初高中数学衔接自编教材

1、衔接的目的：1、 了解初中数学和高在数学的区别和高中数学的特点，对学习方法上出建议2、 对和高中数学相关的知识点实行巩固并适当拓展3、 对高中数学和初中数学知识的结合点实行一定的分析高中数学和初中有很大不同： 一是数学语言在抽象水准上突变：历来学生都反映，集合、映射等概念难以理解，离生活很远，似乎很“玄”。 二是思维方法向理性层次跃迁：数学语言的抽象化对思维水平提出了更高的要求。 三是知识内容的整体数量剧增，加之时间紧、难度大，这样，不可避免地造成学生不适合高中数学学习，而影响成绩的提升。 建议同学们做好课后的复习工作，理解新旧知识的内在联系，学会对知识结构实行梳理，并且要多做总结、归类，建立

2、主体的知识结构网络。 现有初高中数学知识“脱节”在哪里？初高中数学衔接教材目录引 入 乘法公式第一讲 因式分解1. 1 提取公因式1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1. 3分组分解法1. 4十字相乘法（重、难点）1. 5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解第二讲 函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）22 二次函数2.2.1 二次函数yax2bxc的图象和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用第三讲三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式

3、；（2）完全平方公式 我们还能够通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ；（5）两数差立方公式 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学能够自己去证明补充几个常用的公式：(6)三个数和平方公式 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；(7)重要公式（高中） a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)对于任何公式（特别是高中）要注意：（1） 顺用；（2）逆用；（3）变用（公式变式和构造公式）（见新思维练习）（2） 公式的熟练水准决定你的运算速度和运算水平（恒等变形）例1

4、 计算：解法一：原式= = =解法二：原式= = =例2 已知，求的值解： 练 习1填空： （1）（ ）； （2） ； (3 ) 2选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）能够是零 （D）能够是正数也能够是负数新思维练习见附页第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 解：（1）如图111，将二次项x2分解成图中的两个x的积，

5、再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx图1142611图1131211图11212xx图111 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，能够直接将图111中的两个x用1来表示（如图112所示）（2）由图113，得x24x12(x2)(x6)（3）由图114，得11xy图115 （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如图115所示）课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）_。（2）_。（3）_。（4）_。（5）_。（6）_。（7）_。（8）_。（9）_。（10）_。2、3、

6、若则，。二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是准确的）1、在多项式（1）（2）（3）（4） （5）中，有相同因式的是（ ）A、只有（1）（2） B、只有（3）（4） C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式得（ ）A、 B、 C、 D、3、分解因式得（ ）A、 B、C、 D、4、若多项式可分解为，则、的值是（ ）A、， B、， C、， D、，5、若其中、为整数，则的值为（ ）A、或 B、 C、 D、或三、把下列各式分解因式1、 2、3、 4、2提取公因式法例2 分解因式： （1）（2） 解： （1）=（2）= = 或 课堂练习：一、填空题：1、多项

7、式中各项的公因式是_。2、_。3、_。4、_。5、_。6、分解因式得_。7计算= 二、判断题：（准确的打上“”，错误的打上“” ）1、（ ）2、（ ）3、（ ）4、（ ）3：公式法例3 分解因式：（1） （2）解：(1)=(2) =课堂练习一、，的公因式是_。二、判断题：（准确的打上“”，错误的打上“” ）1、（ ）2、 （ ）3、 （ ）4、（ ）5、（ ）五、把下列各式分解1、 2、3、 4、4分组分解法例4 （1） （2） （2）= =或 = = =课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）（2）5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项

8、式就可分解为.例5 把下列关于x的二次多项式分解因式： （1）； （2）解： （1）令=0，则解得， = =（2）令=0，则解得， =小结：1因式分解的一般步骤：先提公因式，再使用公式或十字相乘，后分组分解，最后重新整理再分解2因式分解时要注意：各个因式是否还能够继续分解，直到每个因式都不能继续分解为止练 习1选择题：多项式的一个因式为 （ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8； （2）8a3b3；（3）x22x1； （4）习题121分解因式： （1） ； （2）； （3）； （4）2在实数范围内因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）3三边，满足，试判定的形状

9、4分解因式：x2x(a2a)第二讲 函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根（1）(2) (3) 我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法能够将其变形为 因为a0，所以，4a20于是（1）当b24ac0时，方程的右端是一个正数，所以，原方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当b24ac0时，方程的右端为零，所以，原方程有两个等的实数根 x1x2；（3）当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，所以，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情况

10、能够由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当0时，方程有两个相等的实数根 x1x2；（3）当0时，方程没有实数根例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）3241330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根， （3）

11、因为该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21；当a2时，0， 所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1（3）因为该方程的根的判别式为2241a44a4(1a)，所以当0，即4(1a) 0，即a1时，方程有两个不相等的实数根 ， ； 当0，即a1时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当0，即a1时，方程没有实数根说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况实行讨论，这个方法叫做分类讨论分类讨论这个思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解

12、题中会经常地使用这个方法来解决问题2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根 ，则有 ； 所以，一元二次方程的根与系数之间存有下列关系： 如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这个关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化为 x2(x1x2)xx1x20，因为x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20所以

13、有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2(x1x2)xx1x20例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值分析：因为已知了方程的一个根，能够直接将这个根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但因为我们学习了韦达定理，又能够利用韦达定理来解题，即因为已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是能够利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值解法一：2是方程的一个根，522k260，k7所以，方程就为5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一个根为，k的值为7解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一个根

14、为，k的值为7例3 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值分析：本题能够利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值但在解题中需要特别注意的是，因为所给的方程有两个实数根，所以，其根的判别式应大于零解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或m17当m1时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17时，方程为x230x

15、2930，302412930，不合题意，舍去综上，m17说明：（1）在本题的解题过程中，也能够先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例4 已知两个数的和为4，积为12，求这两个数分析：我们能够设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数也能够利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是x，y，则 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)

16、12，即 x24x120，x12，x26 或所以，这两个数是2和6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120的两个根 解这个方程，得 x12，x26所以，这两个数是2和6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23解：x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)

17、(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这个个量的问题，为了解题简便，我们能够探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则，| x1x2| 于是有下面的重要结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，能够直接利用上面的结论例6 若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40， 且(1)24(a4)0

18、由得 a4，由得 aa的取值范围是a4练 习1选择题：（1）方程的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 2填空：（1）若方程x23x10的两根分别是x1和x2，则 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情况是 （3）以3和1为根的一元二次方程是 3已知，当k取何值时，方程kx2axb0有两个不相等的实数根？4已知方程x23x10的两根为x1和x2，求(x13)( x23)的值

19、习题2.1A 组1选择题：（1）已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法： 方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中准确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个（3）关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空：（1）方程kx24x10的两根之和为2，则k （2）方程2

20、x2x40的两根为，则22 （3）已知关于x的方程x2ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是 （4）方程2x22x10的两根为x1和x2，则| x1x2| 3试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数B 组1选择题：若关于x的方程x2(k21) xk10的两根互为相反数，则k的值为 （ ） （A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空：（1）若m，n是方程x22005x10的两个实数根，则m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x1

21、0的两个实数根，那么代数式a3a2bab2b3的值是 3已知关于x的方程x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围4一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根为x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x235关于x的方程x24xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值C 组1选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x28x70的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1，x2是方程2x24x10的两个根，则的值为 （

22、） （A）6 （B）4 （C）3 （D）（3）如果关于x的方程x22(1m)xm20有两实数根，则的取值范围为 （ ） （A） （B） （C）1 （D）1 （4）已知a，b，c是ABC的三边长，那么方程cx2(ab)x0的根的情况是 （ ） （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根2填空：若方程x28xm0的两根为x1，x2，且3x12x218，则m 3 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根（1）是否存有实数k，使(2x1x2)( x12 x2)成立？若存有，求出k的值；若不存有，说明理由；（2）求使2的值为整

23、数的实数k的整数值；（3）若k2，试求的值4已知关于x的方程（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|x1|2，求m的值及相对应的x1，x25若关于x的方程x2xa0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围22 二次函数2.2.1 二次函数yax2bxc的图象和性质情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1） (2) (3) 教师可采用计算机绘图软件辅助教学问题1 函数yax2与yx2的图象之间存有怎样的关系？为了研究这个问题，我们能够先画出y2x2，yx2，y2x2的图象，通过这些函数图象与函数yx

24、2的图象之间的关系，推导出函数yax2与yx2的图象之间所存有的关系先画出函数yx2，y2x2的图象先列表：x3210123x294101492x2188202818yx2y2x2图2.2-1xOy从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相对应的x2的值扩大两倍就能够了再描点、连线，就分别得到了函数yx2，y2x2的图象（如图21所示），从图21我们能够得到这两个函数图象之间的关系：函数y2x2的图象能够由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也能够用类似于上面的方法画出函数yx2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数yx2的图象之间的关系图2.2-2xyO1y2x2y2(

25、x1)2y2(x1)21通过上面的研究，我们能够得到以下结论：二次函数yax2(a0)的图象能够由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到在二次函数yax2(a0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存有怎样的关系？同样地，我们能够利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们能够作出函数y2(x1)21与y2x2的图象（如图22所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就能够得到函数y2(x1)21的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”

26、的特点类似地，还能够通过画函数y3x2，y3(x1)21的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们能够得到以下结论：二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”由上面的结论，我们能够得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法：因为yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的图象能够看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当a0时，函

27、数yax2bxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y（2）当a0时，函数yax2bxc图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y xyOxA图2.2-3xyOxA图2.2-4上述二次函数的性质能够分别通过图223和图224直观地表示出来所以，在今后解决二次函数问题时，能够借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题xOyx1A(1,4)D(0,1)BC图2.25例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标

28、、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象解：y3x26x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1，4)；当x1时，函数y取最大值y4；当x1时，y随着x的增大而增大；当x1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图25所示）说明：从这个例题能够看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，能够直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确函数yax2bxc图象作图要领：（3） 确定开口方向：由二次项系数a决定（4） 确

29、定对称轴：对称轴方程为（5） 确定图象与x轴的交点情况，若0则与x轴有两个交点，可由方程x2bxc=0求出若=0则与x轴有一个交点，可由方程x2bxc=0求出若0则与x轴有无交点。（6） 确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）（7） 由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图（1）(2)(3) 例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利

30、润是多少？分析：因为每天的利润日销售量y(销售价x120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解：因为y是x的一次函数，于是，设ykxb将x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得 k1，b200 yx200设每天的利润为z（元），则z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，当x160时，z取最大值1600答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元例3 把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再向左平移

31、4个单位，得到函数yx2的图像，求b，c的值解法一：yx2bxc(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数yx2的图像，所以， 解得b8，c14解法二：把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，等价于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数yx2bxc的图像因为把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y(x4)22的图像，即为yx28x14的图像，函数yx28x14与函数yx2bxc表示同一个函数，b8，c14说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平

32、移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件实行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在解题时，能够根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题例4 已知函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值实行讨论解：（1）当a2时，函数yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，

33、此时x2；（2）当2a0时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当xa时，函数取最小值ya2；（3）当0a2时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当x0时，函数取最小值y0；（4）当a2时，由图226可知，当xa时，函数取最大值ya2；当x0时，函数取最小值y0xyO2axyO2aa24图2.26xyOa224a22xyOaa24说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形实行讨论此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这个类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题练 习1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在

34、坐标轴上的是 （ ） （A）y2x2 （B）y2x24x2（C）y2x21 （D）y2x24x （2）函数y2(x1)22是将函数y2x2 （ ） （A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2填空题（1）二次函数y2x2mxn图象的顶点坐标为(1，2)，则m ，n （2）已知二次函数yx2+(m2)x2m，当m 时，函数图象的顶点在y轴上；当m 时，函数图象的顶点在x轴上；当m 时，函数图象经过原点（3）函数y3(x2)25的图象的开口向

35、，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x 时，函数取最 值y ；当x 时，y随着x的增大而减小3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象（1）yx22x3； （2）y16 xx24已知函数yx22x3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x2；（2）x2；（3）2x1；（4）0x32.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数能够表示成以下两种形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)除了上述两种

36、表示方法外，它还能够用另一种形式来表示为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点个数当抛物线yax2bxc(a0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2bxc0 并且方程的解就是抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点个数与方程的解的个数相关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式b24ac相关，由此可知，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点个数与根的判别式b24ac存有下列关系：（1）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)

37、与x轴有两个交点，则0也成立（2）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点，则0也成立（3）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点，则0也成立于是，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2bxc0的两根，所以x1x2，x1x2，即 (x1x2)， x1x2所以，yax2bxca() = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx2) 由上面的推导过程能够得到下面结论：若抛物线y

38、ax2bxc(a0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式能够表示为ya(xx1) (xx2) (a0)这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们能够根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而能够将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来

39、求解出系数a解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1上，所以，2x1，x1顶点坐标是（1，2）设该二次函数的解析式为，二次函数的图像经过点（3，1），解得a2二次函数的解析式为，即y2x28x7说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题所以，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题例2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式分析一：因为题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数

40、的图象与x轴的交点坐标，于是能够将函数的表达式设成交点式解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为ya(x3) (x1) (a0)，展开，得 yax22ax3a， 顶点的纵坐标为 ，因为二次函数图象的顶点到x轴的距离2，|4a|2，即a所以，二次函数的表达式为y，或y分析二：因为二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或2，于是，又能够将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就能够求得函数的表达式解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x1又顶点到x轴的距离为2，顶点的纵坐标为2，或2于是可设二次函数为ya(x1)22，或ya(x1)22，因为函数图象过点(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22a，或a所以，所求的二次函数为y(x1)22，或y(x1)22说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来