圆的极坐标方程

1、在平面内取一个定点在平面内取一个定点OO，叫，叫极点极点。 从极点从极点O引一条射线引一条射线Ox，叫做，叫做极轴极轴。 再选定一个再选定一个长度单位长度单位、一个一个角度单位角度单位 （通常取弧度）及它的（通常取弧度）及它的正方向正方向（通常取逆（通常取逆 时针方向），这样就建立了一个时针方向），这样就建立了一个极坐标系极坐标系。 1.1.极坐标系的建立极坐标系的建立 x 一般地，不作特殊说明时，0， 可取任意 实数。 2 2极坐标系内点的极坐标的规定极坐标系内点的极坐标的规定 设设M是平面上的任一点，是平面上的任一点， 极点极点O与点与点M的距离的距离|OM|叫做点叫做点M的的极径极径，记

2、为，记为； 以极轴以极轴Ox为始边为始边，射线，射线OM为终边为终边的的xOM叫做叫做 点点M的的极角，记为极角，记为. 有序数对有序数对(，)称为点称为点M的极坐标的极坐标， 记作记作M(，) 极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况 (1)(1)给定（给定（ , , ）, ,在在极坐标极坐标平面内平面内 确定一点确定一点M M。 一般地一般地, ,若若(,)(,)是一点的极坐标是一点的极坐标, ,则则(,+2(,+2k k) 都可以作为它的极坐标都可以作为它的极坐标. . kZ 极坐标系所在平面内的点与极坐标极坐标系所在平面内的点与极坐标 就与极坐标就与极坐

3、标(, )(, )建立了一一对应的关系建立了一一对应的关系. . 0.0,2当时,平面上的点除极点外除极点外 唯一唯一 不能建立一一对应关系不能建立一一对应关系. 互化公式的三个前提条件：互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的极点与直角坐标系的原点重合原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的极轴与直角坐标系的x轴的正半轴的正半 轴重合轴重合; 3. 两种坐标系的两种坐标系的单位长度相同单位长度相同. 三、极坐标与直角坐标的互化三、极坐标与直角坐标的互化 三、极坐标与直角坐标的互化三、极坐标与直角坐标的互化 公式公式 )0(tan, 222 x x y yx 直直化化极极： sin,co

4、s yx极极化化直直： xx N M y 0 y (x，y) ）化成极坐标。，的直角坐标（：将点例132M ，）（）（解：21313 22 。 3 3 3 1 3 1 tan 。在第三象限，所以因为点 6 7 M ）。，的极坐标为（因此，点 6 7 2 M 简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程 (1)曲线曲线C上点的坐标都是这个方程上点的坐标都是这个方程f(x,y)=0的解的解; (2)以这个方程以这个方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲的解为坐标的点都是曲 线线C上上. 在直角坐标系中在直角坐标系中,如果某曲线如果某曲线C可以用方可以用方 程程f(x,y)=0表示，曲线与方程满足如下

5、的关系表示，曲线与方程满足如下的关系: 在极坐标中在极坐标中,曲线上任一点的坐标是否符合曲线上任一点的坐标是否符合 方程方程f( , )=0 ； 探 究 如图，在极坐标系下半径为如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆 的圆心坐标为的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用，你能用 一个等式表示圆上任意一点的极一个等式表示圆上任意一点的极 坐标坐标( , )满足的条件？满足的条件？ O x C(a,0) M C(a,0) O x M( , ) ) 1 ()0 ,2(), 2 , 0( ) 1.(.cos2cos ),(,2 的坐标满足等式可以验证，点 即中 。在以外的任意一点，那么 ，为圆上除点设，那么

6、是 交点。设圆与极轴的另一个解：圆经过极点 aAO aMOAOAOM AMORtAMOM AOMaOAA O 的点都在这个圆上。等式 ，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面 坐标就是圆上任意一点的极所以，等式 ) 1 ( ),() 1 ( 曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程 一、定义：一、定义：如果曲线上的点与方程如果曲线上的点与方程 f( , )=0有如下关系有如下关系 ()曲线上任一点的坐标曲线上任一点的坐标(所有坐标中所有坐标中 至少有一个至少有一个)符合方程符合方程f( , )=0 ； ()方程方程f( , )=0的所有解为坐标的点的所有解为坐标的点 都在曲线上。都在曲线上。 则曲线的

7、方程是则曲线的方程是f( , )=0 。 C(a,0) O x 圆的极坐标方程圆的极坐标方程： M( , ) cos2a 思路分析： （1）任取一点，标出与 （2）找出边角共存的三角形 （3）列出三角形的边角关系式 （4）对特殊点作检验 例例1、已知圆已知圆O的半径为的半径为r，建立怎，建立怎 样的坐标系，可以使圆的极坐标样的坐标系，可以使圆的极坐标 方程更简单？方程更简单？ .O 简单。上比 式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重 即为圆上任意一点，则设 都等于半径何特征就是它们的极径 几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如 出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心 ) 1 ( ,),

8、( . r rOMM r OO 求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程 ()中心在极点，半径为中心在极点，半径为r； ()中心在中心在(a,0)，半径为，半径为a； ()中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a； ()中心在中心在(a, )，半径为 ，半径为a r 2acos 2asin 圆心的极径与圆的半径相等 0 cos()a 5 3cos5sin已知一个圆的方程是 求圆心坐 思考： 标和半径。 2 2222 5 3cos5sin 5 3 cos5 sin 5 35 5 35()()25 22 5 35 (,),5 22 xyxyxy 解： 两边同乘以 得 即化为直角坐标为 即 所以

9、圆心为半径是 你可以用极坐标方程直接来求吗？你可以用极坐标方程直接来求吗？ 31 10(cossin)10cos() 226 (5,),5 6 解：原式可化为 所以圆心为半径为 O a aaa 此圆过极点 圆的极坐标方程为 半径为圆心为 )cos(2 )0)(,( 练习 以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为为 半径的圆的方程是半径的圆的方程是 .2cos.2sin 44 .2cos1.2sin1 AB CD C 练习 以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为为 半径的圆的方程是半径的圆的方程是 .2cos.2sin 44 .2cos1.2sin1

10、 AB CD C 5), 2 5 , 2 35 ( 25) 2 5 () 2 35 ( 535 sin5cos35 sin5cos35 22 22 2 半径是所以圆心为 化为标准方程是 即化为直角坐标为 得两边同乘以解： yx yxyx 5 3 co 3 s5sin已知一个圆的方程是 求圆心坐标 例 ： 和半径。 14sin 练习： 、曲线的极坐标方程 化为直角坐标 方程 2.曲线极坐标方程 cos( -)=1化为直角坐 6 标方程 4)2( 22 yx 20 xy 22 22 230 20 xyxy xy xy x （）直角坐标方程的极坐标 方程为 （）直角坐标方程 的极坐标 方程为 （）直角坐标方程的极坐标 方程为 （）直角坐标方程的极坐标 方程为 例： cos3 sin0 cossin10 3 cos3 sin (4) 练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线 （） cos( -) 4 (2) co