分式的恒等变形

1、第二讲分式的恒等变形【专题知识点概述】分式的恒等变形是代数式包等变形的一种。它以整式包等变形为基础,d那么ac bd (内项积等于外项积) c并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性， 在数学竞赛中 常常出现有关这方面的命题。分式的包等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分 式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。一：基本知识1 .分式的运算规律(1)加减法：a b3(同分母)c c ca d ac bd (异分母) b c bc乘法：a?c空b d bd(3)除法：a - d b d bcn(4)乘方：()n nb bn2 .分式的基本性质a ama a m z(1

2、),(m 0)b bmb b m(2)分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不 变。3 .比例的重要性质(1)如果a b(2)如果a b(3)如果a b(4)如果a b(5)如果a b那么a bd,d f那么a f (传递性)c c e b e c那么a_b c_d (合比性质)d b cc,(b d 0)那么a_c b_d(合分比性质)da c b dcm,且 b d n 0,m且(等比性质) n bdn4 .倒数性质(1)如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为 1。(2)如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幕仍互为倒数。(3)如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小

3、于 2、有关分式的运算求值问题乘法公式是进行整式包等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。?例1.若a、b、c均为非零常数，且满足a b c a b c a b ccba又x (a b)(b c)(c a),且 x 0,求 x 的值 abc? 例2.已知1 1 3,求2x 3xy 2y的值xy x 2xy y? 例3.已知三个正数a、b、c满足abc=1,求b的值ab a 1 bc b 1 ac c 1? 例4.已知-2 0 bc a ac b ab cc(ab c2)2的值a(bc a2)2b/2 2(ac b )?例 5.已知 3-

4、 1,- - - 0,a b c x y z222求三4 4的值。a b c例6.已知x+y+z=3a （ a 0,且x、y、z不全相等），求(x a)(y (xa) (y a)(z a) (z a)(x a)a)2(ya)2 (za)2的值2c2bc2/a b2ca2,2a b2ab,n是自然数,.222求(b c a)2n12bc22,2c a b )2n2ca2,2i (a b 2ab2j)2n 1的值。若x a 1,求x32x 2的值。?例9.已知;，试求分式? 例10.已知三个不全为零的数x、v、z满足4x 3y 6z 0,22 c 2x 2y 7z 0。求 2x3y咚 的值。x2

5、5y2 7z2?例11.若x、y、z为有理数，且 222_2_2_2/乙/乙/乙/(y z) (z x) (x y) (y z 2x) (z x 2y) (x y 2z)求(yz叱1)(xy 1)的值(x l)(y l)(z 1)? 例12.已知a、b、c互不相等，且满足a+b+c=0,2. 22的值。ab求 a c_2a2 bc 2b2 ac 2c2?例 13.已知 a b,a 0,b 0,a b0,x簿，求u 七用的值。a b x 2a x 2b?例 14.若 a b ccabcb求(a b)(a c)(b c)abc的值。? 例15.如果p,q,里,2q都是整数，且p 1,q 1,求p

6、q的值。三、有关分式的化简问题?例16.化简圣(a b)(b c)(c a) o(a b)(b c)(c a)?例17.化简（xx21 x 1 x11c x 3xx122x -3xx?例18.化简x2x3xnxi(xi x2) (xi x2)(x1 x2 x3)(xi x2xni)(xix2xn)?例19.已知a2 b2 (a b c)2并且b 0,22化简：2(a c)2。b(b c)?例20.若x导0,化简 m n2axmx naxom?例21.化简:(y x)(z x)(x 2y z)(x y 2z)(z y)(x y)(x y 2z)(z y 2x)(x z)(y z)(y z 2x)

7、(x 2y z)三、有关分式的证明问题?例22.若ab c c a a bb c 0且a b cbc b cca c aab a b0.2 2 b c2 2 c a2. 2a b? 例23.已知有理数a、b、c满足a+b+c=0, abc=8.试判断,是 a b c正数、负数、还是零。?例24.已知有理数a、b、c满足1a一1一，求证: a b ca b或 bc或 ca 。?例25.若n为自然数，且1a1111 2n 1c2n 1, 2n 1 2n 1 2n 1. 2a b c a b?例26.证明：对于任意自然数n,分数正不可约。?例27.已知ab c 0,且a、b、屏b不等于0,求证:a(b1) cb(1 a111-)c( )3 0。ca b?例28.证明:11a(a d) (a d )(a 2d)1a (n 2)da (n 1)dn 1aa (n 1)d?例29.设正整数，求证：已(2n 1)(2n 1)求证例 30.若 x y z 0,x y 0