导数证明不等式题型全

1、导数题型一：证明不等式不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点，传统证明不等式的方法技巧 性强，多数学生不易想到，并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引 入导数，这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径，并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现 ，但现行教材对这一问题没有展开研究 ， 使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰，方法简捷，操 作性强，易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思 路，并通过构造辅助函数，证明一些不等式。一 .构造形似函数型例1 .求证下列不等式22xx(1) x ln(1 x) x x (0,)(相减)2

2、2(1 x),、2x一一一一 2、(2) sinx x (0,-)(相除两边同除以x得xs1nx 一)(3)x sin x tan x x x(0,2)（换元：设t上） x,1 x 1 1(4)已知：x (0),求证ln 一x 1 x xln(x 1) x(5)已知函数 f(x) ln(x 1) x , x巩固练习：11 .证明x 1时，不等式2dx 3 -x2 .x 0 ,证明：ex 1 x2x3 .x 0时，求证：x x- ln(1 x)x q一、 5.证明：tanx x - x , x (0,).x24 .证明：ln(1 x) x 一 一,( 1 x 1).23二、需要多次求导例 2.当

3、 x (0,1)时，证明：(1 x)ln2(1 x) x2例3.求证:x0时,ex -x22例 4.设函数 f(x)=ln x+ax2(a+1)x(a0, a 为常数).若 a=1,证明：当 x1 2时，f(x)ae,其中e为自然对数的底，求证：abba.例 6.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,b )(b-a)ln2.(i)求函数f(x)的最大值； (ii)设 0ab,证明 0g(a)+g(b)-2g(-巩固练习6、证明（1） j inb （0 a b） b a a（2）a 0,b 0,证明（ab）abaabb2（3）若0xix2,证明：变至上2tan x1x1四、

4、同增与不同增例 7.证明：xt任意 x 0,1 xlnx x 1 e2 ex 11例8.已知函数f(x) 1-,砒x)： xx inlnxx) f (x) 1 .ee五、极值点偏移(理科)例9.已知函数f(x) xex(x r).如果 x1x2,且 f(x1) f(x2)，证明 x1例10.已知函数f(x) (x 1)e： x r,其中e是自然对数的底数.若xf(x)f(x2),求证：x1 x2 4.六、放缩法1 1例11.已知：n n且n 2,求证：一 一ln n 1 - 22 3例12.当n 2且n n*时，证明:11ln 2 ln31in nin n .111例 13.求证：ln(n 1

5、)一一一357巩固练习7 .证明:对任意的正整数n,不等式2 3 f 二1 ln(n 1)都成立.4 9 n10.证明：对任意的n n ，有91 9_2 128 .已知 n n 且 n 3 ,求证：ln n+1 -+-+- + l l +. 33 4 5n21n( n 1) 1n n nn 1 n 2( n 1)9 .求证：1n2 1n2 烂 x 如2-(n . ncn*). 234 n n七、综合题型 例 13.已知函数 f(x) (x 1)ln x x 1 .(n)证明：(x 1)f(x) 0 .例14.a为实数，函数f (x) ex 2x 2a, x r(1)求f(x)的单调区间求证：当a ln 2 1且x 0时，有ex x2 2ax 1例 15.已知函数 f(x) ax -(x2 2x)ln a (a 0