圆的一般方程

1、圆圆 的的 一一 般般 方方 程程 A r x y O 0 22 FEyDxy x (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 圆心为圆心为A(a,b),半径长为半径长为r的的圆的标准方程为什么圆的标准方程为什么? 一、回一、回 顾顾 注意：这是一条关于注意：这是一条关于x,y的的二元二次方程二元二次方程，那么关，那么关 于于x,y的的二元二次方程二元二次方程是否都表示是否都表示圆圆呢？呢？ 222 )()(),(rbyaxrba为为半径的圆的标准方程为圆心，以 022 22222 rbabyaxyx将方程展开得 式程都可以写成下面的形可见，任何一个圆的方 0 22 FEyDxyx) 1 (

2、 )2( 4 4 ) 2 () 2 1 1 22 22 FEDE y D x ）的左边配方，得（将（ 圆？）的方程的曲线是不是反过来，形如（ ) 2 , 2 () 1 (042 220 ED FED表示一个点时，方程当 为半径的圆 为圆心，表示以时，方程当 2 4 ) 2 , 2 () 1 (041 22 220 FEDED FED 不表示任何图形时，方程当) 1 (043 220 FED 的一般方程 ）叫做圆）表示一个圆，方程（时，方程（因此，当1104 22 FED 问题问题:圆的一般方程有什么特征圆的一般方程有什么特征? （2 2）两个变量最高次数的系数相同，一般都是）两个变量最高次数的

3、系数相同，一般都是1 1 ； （1）有两个变量）有两个变量x,y，它们的最高次数都为，它们的最高次数都为2； 2 30yDxEyF 2 若方程x表示一个圆，那么它的圆心坐标为多少？ 半径呢？ 22 DE （，） 22 4 2 DEF r 圆的一般方程的定义：圆的一般方程的定义： 圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异 同同 【问题】【问题】 圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋： （1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和 半径一目了然半径一目了然 （2）圆的一般方程表现出明显

4、的代数的形式与结构，）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构， 更适合方程理论的运用更适合方程理论的运用 圆的一般方程的特点圆的一般方程的特点 ： （1 1） 和和 的系数相同，都不为的系数相同，都不为0 （2 2）没有形如）没有形如 的二次项的二次项 2 x 2 y xy 1、A C 0 圆的一般方程：圆的一般方程： 二元二次方程：二元二次方程：A x2 +BxyCy 2DxEyF0 的关系的关系: x2 y 2DxEyF0 （D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0） 2、B=0 3、 D2E24AF0 二元二次方程二元二次方程 表示圆的一般方程表示圆的一般方程 (1)若圆心在若圆心在

5、x轴上轴上,则则D,E,F满足什么条件满足什么条件? (2)若圆心在若圆心在y轴上轴上,则则D,E,F满足什么条件满足什么条件? (3)若圆过原点若圆过原点,则则D,E,F满足什么条件满足什么条件? C C x xo o y y C C x xo o y y C C x xo o y y D=0D=0E=0E=0 F=0F=0 22 0 xyDxEyF 033223 06422 01 . 1 222 22 22 aayaxyx yxyx yx ）（ ）（ ）（ 形？下列各图各表示什么图 11)2() 1( 22 yx 2222 )(bayax 033223 022 061 . 2 222 22

6、 22 ayaxyx byyx xyx ）（ ）（ ）（ 心坐标：求下列各圆的半径和圆 9)3( 22 yx 222 )(bbyx 222 )3()(aayax (1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系: 一般方程 配方 展开 标准方程 小结一: FED ED 4 2 1 ), 2 , 2 ( 22 半径圆心 例例1 1 求过点 的圆的方程，并求出 这个圆的半径和圆心坐标. )2 , 4(),1 , 1 (),0 , 0(NMO 解解 设所求圆的方程为 0 22 FEyDxyx 其中 待定. FED, 由题意得 , 02024 02 0 FED FED F 解得 . 0 6 8 F E D 于是

7、所求圆的方程为. 068 22 yxyx 将这个方程配方，得 .25)3()4( 22 yx 所以所求圆的圆心坐标是 半径为 ),3, 4( . 5 练习练习：求经过三点 的圆的方程. )0 , 4(),2, 2(),0 , 0( , 0, 6, 8FED . 534, 54 2 1 , 3 2 , 4 2 22 ），半径为，即圆心坐标（FED ED 若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的我们常采用圆的 一般方程用待定系数法求解一般方程用待定系数法求解. 若已知条件涉及圆心和半径若已知条件涉及圆心和半径, 我们一般采用圆的标准方程较简单我们一般采用圆的标准方程较简单. 1.步

8、骤步骤：(1)依题意设出待定系数方程依题意设出待定系数方程 (2)列出关于待定系数的方程（组）列出关于待定系数的方程（组） （3）解方程（组）得出系数，写出所求方程解方程（组）得出系数，写出所求方程 小结二: 注意:求圆的方程时,要学会根据题目 条件,恰当选择圆的方程形式: 若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用我们一般采用 圆的标准方程圆的标准方程较简单较简单. 若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用我们常常采用 圆的一般方程圆的一般方程用待定系数法求解用待定系数法求解. ( (特殊情况时特殊情况时, ,可借助图象求解更简单可借助图象求解更简单) ) 如果

9、轨迹动点如果轨迹动点P(x,y)依赖于依赖于 另一动点另一动点Q(a,b),而而Q(a,b)又又 在某已知曲线上在某已知曲线上,则可先列出则可先列出 关于关于x,y,a,b的方程组的方程组,利用利用 x,y表示出表示出a,b,把把a,b代入已知代入已知 曲线方程便得动点曲线方程便得动点P的轨迹的轨迹 方程方程. 0 22 FEyDxy x 课堂小结 若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单我们一般采用圆的标准方程较简单. (1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为 (用配方法求解) (3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? 04 22 0 22 F

10、ED FEyDxy x 配方 展开 (2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系 一般方程标准方程(圆心,半径) (4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: 若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解法求解. 例例2 2 已知一曲线是与两个定点 距离的比 为 的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线. )0 , 3(),0 , 0(AO 2 1 . 2 1 AM OM 由两点间距离公式，上式可用坐标表示为 . 2 1 )3( 22 22 yx yx 两边平方并化简，得曲线方程为 032 22 xyx 将方程配方，得 4)

11、 1( 22 yx 所以所求曲线是以 为圆心，半径为 的圆. )0 , 1(C2 解解 在给定的坐标系中，设 是曲线上的任意一 点，点 在曲线上当且仅当 ),(yxM M2 12 2 12 )()(yyxxAB C M A 3 y x O 问题1：等腰三角形的顶点A的坐标是（4，2），底边 一个端点B的坐标是（3，5），求另一个端点C的轨迹 方程，并说明它是什么图形。 求轨迹方程的一般步骤求轨迹方程的一般步骤: 1.建系建系,设点设点; 2.列式列式,代入代入; 3.简化简化,检验检验. C B A x y O 问题问题2:长为长为2a的线段的线段AB的两个端点分别在相互垂直的两个端点分别在相

12、互垂直 的两条直线上滑动，则线段的两条直线上滑动，则线段AB的中点轨迹为的中点轨迹为 B A M 222 xya 2.定义法定义法; 轨迹的常用求法轨迹的常用求法: 1.直接法直接法; x y 问题3:已知动点M到点A（2，0）的距离是它到 点B（8，0）的距离的一半，求： （1）动点M的轨迹方程； 轨迹的常用求法轨迹的常用求法: 22 16xy (2)若四边形AMPB是平行四边形,试求点P的轨 迹方程. 3.相关点法相关点法; 2 2 616(xy去掉(2,0),(10,0)两点。 如果轨迹动点如果轨迹动点P(x,y)依赖于另一动依赖于另一动 点点Q(a,b),而而Q(a,b)又在某已知曲线

13、又在某已知曲线 上上,则可先列出关于则可先列出关于x,y,a,b的方程组的方程组, 利用利用x,y表示出表示出a,b,把把a,b代入已知曲代入已知曲 线方程便得动点线方程便得动点P的轨迹方程的轨迹方程. P x M BAO y 问题4:点A(0,2)是圆x2+y2=16内的定点，点B,C是 这个圆上的两个动点，若BACA,求BC中点M的 轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线。 B y x A C O M 例4 求经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程. 解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 令y=0得x2+Dx+F=0,由韦达定理得x1+x2

14、=-D, x1.x2=F,又 D2-4F=36(1) 圆过P(-2,4),Q(3,-1) (-2)2+42+(-2)D+4E+F=0,即:2D-4E-F=0(2) 32+(-1)2+3D-E+F=0,即:3D-E+F=-10(3) 由(1),(2),(3)联立求得:D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0 所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0 64)( 21 2 2121 xxxxxx 例例5. 自点自点A(-3，3)发射的光线发射的光线l 射到射到x轴上，被轴上，被x轴反射，轴反射， 其反射光线所在的直线与圆其反射光线所在的直线与圆x2+y

15、2-4x-4y+7=0相切，相切， 求反射光线所在直线的方程求反射光线所在直线的方程. B(-3，-3) A(-3，3) C(2, 2) 例题选讲例题选讲 1. 自点自点A(-3，3)发射的光线发射的光线l 射到射到x轴上，被轴上，被x轴反射，轴反射， 其反射光线所在的直线与圆其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，相切， 求光线求光线l 所在直线的方程所在直线的方程. 题意分析题意分析 B(-3，-3) A(-3，3) C(2, 2) 入射光线及反射光线与入射光线及反射光线与 x轴轴夹角夹角相等相等. (2)点点P关于关于x轴的轴的对称点对称点Q在在 反射光线所在的直线反

16、射光线所在的直线l 上上. (3)圆心圆心C到到l 的距离等于的距离等于 圆的半径圆的半径. 答案：答案： l : 4x+3y+3=0或或3x+4y-3=0 【思考题】【思考题】过点过点M（-6，0）作圆作圆 C： 的的 割线，交圆割线，交圆C于于A，B两点两点.求线段求线段AB的中点的中点P的轨迹的轨迹. 0946 22 yxyx 解：圆的方程可化为解：圆的方程可化为(x-3) +(y-2) =4 2 2 其圆心为其圆心为C（3，2）半径为半径为2 设设P（x，y）是轨迹上任意一点是轨迹上任意一点 MPCP 1 63 2 1 x y x y kk MPCP 即： 化简得：化简得：01823

17、22 yxyx 所以所求轨迹为圆所以所求轨迹为圆 01823 22 yxyx -6 o 3 y y x x c A A B B 。 。 P P 在已知圆内的一段弧（不含端点）在已知圆内的一段弧（不含端点）. 2(补充补充). 已知一圆与已知一圆与y 相切，在直线相切，在直线y=x上截得的弦长为上截得的弦长为 2 ，圆心在直线圆心在直线x-3y=0上，求此圆的方程上，求此圆的方程. 分析分析 (1)本题选用圆的方程标本题选用圆的方程标 准形式较好准形式较好 7 A B 3. 圆圆C过点过点A(1，2)，B(3，4)，且在且在x轴上截得的弦长为轴上截得的弦长为6 ， 求圆求圆C的方程的方程. (2

18、)圆的圆的半径半径、半弦长半弦长、边心距边心距 组成直角三角形组成直角三角形 本题选用圆的方程一般形式较好本题选用圆的方程一般形式较好 分析：分析： r d l C 思考题： 22 010, , C xymxyP Q OOPOQm 已知圆 :与直线相交于两点， 为坐标原点，若求 的值。 解：方法一 2 0 1 0 xym xy 2 O P Q 12 12 121121 22 121121 22 (1) mm xx mm yy 和 OPOQ 1212 0 (2)x xy y 1122 (,) , (,)P xyQ xy设 将（1）代入（2）式可得:m=1 22 010, , C xymxyP Q OOPOQm 已知圆 :与直线相交于两点， 为坐标原点，若求 的值。 解：方法二 2 0 1 0 xym xy 2 O P Q 1122 (,) , (,)P xyQ xy设 思考题： OPOQ 1212 0 (2)x xy y 2 22(1) 0 xxm 12 1 2 m xx 12 1 2 m yy 同理 9. 简单的思