高考数学一轮复习：第6章 不等式、推理与证明 第2讲

1、第六章第二讲A组基础巩固一、选择题1已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为 ()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)答案B解析根据题意知(92a)(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.2在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的 ()答案C解析|x|y|把平面分成四部分，|x|y|表示含y轴的两个区域；|x|1表示x1所夹含y轴的带状区域3若变量x，y满足约束条件则z2xy的最小值等于 ()AB.2CD2答案A解析作出可行域如图中阴影部分所示，当目标函数z2xy过点A(1，

2、)时，z2xy取得最小值，且zmin2(1).故选A.4在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为 ()A2B.1CD答案C解析不等式组表示的区域如图，由图可知，当M取得点A(3，1)时，直线OM斜率取得最小值，最小值为k，故选C.5已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a ()A.B.C1D2答案B解析如图所示，当直线z2xy通过A点时，z取最小值，于是把(1，2a)代入，有121(2a)，所以a.6某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为

3、3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为 ()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B.16万元C17万元D18万元答案D解析根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则，目标函数为z3x4y，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x4y0并平移，易知当直线经过点A(2,3)时，z取得最大值且zmax324318，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.二、填空题7如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z2x3y的最大值为_.答案7解析由题意，目标函数z2x3y的可行域为ABC边界及其内部(如图所示)令z0，即2x3y0，

4、平移直线2x3y0至目标函数的可行域内，可知当2x3yz过点A(2,1)时，z取得最大值，即zmax22317.8不等式组表示的区域为D，zxy是定义在D上的目标函数，则区域D的面积为_，z的最大值为_.答案，5解析图像的三个顶点分别为(3，2)，(2，2)，(2,3)，所以面积为.因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入zxy，得x2，y3时有zmax5.9已知实数x，y满足若zx2y2，则z的最大值为_.答案13解析画出可行域如图，zx2y2()2表示可行域内的点(x，y)和原点(0,0)距离的平方，可知点B(2,3)是最优解，zmax13.10已知实数x，y满足不等式组目标函数zy

5、ax(aR)若z取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是_.答案(1，)解析作出可行域，可行域为三条直线所围成的区域，则它的最大值在三条直线的交点处取得，三个交点分别为(1,3)，(7,9)，(3,1)，所以所以a1.三、解答题11变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围答案(1)(2)2,29(3)16,64解析由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示由解得A(1，)由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)因为z，故z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.(2)zx

6、2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|.则2x29.(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax8，则16z64.12某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵

7、个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？答案(1)2x3y300(2)卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个利润最大为550元解析(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为整理得目标函数为2x3y300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点A时，有最大值，由得最优解为A(50,50)，此时max550元故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元B组能力提升1已知双曲线x2y24的两条渐近线与直线x3围成一个三

8、角形区域，表示该区域的不等式组是 ()A.B.C.D答案A解析双曲线x2y24的两条渐近线方程为yx，与直线x3围成一个三角形区域时，有故选A.2(改编题)设变量x，y满足约束条件：则z的取值范围为 ()A，4B.，8C4,32D8,16答案A分析解析如图所示，作出约束条件确定的可行域，因为z2x2y，设tx2y，则当直线x2yt0过点C时，取得最小值，当直线x2yt0过点B时，取得最大值由解得C(1,2)；由解得B(2，2)所以t的最小值为1225，最大值为22(2)2.故t5,2所以z2x2y的取值范围为，43设变量x，y满足约束条件则lg(y1)lgx的取值范围是 ()A0,12lg2B

9、.1，C，lg2Dlg2,12lg2答案A解析如图，作出不等式组表示的可行域lg(y1)lgxlg，设t，显然，t的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点E(0，1)连线的斜率由图可知，点P与点B重合时，t取得最小值，点P与点C重合时，t取得最大值由解得即B(3,2)由解得即C(2,4)故t的最小值为kBE1，t的最大值为kCE，所以t1，又函数ylgx为(0，)上的增函数，所以lgt0，lg，即lg(y1)lgx的取值范围为0，lg而lg12lg2，所以lg(y1)lgx的取值范围为0,12lg2故选A.4已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数zxmy取得最小值，求m

10、的值.答案1分析解析作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示若m0，则zx，目标函数zxmy取得最小值的最优解只有一个，不符合题意若m0，则目标函数zxmy可看作斜率为的动直线yx，若m0，则0，数形结合知使目标函数zxmy取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m0，则0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数zxmy取得最小值，即1，则m1.综上可知，m1.点拨最优解有无穷多个，往往是指目标函数取得最值时所表示的直线与可行域中的一条直线重合据此，本题也可以让目标函数所表示的直线与可行域中的每条边界直线重合，从而求解，利用这种方法求解时，切记要检验5某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？答案甲台100分钟，乙台200分钟，最大收益70万元解析设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为x元由题意，得目标函数为z3 000x2 000y.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示