他经常输什么花的理解.

1、第九章第九章 曲线积分与曲线积分与 曲面积分曲面积分 9.4 数量值函数的曲面积分（第一类数量值函数的曲面积分（第一类 曲面积分）曲面积分） 9.4.1 9.4.1 第一类曲面积分的概念与性质第一类曲面积分的概念与性质 9.4.2 9.4.2 第一类曲面积分的计算方法第一类曲面积分的计算方法 9.4.1 9.4.1 第一类曲面积分的概念与性质第一类曲面积分的概念与性质 物质曲面的质量问题物质曲面的质量问题 设设 质曲面，其面密度为质曲面，其面密度为 为面密度非均匀的物为面密度非均匀的物 ( , , )x y z，求其质量，求其质量 M 把曲面把曲面 分成分成 n个小块个小块 12 , n SS

2、S ( i S 曲面的面积曲面的面积),在在 也代表也代表 i S上任取一点上任取一点 ( ,) iii ,则质量则质量 M的近似值为的近似值为 iiii n i S ),( 1 设设 是各小块曲面是各小块曲面 i S的直径的最大值，当的直径的最大值，当 0 时，若面密度函数时，若面密度函数 ( , , )x y z 在曲面在曲面 上连续，那上连续，那 么对上式取极限可得质量么对上式取极限可得质量 M的精确值，即有的精确值，即有 iiii n i SM ),(lim 1 0 定义定义 设曲面设曲面 是光滑的，函数是光滑的，函数 ( , , )f x y z 在在 上有界，把上有界，把 任意分成

3、任意分成 n小块小块 12 , n SSS ( i S 也代表曲面的面积也代表曲面的面积)，在，在 i S上任取一点上任取一点 ( ,) iii 作乘积作乘积 ( ,)(1,2, ) iiii fS in ，并作和并作和 1 ( ,) n iiii i fS .如果当各小块曲面的直径的最大如果当各小块曲面的直径的最大 值值 0时极限时极限 iiii n i Sf ),(lim 1 0 此极限为数量值函数此极限为数量值函数 总存在，则称总存在，则称 ( , , )f x y z 在曲面在曲面 面积分面积分，记作，记作 上的上的曲曲 ( , , ),f x y z dS 即即 iiii n i S

4、fdSzyxf ),(lim),( 1 0 (1) 其中其中 ( , , )f x y z 称为称为被积函数被积函数， 称为称为积分曲面积分曲面， dS称为曲面的称为曲面的面积元素面积元素 数量值函数的曲面积分也称为数量值函数的曲面积分也称为第一类曲面积第一类曲面积 积分或对面积的曲面积分积分或对面积的曲面积分(下文中采用第一类下文中采用第一类 曲面积分这一名称曲面积分这一名称) 如果如果 为封闭曲面，常将为封闭曲面，常将 dSzyxf),(写成写成 ( , , )f x y z dS 类似定积分的存在条件类似定积分的存在条件,若函数若函数 ( , , )f x y z 在光滑在光滑 曲面曲面

5、 上连续，则曲面积分上连续，则曲面积分 dSzyxf),( 在的，今后总假定在的，今后总假定 是存是存 ( , , )f x y z在在 上连续上连续 根据上述定义，本节开始提到的面密度为连续根据上述定义，本节开始提到的面密度为连续 ( , , )x y z的光滑曲面的光滑曲面 的质量的质量 M可表示为可表示为 ( , , )x y z在在 上对面积的曲面积分上对面积的曲面积分 ( , , )Mx y z dS 曲面积分有以下性质曲面积分有以下性质： (1) 设设 1 c、 2 c为常数，则为常数，则 dSzyxgcdSzyxfcdSzyxgczyxfc),(),(),(),( 2121 (2

6、) 若曲面若曲面 可分成两片光滑曲面可分成两片光滑曲面 1 及及 2, 规定函数在规定函数在 则则 上对面积的曲面积分等于函数上对面积的曲面积分等于函数 在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和 2121 ),(),(),(dSzyxfdSzyxfdSzyxf (3) 设在曲面设在曲面 上，上， ( , , )( , , ),f x y zg x y z 则则 dSzyxgdSzyxf),(),( (4) ,dSA 其中其中 A为曲面为曲面 的面积的面积 4.2 第一类曲面积分的计算方法第一类曲面积分的计算方法 如果光滑曲面如果光滑曲面 由方程由方程 ( ,

7、 )zz x y给出，给出， 在 在xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为 xy D(图图9-10) ， 函数函数 ( , )zz x y 在在 xy D 上具有连续的偏导数，函数上具有连续的偏导数，函数 ( , , )f x y z 在曲面在曲面 上连续，那么由第八章第四节可知上连续，那么由第八章第四节可知 ， 的面积元素为的面积元素为 22 1( , )( , ) xy dSzx yzx y d， 而在而在 xoy 平面上平面上 ddxdy，所以得 所以得 曲面曲面 因此光滑曲面因此光滑曲面 的面密度为的面密度为 ( , , )f x y z 其质量元素为其质量元素为 时，时， 22 ,

8、 , ( , ) , , ( , ) 1( , )( , ) xy f x y z x y dSf x y z x yzx yzx y dxdy 根据元素法，曲面根据元素法，曲面 的质量为的质量为 22 , , ( , ) 1( , )( , ) xy xy D Mf x y z x yzx yzx y dxdy 即即 22 ( , , ) , , ( , ) 1( , )( , ) xy xy D f x y z dSf x y z x yzx yzx y dxdy (3) 所以所以,曲面积分的计算是把曲面积分化为二重曲面积分的计算是把曲面积分化为二重 22 1( , )( , ) xy d

9、Szx yzx y dxdy(2) 给出，给出， 在在 xoy面上的投影区域为面上的投影区域为 xy D ，函数函数 ( , )zz x y在在 xy D 上具有连续偏导数，被积函数上具有连续偏导数，被积函数 ( , , )f x y z在在 上连续，则上连续，则 22 ( , , ) , , ( , ) 1( , )( , ) xy xy D f x y z dSf x y z x yzx yzx y dxdy 如果积分曲面如果积分曲面 的方程为的方程为 ( , )yy z x， zx D为为 在在 zox 面上的投影区域，则函数面上的投影区域，则函数 ( , , )f x y z 在在 上

10、的第一类曲面积分为上的第一类曲面积分为 zx D xz dzdxxzyxzyzxzyxfdSzyxf),(),(1),(,),( 22 积分来实现的即设曲面积分来实现的即设曲面 由方程由方程 ( , )zz x y 上的第一类曲面积分为上的第一类曲面积分为 dydzzyxzyxzyzyxfdSzyxf zy Dyz ),(),(1,),(),( 22 例例1 计算计算 222222 ()Ixyz y zz xx ydS ，其中曲面其中曲面 是球面是球面 xyza 2222 在第一卦限中的部分在第一卦限中的部分. 解解 由于由于 222 zaxy， 所以所以 0, 0,),( 222 yxayx

11、yxD 如果积分曲面如果积分曲面 的方程为的方程为 ( , )xx y z， yz D为为 在在 yoz面上的投影区域，则函数面上的投影区域，则函数 ( , , )f x y z 在在 2222222 222 33 D a xyzx y dSxy axy x ydxdy axy 333333 2 00 33cossin a D ax y dxdyadrrrdr 9 32 a 例例2 计算计算 222 ()IxyzdS ，其中 其中 是球面是球面 222 2(0)xyzaz a 解解 曲面曲面 可向平面可向平面 xoy投影，这时投影，这时 222222 ()Ixyz y zz xx ydS 由公

12、式由公式(3)(3)得得 222 a dSdxdy axy ， 且计算得且计算得 222 ()IxyzdS 12 222222 ()()xyzdSxyzdS 12 22azdSazdS 在在 1 上，上， 因此因此 222 :D xya，面上的投影区域均为面上的投影区域均为xoy它们在它们在 222 2 : zaaxy。 222 1 : zaaxy， 须分为上下两片须分为上下两片 1 和和 2 ， 444 426aaa 同理可计算得同理可计算得 2 444 2422azdSaaa ，于是，于是 222444 ()628.IxyzdSaaa 2 322 2200 22 a rdr adaa ar 32 222 1 22 DD adxdyadxdy axy 1 222 222 22() D a azdSaaaxydxdy axy 故故 22 222 1, xy a dSzz dxdydxdy a