2024-2025学年江苏省苏州市高二上学期学业质量阳光指标调研数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省苏州市2024-2025学年高二上学期学业质量阳光指标调研数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，即，故选：C.2.在空间直角坐标系Oxyz中，点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得对称点的横坐标和竖坐标与点P的相同，纵坐标与点P的互为相反数，所以点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为，故选：C.3.在平面直角坐标系xOy中，已知直线，，若，则实数（）．A. B.1 C.3 D.1或3【答案】B【解析】根据，则，即，得或，但时两直线重合，故.故选：B．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可得，点，，，∴，∵，则点为的三等分点，故，，，由得：，化简得．故选：B．5.已知等差数列的前n项和为，若，则（）．A. B.1 C. D.【答案】D【解析】，由于是等差数列，所以，即也是等差数列，故．故选：D．6.在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，直线与交于，两点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆的方程为，则，解得，所以，即圆，则圆心为，半径；又直线，即，令，解得，所以直线过定点，又点与圆心在直线（斜率不存在）上，又，所以，当且仅当直线的斜率时取得，又无最大值，且无限接近圆的直径，所以．故选：C．7.如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设，因为直线的方程为，且点在直线上，所以，因为直线的方程为，且点在直线上，所以，因为轴，所以，则，故D正确.故选：D．8.已知等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，，若，则（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由是等比数列，得也是等比数列，而当公比时，，此时，则，不满足，故，所以当公比时，有，则，由，则，即，又由，得，故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列的前n项和为，若，则（）A.是等差数列 B.是等比数列C. D.【答案】ABD【解析】对于AB：因为，故，当时，，当时，也成立，所以，即为常数列，其既是等差数列，也是等比数列，故A、B正确；对于C：，，显然等式仅当时成立，故C错误；对于D：，故D正确故选：ABD．10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点，延长交E于点B，延长交E于点C，则（）．A.的面积为 B.的周长为8C. D.A到直线BC的距离为2【答案】AC【解析】，的面积为，故A正确；周长为8，由，故的周长大于8，故B错误；利用椭圆性质，由，，故C正确；，而，故A到直线BC距离为，故D错误；当然也可以由不垂直到直线BC的距离小于2．故选：AC.11.如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，，，，则（）A.当时，平面B.当时，平面C.当时，三棱锥体积的最大值为D.当时，的最小值为【答案】ABD【解析】以A为原点建立坐标系，则，，,，，,时，,故，,故，平面，故平面，A正确，当时，，由于，故，，平面,平面,故平面，B正确；由，当时，，，，故C错误；当时，则，，可将看作是平面内到点的距离之和，如图：作出关于直线的对称点，则最小距离为与点之间的距离，故，过与点的直线方程为，令，则，故当时取等号，D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列是等比数列，若，，则______．【答案】8【解析】设等比数列的公比为，由题意，解得，所以．13.如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则______．【答案】【解析】，．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知与双曲线的渐近线不平行的直线与C有且仅有一个公共点，直线且与C交于A，B两点，与交于点P，则______．【答案】【解析】直线的斜率为，由直线，设直线的方程为，由消去并整理得，设，则，，取中点，连接，直线的斜率，设直线的方程为，由消去并整理得，则，整理得，而，则，解得，因此直线，四边形为平行四边形，于是，，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且．（1）求及；（2）求的通项公式．解：（1）设等差数列公差为，则，；又，所以，所以，所以，．（2）因为，所以，，以上各式相乘可得，因为，所以.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点B是圆上两点．（1）判断直线与C的位置关系，并说明理由；（2）若，的面积为，求C的方程．解：（1）直线与圆相交，理由如下：圆的方程可化为，可知圆心为，半径，直线的方程可化，可知直线l过定点，因为，故定点在圆C内，所以直线l与圆C相交．（2）因为，，又因为的面积为，可得，因为，结合垂直关系可知直线AB的方向向量可以为，可得，则，即，将代入圆C方程可得，解得，所以圆C的方程为．17.如图，在三棱锥中，已知平面平面ABC，，D，E分别是棱PA，PC的中点，，，三棱锥的体积为．（1）求直线BD与直线CP所成角的大小；（2）求平面BDE与平面ABC的夹角的余弦值．解：（1）因为平面平面ABC，交线为，，平面，所以平面PAB，因为，为的中点，所以⊥，故，又，故，三棱锥的体积为，故，解得，设，故，则，又，由勾股定理得，即，解得或，取的中点，连接，因为，，由勾股定理得，故，因为平面，平面，所以，由勾股定理得，故，当时，，为等边三角形，所以，直线BD与直线CP所成角的大小为；当时，，由勾股定理逆定理得⊥，又，所以为等腰直角三角形，，故直线BD与直线CP所成角的大小为或；（2）D，E分别是棱PA，PC的中点，故，因为平面，平面，所以平面，设平面平面，故，且，由（1）知，，，若，则，故为等边三角形，取的中点，连接，则⊥，，，过点作⊥于点，连接，故或其补角为平面BDE与平面ABC的夹角，因为，，，所以，故，，所以，又，所以四边形为平行四边形，故，，由余弦定理得，若，则，故⊥，且，又，故为等边三角形，，过点作⊥于点，连接，故或其补角为平面BDE与平面ABC的夹角，因为，，在中，由余弦定理得，又，，由余弦定理得，综上，平面BDE与平面ABC的夹角的余弦值为或18.已知数列的前n项和为，，，数列满足．（1）求证：数列为等比数列；（2）求和；（3）记数列的前n项和为，求证：．（1）证明：，且，故为等比数列.（2）解：由（1）可知：，故．（3）解：.19.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，直线与有且只有一个公共点，过点且斜率为的直线交于另一点为中点，延长交于点，以为圆心，为半径的圆交直线于两点．（1）求C标准方程；（2）若，求的值及的方程；（3）当最大时，求的坐标．解：（1）由题意可知，，结合，解得，故椭圆方程为（2）设D为，,则，相减可得，故，因此有：，即，直线，令可得，故，由于为中点，故，为中点，由于,故，因此，解得，由舍负，故，．（3）由，则，当且仅当时取到等号，故最小，由于为锐角，故最小时，此时最大时，故，结合可得，由第二问可求解得：，，，故中垂线所在直线斜率为，结合，故中垂线：，即，又直线，联立与，解得，故中点为，故点为．江苏省苏州市2024-2025学年高二上学期学业质量阳光指标调研数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，即，故选：C.2.在空间直角坐标系Oxyz中，点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得对称点的横坐标和竖坐标与点P的相同，纵坐标与点P的互为相反数，所以点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为，故选：C.3.在平面直角坐标系xOy中，已知直线，，若，则实数（）．A. B.1 C.3 D.1或3【答案】B【解析】根据，则，即，得或，但时两直线重合，故.故选：B．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可得，点，，，∴，∵，则点为的三等分点，故，，，由得：，化简得．故选：B．5.已知等差数列的前n项和为，若，则（）．A. B.1 C. D.【答案】D【解析】，由于是等差数列，所以，即也是等差数列，故．故选：D．6.在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，直线与交于，两点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆的方程为，则，解得，所以，即圆，则圆心为，半径；又直线，即，令，解得，所以直线过定点，又点与圆心在直线（斜率不存在）上，又，所以，当且仅当直线的斜率时取得，又无最大值，且无限接近圆的直径，所以．故选：C．7.如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设，因为直线的方程为，且点在直线上，所以，因为直线的方程为，且点在直线上，所以，因为轴，所以，则，故D正确.故选：D．8.已知等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，，若，则（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由是等比数列，得也是等比数列，而当公比时，，此时，则，不满足，故，所以当公比时，有，则，由，则，即，又由，得，故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列的前n项和为，若，则（）A.是等差数列 B.是等比数列C. D.【答案】ABD【解析】对于AB：因为，故，当时，，当时，也成立，所以，即为常数列，其既是等差数列，也是等比数列，故A、B正确；对于C：，，显然等式仅当时成立，故C错误；对于D：，故D正确故选：ABD．10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点，延长交E于点B，延长交E于点C，则（）．A.的面积为 B.的周长为8C. D.A到直线BC的距离为2【答案】AC【解析】，的面积为，故A正确；周长为8，由，故的周长大于8，故B错误；利用椭圆性质，由，，故C正确；，而，故A到直线BC距离为，故D错误；当然也可以由不垂直到直线BC的距离小于2．故选：AC.11.如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，，，，则（）A.当时，平面B.当时，平面C.当时，三棱锥体积的最大值为D.当时，的最小值为【答案】ABD【解析】以A为原点建立坐标系，则，，,，，,时，,故，,故，平面，故平面，A正确，当时，，由于，故，，平面,平面,故平面，B正确；由，当时，，，，故C错误；当时，则，，可将看作是平面内到点的距离之和，如图：作出关于直线的对称点，则最小距离为与点之间的距离，故，过与点的直线方程为，令，则，故当时取等号，D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列是等比数列，若，，则______．【答案】8【解析】设等比数列的公比为，由题意，解得，所以．13.如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则______．【答案】【解析】，．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知与双曲线的渐近线不平行的直线与C有且仅有一个公共点，直线且与C交于A，B两点，与交于点P，则______．【答案】【解析】直线的斜率为，由直线，设直线的方程为，由消去并整理得，设，则，，取中点，连接，直线的斜率，设直线的方程为，由消去并整理得，则，整理得，而，则，解得，因此直线，四边形为平行四边形，于是，，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且．（1）求及；（2）求的通项公式．解：（1）设等差数列公差为，则，；又，所以，所以，所以，．（2）因为，所以，，以上各式相乘可得，因为，所以.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点B是圆上两点．（1）判断直线与C的位置关系，并说明理由；（2）若，的面积为，求C的方程．解：（1）直线与圆相交，理由如下：圆的方程可化为，可知圆心为，半径，直线的方程可化，可知直线l过定点，因为，故定点在圆C内，所以直线l与圆C相交．（2）因为，，又因为的面积为，可得，因为，结合垂直关系可知直线AB的方向向量可以为，可得，则，即，将代入圆C方程可得，解得，所以圆C的方程为．17.如图，在三棱锥中，已知平面平面ABC，，D，E分别是棱PA，PC的中点，，，三棱锥的体积为．（1）求直线BD与直线CP所成角的大小；（2）求平面BDE与平面ABC的夹角的余弦值．解：（1）因为平面平面ABC，交线为，，平面，所以平面PAB，因为，为的中点，所以⊥，故，又，故，三棱锥的体积为，故，解得，设，故，则，又，由勾股定理得，即，解得或，取的中点，连接，因为，，由勾股定理得，故，因为平面，平面，所以，由勾股定理得，故，当时，，为等边三角形，所以，直线BD与直线CP所成角的大小为；当时，，由勾股定理逆定理得⊥，又，所以为等腰直角三角形，，故