导数--压轴题训练

1、导数压轴题训练1 . （2014湖南）.22 . （ 2014湖南）.已知常数a 0,函数f x ln 12xax x 2(1)讨论f x在区间0,上的单调性；(2)若f x存在两个极值点【答案】(1)详见解析【解析】解：(1)对函数f xxi,x2，且 fx1f x20,求a的取值范围求导可得224 1 axax2 4 11 ax递增，当a1时,1 a(2)解:(1)对函数1 ax1 ax递增，当a0,所以当2ax x 2ax xa，因为2单调递增的x求导可得0,所以当1 时，f单调递增的0时，即a 1时，f 2. a 1 a-，则函数a224 1 ax2-ax x 20时，即a 1时，f0

2、恒成立，则函数f x在0, 单调2. a 1 ax在区间 0,- 单调递减，在ax2 a 1 a-，则函数f2 4 1a2，因为ax x 20恒成立，则函数f x在0, 单调2. a 1 ax在区间 0,-单调递减,艘“琳喇上闻坨咻*% 时斯濯静幽汨京曲解围lr h，u- m d）：l4 j卜削（忘f （|+叫上+4为杂假八小七掰j伊标糖收让蚓牖 为w说局35k一教，口 , i a 帝也叫怵/小如也jst,/泗 灯卬躯削3；世庭冰棚照小以）上*飙盛 军第明, *工褚3协同也脆鼬河肆魏当gm胤/槐欧m序让韩制金丽（杵小让 卿就cid/。ilm细制1 jm加.尉/种料瞰l品例 /眄也打忌痂出小灯i

3、工陶阖.即然工二1后勺1 &l2弋目，h由3）曝嘱虬口且22,成旧,、yuj a 4f回 川，如41yl也越丁,&糕好瓶mi 牺痴山k熨口小匕巾owl%工-；出 .都w：礼mko；4仃此）烈i）=肌酸皿i i /（jl）+/（xl）?q.口腿就解加雕踹，4 il2.（20）（2014江苏）（本小题满分14分）已知函数f（x）= x- aex（a? r）, x? r.已知函数y = f （x）有两个零点x1，x2,且x x2.（i）求a的取值范围；（口）证明 x2随着a的减小而增大； xi（皿）证明 x1 + x2随着a的减小而增大.（2014四川卷）21（2014四川卷）.已知函数f（x） e

4、x ax2 bx 1,其中a,b r,e 2.71828l为自然对数的底数。（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数 g（x）在区间0,1上的最小值;（2）若f （1） 0,函数f（x）在区间（0,1）内有零点，求a的取值范围解：(1)因为 f (x) ex ax2 bx 1 所以 g(x) f (x) ex 2ax b 又 g (x) ex 2a 因为x 0,1 , 1 ex e所以： -1-,x _右 a ,则 2a 1, g (x) e 2a 0 ,所以函数g(x)在区间0,1上单增，gmnx) g(0) 1 b1e若1 a ,则1 2a e,22于是当 0 x ln(2a)时 g

5、(x) ex 2a 0,当 ln(2a) x 1 时 g (x) ex 2a 0,所以函数g(x)在区间0,ln(2 a)上单减，在区间ln(2a),1上单增，gmin(x) gln(2 a) 2a 2aln(2a) b e右 a 3 ,则 2a e, g (x) e 2a 0所以函数g(x)在区间0,1上单减，gmin (x) g(1) e 2ab11 b, a2，、一,_1 e综上：g(x)在区间0,1上的最小值为gmin(x) 2a 2aln(2a) b, 1 a |, ee 2a b, a , 2(2)由 f (1) 0 e a b 1 0 bea1,又 f (0)0若函数f (x)在

6、区间(0,1)内有零点，则函数f (x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间1 e由(1)知当a 或a 时，函数g(x)即f (x)在区间0,1上单调，不可能满足“函数 f (x)2 2在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求。# 1e,、右二a二，则 gmin(x)222a 2aln(2a)b 3a 2aln(2 a) e 1一 .3.令 h(x) - x xln x e 1 (1 x e) 211则 h (x) lnx。由 h(x) ln x 0 x ve 22所以h(x)在区间(1we)上单增，在区间 e,e)上单减3 -hmax(x) h(ve) 昆成上.段中（工）ln（ 1 4

7、- x） - j? 丁（上口）*财.二七一小.蔻患.与& i时.向-2。（仅当工=必也二%恻梦n成在3m 孤.r）在口.8）上/调递增,又掣（0） =0,:*暝/力0在d.+g） hh成立.，d 1时网工e （0闻7在，（才）口，, 解jt）在9、一 i上单调递减.:,小一1）口，使m力门欣知inu一 .储含卡二不恒成立， ,1 1期上可知的取的范围是（g,lhr ）由题设知展】）-gc2 -；+*5）- j - 4 +1，n /tn ）=耐-111（ rf -1- ） 比较结果为jjh）+爪2）式打） ”- kid 1）.证明知已证法一 上述玳等室痢于台+ 1 j * j 0.令 / =,*

8、,，川一 in nn -r ix下面用数学归纳法证明.畤n = i时，?v iti2,给船就立. 槛设当科=*时结婚成立.即j4；+匚1 iha + 1 x v麻 | i那么，当曾:a + 1时，十,+ai+rh-+rh(历聚+i)+心算!=(幻即结婚戚立.击岱贝知.绣论对k e工成立，证沫二 上述不等式等竹干徐+士+斗 出行+口， d 看尸上8令才=上e e、一则】n - 川打 制十工班有 in2-lnl yfm3 in2 .n 二. m+1上述各式相加可用e5 + l)+4hb -r,i 3fl t i结论得证.证法三如图，v匕是由曲线y - -4, *一及轴所寓成的曲辿携军的七或f-；4

9、工+7是图中所型各 & a n - i短形的面板和.卜:十号 士 一+-1 1 ti业=1 cl- 217= - ififu + 1)* 3n + i jfl x n- i jv 工+ 1缗论潜源.b卷选择题答霎i.c 2.c xb 4.c5.d 乱 h 7, d 8, a 9.h10, a4.【2014年重庆卷(理20)】已知函数f(x) ae2x be 2x cx(a,b,c r)的导函数 f (x)为偶函数，且曲线 y f (x)在点(0, f(0)处的切线的斜率为 4 c.(1)确定a,b的值;若c 3,判断f (x)的单调性；(3)若f (x)有极值，求c的取值范围.解：(1) f(

10、x) 2ae2x 2be 2x c,由 f( x) f(x)恒成立知：2ae2x 2be2x c 2ae2x 2be2x c (2a 2b)e4x (2b 2a) 0,故 a b另夕卜 f (0) 2a 2b c 4 c a b 2联立解出a b 1 2 x2xx x 2此时f(x) 2e 2e 3 2(e e )1 0,故f(x)单调递增。(3)等价于f (x) 2e2x 2e2x c 0有非最值解，设t e2x 0 ,则等价于22t - 4,) tln x) ( k为常数，e 2.71828l 是自2.八万程2t - c在t 0时有非最值解，由双钩函数知:所以c 4 ,故c的取值范围为（4

11、,）ex25. （2014山东）.（本小题满分13分）设函数f x k（一 xx然对数的底数）（i）当k 0时，求函数f x的单调区间；(ii)若函数f x在0,2内存在两个极值点，求k的取值范围。,/ex x2 2xex21解：(1) f (x) 4 k(-)xxx(x 2)(ex kx)(x 0) x当 k 0时，kx 0, ex kx 0令 f(x) 0,则 x 2当x (0,2)时，f(x)单调递减；当x (2,)时，f(x)单调递增。令g xex kx则 g(x) ex kex k,x ln kg(0) 1 k 0,g(0) 1 02g(2) e2 k 0,g 2e2 2k 0 k

12、eg lnkelnk kln k 0 ln k 1 k e2综上：e的取值范围为(e,e)。2x.bex16.( 2014年课标i)(本小题满分12分)设函数f (x0 ae ln x ,曲线y f (x)在点(1,x（口）证明：f（x） 1 .f(1)处的切线为 y e(x 1) 2. (i)求 a,b；请考生从第（22）、（23）、（ 24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。.【解析】（i）设f c,0，由条件知2巫，得c 3 又9 ,c 3a 2所以a=2, b2（口）依题意当222/ xa2 c2 1，故e的方程一4x轴不合题意，故设直线l：y2 1.6分kx 2代入4k16(4k2 3) 0,