2个白球，求：(1)随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个

10、球，这个球为白球的概率是多少？(2)已知取出的球是白球，此球属于第三个箱子的概率是多少？解：设事件a表示 取出一球为白球”，bi表示 取到第i只箱子”，i =1,2,3 ,则p(bi) =1/3。由全概率公式得:(1)3113 25p(a)=;p(bi)p(a|bi)=3(-) = -由贝叶斯公式得:(2)pzo |ax p(b3)p(a|b3) 分 24p(b31axp(a) =1t751.3.3玻璃杯成箱出售,每箱20只。已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为 0.8、0.1和0.1 ,某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该

11、箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。解：设事件a表示 顾客买下该箱bi表示箱中恰好有i件次品，i = 0,1,2 ,则p(b)=0.8, p(bi)=0.1, p(b2)=0.1,c4p(a|b0)=1, p(a|bj=三c204c1434 fai b2x 怎12o191）由全概率公式得:2p(a)八 p(bi)p(a| bi) =0.8 1 0.1 i =0412乂 +0.1 m =0.94 ;192）由贝叶斯公式:p(r| a)=%皿回= 0.85。p(a)0.94第二章、随机变量及其分布内容提示:1 .理解随机变量的概念，理解分

12、布函数f(x) = px _x( -二；x ：二二)的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.2 .理解离散型随机变量及其概率分布的概念及性质，掌握0 1分布、二项分布b（n, p）、u（a,b）、正态分泊松（poisson）分布.3 .理解连续型随机变量及其概率密度的概念及性质，掌握均匀分布布n（n。2）、指数分布。4 .会求随机变量函数的分布(分布函数法和单调函数下的公式法).1.理解随机变量的概念，理解分布函数(离散-分布律、连续-概率密度)的性质b2.1.2常数b= ( b )时，pk =(k =1,2,)为离放型随机变重的概率分布。k(k 1)a) 2b) 1c) 1/2d)

13、 31 1提不：利用 工pk =1,且pk =b(1 -),利用前后项彼此相消即可得到结果k 4k k 11.2.2 已知随机变量 x的分布函数的是 f(x) = a + barctanx,则a= 0.5 : b=1/兀二p| x |1 =0.5。提示：利用分布函数性质：lim f(x)=1,lim f(x)=0计算。为使 f(x) =af1(x) - bf2 (x)x_jx.1.2.3 设fi(x)和f2(x)分别为随机变量 xi,x2的分布函数,是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取(a )a) a= 3/5, b=- 2/5 b) a=2/3, b=2/3c) a= 1/2

14、, b= 3/2 d) a=1/2, b=- 3/2提示：利用分布函数的性质求解，注意lim fi(x)= lim f2(x) =1 ,而x j ： .x二1= lim f (x) = lim (af1(x) -bf2(x) = a lim f1 (x) -b lim f2(x) = a*1 -b*1 = a - b x 二x 二x j二x j二即寻找满足a-b=1的组合即可，显然只有ao2.常用经典6个分布(01分布、二项分布b(n, p)、泊松(poisson)分布；均匀分布u(a, b)、正态分布n(n,。2)、指数分布)的分布(离散-分布律、连续-概率密度)及其性质2.1 二项分布、泊

15、松分布k kn -k2.3.5、 设x服从二项分布，其分布律为px=k=cnp (1 - p) ,(k = 0,1,n),右(n+1)p不是整数，则k取何值时px=k最大？ ( d )。a) k=(n+1)p b) k=(n+1)pi c) k = np d) k=(n + 1)p提示：这里由于 px =k =c：pk(1 p)i,(k=0,1,n)关于k不是一般函数，因此利用求导等方法求解会存在较大问题，因此这里使用最大值比两边值大的性质求解(这个是高中数列的相关知识点)，即： 旦 之1,吐1,将上述通项代入这两个不等式，求解出 kpkipk的约束范围即可得出答案！2.2.2 已知 p(x

16、=k)=c,x/k!,(k=1,2，)，其中九：0,则 c =( d )a) ej b) e九c) e-1d) ea-1二 k1开始,提示：这里利用级数 e%= ，注意下标是从零开始才有这结论，而题目中是从 k zo k!因此在计算时采用添加 k=0的项，然后再减去这项的方式求解，具体：_11=pk = ckj km k!二 k1=c7 k!-be - k - k)=c(e -1)= c = (e _ 1)kz0k2.2.1设随机变量x的分布律为p(x=k) = a二(k=0,1,2,),九a0为常数，则常数k!a = e。提示：1)直接结合泊松分布分布律，依据形式上对应相等求解;2)注意利用

17、泰勒展开式:kxqx e =k =0 k!二,ke,“= 一求解该题!k =0 k!2.2均匀分布4x2 +4kx +k + 2= 0有实根的概率为2.1.4设k在(0, 5)上服从均匀分布，则方程0.6 。2.2.4设随机变量k在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2+kx +1 = 0有实根的概率是0.8提示：1)直接利用第一章几何分布模型绘图求解，但注意实际有效区域;2)结合均匀分布密度计算概率：显然方程有解则： = k2-4t0= k之2或kw-2而k的概率密度为:f(x).v 01x6,因此方程有实根的概率实则为计算:others614p(k _2 k -2) =f(x)dx= f(x

18、)dx=2 dx =0.8k _2 k.yk _2552.3重点：正态分布：密度函数、对称性、3(t准则、随机变量函数分布2、 x2.1.6 若 x n(n,。2),则n(0, 1)。aa) n(0, 1) b) n(1,4)c) n(1,3)d) n(-1, 1)2.2.5 设 x n(0, 1), y =2x 1 ,则 y ( b )2.1.7 若 x n(n,。2),则概率 px = 1/2 。2.1.5 设随机变量 x n(n,。2),且 px c = px ac,则 c= ( b )a) 0b) lc) - ld)二提示：结合正态分布的性质，尤其注意其对称性的使用！3.2.4设随机变

19、量 x与y相互独立，x n(0,1) , y n(1,1),则下列结论正确的是(b )。a. px ym0w/2b. px ye1=1/2c. pxym0w/2d. pxye1=1/2提示：这里主要是考察对称性，首先计算z=x+y与2=*-丫的分布，如可知z=x+yn(1,2), 利用类似上述几题的思想则可知小于等于1时概率为1/2.同样很多题目也是这样的思想求解！2.3.4设随机变量x服从正态分布 n(n尸2),则随仃的增大，概率p| x n卜仃应(c )。a)单调增大b)单调减少c)保持不变 d)增减不定提示：3 b准则的理解f(x)是x的分布函数，则对2.3.1设随机变量 x的概率密度为

20、 中(x),且9(x)=中(-x),任意实数a,有(b )alp(x)dx c) f(a)=f(a)a . ,、,_1a) f(a) =1 中(x)dx b) f(-a)=-d) f( -a) =2f(a) -1提示：可以结合正态分布来理解这道题！1_(x3)22.2.5设随机变量x 的概率密度为f(x) =e- 4 ,s xg),则 2,二丫=小(0,1)2 .2.3.5设随机变量x服从(0, 2)上的均匀分布则随机变量y = x 在(0, 4)内的概率密一1 一度为 fy (y) = ,0 y 4。4, y提示：课件里面有证明过这样的同样结论，查询一下！2、 _一2.3.5 设 x 为正态

21、随机变量，且 x n(2,。)，又 p2 x 4 =0.3,求 px 0。2-2 x -24-22解：由 p2 二 x ：二4 =p2 jx 4 - = ：，()-中(0) =0.3ctctctct,2,力(一)=中(0) 0.3 = 0.5 0.3 =0.8cf一一 .0-2.2. 2p x :二 0-/()-/(- -)=1 - 1(一) =1 - 0.8 = 0.21/2; 3) p1 ex 2 ； 4) y = 2x +1 的分布 律。解：1)由分布函数定义，f(x)=px mx当 x 1 时，f(x) = px x =0当1 e x 1 时，f (x) = px x = px=-1=

22、0.2当 1 ex 2 时，f(x) =px ex =px = 1+px=1 =0.7当 x 之2 时，f(x) = px x = px= -1+ px =1+px =2 = 1。 x -10 2 -1 x 1/2 =1px 1/2 =1 f(1/2) =10.2 = 0.83) p-1 x 2 =px =-1 +p-1 x 2 = px =-1 +f(2) -f(-1)= 0.2 1 -0.2 =14) y =2x +1的分布律为y-135p0.20.50.33.12连续型2.1.2设随机变量x的概率密度为fx (x)ax2,0,0 x 1一一，求：1)系数a； 2)x洛在 其它(0,1/2

23、)内的概率；3) x的分布函数；4) y=3x+2的概率密度。解：1)由概率密度的性质cfx(x)dx = 1,即ax2dx=1,解得a = 32) p1/2 x 1/2 = 0/23x2dx = 1/83)由分布函数定义，x当 x1 时 f(x) = bf dt= l0dt + 03t2dt + f 0dt=1。x 0故x的分布函数为：f(x) =x3, 0x11 j一，,12 一，1 ,工4)函数y =3x +2的反函数为 h(y) = - y 一一 ,其导数为 h (y)= -恒大于手，则333y = 3x + 2的概率密度为fy (y)=12 2 13( y - -), 2 _ y _

24、 53330,其它= y-3)2, 2.50,其它2.2.3设随机变量x的概率密度为f (x) = cx,0,0 x ： 1求.其它，(1)常数 c的值；(2) x 的分布函数 f(x); (3) p0,1 x 0.5 o1解：(1) f f(xdx=1, fcxdx = c/2=1, c=2 ,00,x :二 0xi xc(2) f(x) = j f (x dx =f 2xdx = x , 0mx101,x - 1(3) p0.1 x0.5 =(0.5 2 -(0.12 =0.242x, 0cx12.2.4设随机变量x的概率密度为f(x)=，求y=3x+1的概率密度。0,其它解：方法一：定义

25、法1 y 1fy(y) =py - y = p3x 1 y =px -y1 = 3 f (x)dx (1 二 y :二 4) 3-fy) (三)(f)=；f(t)寸中1)故 fy(y)=3写0,),1 ： y 二 4其它方法二：公式法函数y =3x +1在(-产)内可导，且导数y =3a0 ,其反函数 h(y) =y二1 ,3,1h (y) =3 , s = min 1,4 =1, p = max 1,4 = 4 ,则 y=3x+1 的概率皆度为y-1 12(y -1)2- =- ,1 ： y ： 4fy(y)=3390,其它0x :二 02.2.2设连续型随机变量 x的分布函数为：f(x)=

26、ax20wx1,j求：1)系数a; 2)概率密度邛(xj3) p0.3 x 0.7 ; 4) y = 2x1的概率密度。2ax, x = f x = 00 x ： 1其它0 , x ：二 0解：1)与 2) v f(x)=jax2, 0 mx 11二 2 2axdx = 1= a = 1 , 0故概率密度为:2x x =00 _ x ： 1其它3) p0.3 ： x 二 0.7 =f(0.7) f(0.3) =0.72 0.32 =0.4一 y , 1 一，,1 ,-4)函数y =2x1的反函数为h(y) =1一，其导数为h (y)=一，恒大于零，故y = 2x -1222 y_j 1 二亡概

27、率密度为fy (y) = 0且b0c. 0eae1 且 0eb1d. a 0 且 b 0 , a + b = 1提示：注意利用概率密度整个区域积分等于1 ,同时结合概率密度必须非负的特性求解该题！aej2x 书y) x 0, y 03.1.1设(x,y)的概率密度为f(x,y)=j开小0其他则 a=6, px m2,y m1 =(1 e)(1 e*)提示：整个概率密度区域上积分为1可求得！3.1.3 、设(x,y)的分布律为3.1.4 设(x,y)为二维随机变量，且 x与y相互独立，fx(x)、fy(y)分别表示x与y的概率密度，则在 y = y的条件下，x的条件概率密度fx|y(xy)为(b

28、 )。fv (x)a. fy(y)b. fx (x) c. fx(x)fy(y)d. -x-(-)fy(y)提示：可以参照第一章的独立性、条件概率来理解条件概率密度2.掌握随机变量相互独立的判别方法 3.1.2如果（x,y）的分布律为xx丫12311/61/91/1821/3ab当a和b取何值时，x与丫相互独立？一 1111,-1斛：一十+ +a+b=1,故而 a+b =一6 9 18 33当 x 与 y 相 互 独 立 时1，1111px =1,y =2 =px =1py =2 =()( a)96 9 18 9211斛得 a=, b=_a=_9393.2.3二维随机变量(x,y)的分布律为7

29、0100.4a1b0.1已知随机事件x =0与x +y=1相互独立，则下列结论正确的是（ b ）。d. a = 0.1, ba. a = 0.2, b = 0.3 b. a = 0.4, b = 0.1 c. a = 0.3, b = 0.2=0.4 3.1.5、设随机变量x与y相互独立，下表列出了二维随机变量 （x,y）的分布律及关于 x与关于y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。123px=i11/241/81/121/421/83/81/43/4py=j1/61/21/313 .边缘分布的求解、连续型相互独立的判定4 .随机变量函数的分布（分布函数法和单调函数下的公式法）3.1.4设随机变量x与y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则pmax( x,y) 1 =1/9 o提示：1 )利用最