发展型模型方程的有限差分和有限体积方法

1、发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 The Elements of Computational Fluid Dynamics 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 第三章 发展型模型方程的有限差分 和有限体积方法 3.1 一阶线性对流方程的差分格式 3.2 抛物型模型方程对流扩散方程的 差分格式 3.3 有限体积方法 3.4 差分格式数值解的性质 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 3.1 一阶线性对流方程的差分格式 讨论双曲型模型方程：一阶线性对流方程 0(3.1.1) uu a tx 线性对流方程的差分格式和流体力学中Euler方程的差分格式以及Navier- Stokes方程中

2、对流项的差分格式有密切的关系，因此，掌握其差分格式的构造 方法具有非常重要的意义。 本节中，介绍的差分格式构造方法包括： 基于导数逼近 基于特征理论 基于时间展开 (1) 基于算子分裂 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 3.1.1 基于导数逼近的差分格式 构造差分格式的最简单的方法。 采用前差、后差和中心差等离散方法，直接近似微分方程中的导数项。 1. Euler显式格式 时间方向：前差。空间方向：中心差。 1 11 0(3.1.2) 2 nnnn jjjj uuuu a tx 11+1 +1 2 +1 = 0 2 1sin() 1sin()1 j jjjj ikx nn j ikxik

3、xikxikx nnnn nn n n uA e AeA eA eA e a tx a t AAik x x Aa t Gk x Ax 稳定性分析：取 则 格式是无条件不稳定的，没有应用价值。 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 2. Euler隐式格式 时间方向：后差。空间方向：中心差。 1+1+1 11 0(3.1.3) 2 nnnn jjjj uuuu a tx 11+1+1+1 +1 +1 2 = 0 2 1+sin() 1 1 1sin() j jjjj ikx nn j ikxikxikxikx nnnn nn n n uA e AeA eAeAe a tx a t Aik x

4、A x A G A a t k x x t 稳定性分析：取 则 格式是无条件稳定的。在数值计算中可以采用较大的，有助于 提高收敛速度和计算效率。 2 . . .()()LT EOxt 截断误差： 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 3. 蛙跳(Leap-Frog)格式 时间方向：中心差分。空间方向：中心差分。 11 11 0(3.1.4) 22 nnnn jjjj uuuu a tx 11+11+1+1 +11 +1 1 2 2 = 0 22 2 sin()0 2 sin()10 sin()1sin() j jjjj ikx nn j ikxikxikxikx nnnn nn nn nn

5、nn uA e AeAeAeAe a tx AAa t ik x AAx AA G AA a t Gik x G x a ta t Gik xk x xx 稳定性分析：取 则 可以认为，所以， 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 2 22 11sin()0 sin()sin()111sin()0 a t k x x G a ta ta t k xk xk x xxx 22 1CFLcourant . . .()() ) ata t cc xx LT EOxt 稳定性的条件：。无量纲数，称为数或数。 截断误差： 在满足稳定性的条件时，放大因子等于1，格式具有零耗散，称为中性稳定的。 4. 一

6、阶迎风(upwind)和顺风(downwind)格式 时间方向：前差。空间方向：前差或后差。 1 1 0(3.1.5) nnnn jjjj uuuu a tx 1 1 0(3.1.6) nnnn jjjj uuuu a tx . . .()()LT EOxt 截断误差： Courant Friedrichs Lewy 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 3.1.2 基于特征线理论的差分格式，CFL条件 特征性质是双曲型方程的重要特点。在构造差分格式时，考虑微分方程的数 学物理性质，有助于得到性态较好的差分格式。 0 (0) uu aa tx 图3.1：线性对流方程的特征性质。 xatcuc

7、onst特征线：，沿特征线。 1 (,(1)(,) n jjOPj uu xntuuu xa t n t PPABCD由于 不在网格点上， 点的值必须通过 、 、 、 等点插值获得。 11 1 (1) ()() nn jjnn CB PBjj BC uu uu uuxa tuuxa t xx 采用 、 两点线性插值 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 3.1.3 基于时间展开的差分格式 1 123 2 1223 Taylor 1 )() 2! 1 ()()()(3.1.13) 2! nn jj nnnn jjtjttj tx ttxtxx tx nnnn jjxjxxj uu uuutut

8、Ot uau uaua ua u uua uta utOt 把在作展开，得 TaLaylx-WeorndroffCauchy-Kowalewski把展开式中的时间 导数项用空间导数代替。是推导差分格式的 方 常 法或方法： 用技巧。 1 2 11 11 2 (3.1.13) 2 22 Lax-Wendroff xxx nn nn jj jjnnn jjj uu uuuu at auuu txx 和都采用中心差分离散， 则改写为格式： 0(3.1.1) uu a tx 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 3.1.4 基于算子分裂方法的格式 2 1 1111 2 1 2 1 2 22 1 22

9、 1 22 11 Lax-W 11 2 endr 22 11 1 2 o 1 1 f 2 f nnnnnnn jjjjjjj nn jxxxxj n xxxxj n x xxj nn jxxj nn jxj cc uuuuuuu cc uu cc u c ccu uccu ucu 格式 改写成算子 ： 形式 令 1. MacCormack+格式 两步格式（预测步：校正步） 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 1(3)(2) (1) 111 112 111 123 1111 1234 nnnn nnn nnnnn AAZAAZAZA AZ AZAZA AZAZ AZAZA 1 234 111

10、1 1+ 12624 n n A ZZZZ A 放大因子： 1 1Jameson2 2 n n A c A 由得格式的稳定性条件： 3.1.5 边界条件的数值处理 0(0) uu aa tx 方程 : a xx给定物理边界条件 12 :(2) nnn bMMM xxuuu 线性外推 边界处格式的精度比内点低一阶时， 不会影响数值计算的整体精度。 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 3.2 抛物型模型方程 对流扩散方程的差分格式 22 22 2 2 0 uu ab xy uu a tx uu xy uu tx 对流项的离散： 借鉴线性对流方程中空间导数的离散方法； 扩散项的离散： 借鉴热传导

11、方程中空间导数的离散方法。 22 22 (3.2.1) uuuuu ab txyxy xtyt 考虑二维的对流扩散方程 在，平面上，方程是抛物型的，可以用时间推进的方法求解。 Navier-Stokes方程的物理意义：包含了对流和扩散的过程，可以看作 方程的一个模型方程。 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 3.2.1 求解域的离散和边界条件的处理 0 (,) Mx xy00 (,)xy x y (,) MM xy xy (,) ij xy , , , abcd xy badc xy xxyy xMyM xxyy xy MM 求解域： 方向等分为份， 方向等分为份。 , (,)(,) (,

12、) ij n n i j xyi x j y tn t u i x j y n tu 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 3.2.2 差分格式 22 22 (3.2.1) uuuuu ab txyxy 1. FTCS格式 1 ,1,1,1,11,1,1,1 22 22 22 nnnnnnnnnnnn i ji jijiji ji jiji jiji ji ji j uuuuuuuuuuuu ab txy xy 122 , 22 21 22 22 (2) . . .(,) nnnnnn i ji jxi jyi jxi jyi j uuuuuu ab txy xy EE LT EOxyt 用

13、差分算子表示： 截断误差： 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 3.2.3 近似因式分解方法 1 ,11 , 222121 , 2222 22 44 Crank (3.2.7) 2 , -Nicols 4 on 1 nn i ji jnnnn xi jxi jyi jyi j nnnn xi jyi jxi jyi j xyxy x x uu ab uuuu txy uuuu xyxy a tb ttt cc xx xy c 二维对流扩散方程的 令 则 格式： 221 , 22 , 1 422 1(3.2.8) 4422 yyn x yxyi j yyn xx xyxyi j nn c u

14、 c c u Aub A 利用边界条件，可以写成矩阵形式： 五对角矩阵 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 21 0,0,0, 12 42 yynn jyyjj c uuu 所以， 0,0,0,jjj uuu 如果对精度的要求不高，对最简单的边界处理方法是 3.2.4 多维问题差分格式的稳定性分析 22 22 1222121 , 2222 () , 1 (1)(01) ()()()() 1 4(1)s x iyj nnnnnn i ji jxi jyi jxi jyi j i k xk y nn i j x n n uuu txy uuuuuu txyxy uA e A G A 考虑二维热

15、 综合格式： 把代入上式得 传程 ， 导方 22 22 22 insin 22 14sinsin 22 1 4(1) sinsin 2214 y x y y x xy y x xy ky kx ky kx ky kxB BG B 令，则 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 22 0FTCS 111 ()()2 t xy 当时，综合格式化为格式，格式稳定的条件为 2 2 () 4 1() FTCS 22 x xyt x t 如果取 跟一维问题相比 ，则 ，多 。 （一维问题格式 维问题的稳定性条 的 件 稳定性条件： 一般更 0） 为严格。 3.3 有限体积方法 (Finite Volume

16、)：对积分型的守恒方程进行离散，把积分型方程 近似为代数方程进行求 有限 解 体积方法 的方法。 3.3.1 积分型守恒方程 对微分型的守恒方程在有限体积上积分，利用Gauss公式，可以得到积分型 守恒方程。 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 0 0() uu a tx uf fau tx 考虑一维线性对流方程 守恒形式 2 1 12 211122 , 0,( (),( () x x x x u dxffff u xff u x t 在控制体上积分，可得积分型的守恒方程： 3.3.2 空间控制体 , ba ab xx xxMx M 求解域：等分为份， 1/21/2 1/2 , (0,1,

17、) aMb ja xxxx xxj xjM 1/21/2 1/21/2 , 2 jj jj jj xx xx uxj j ： 数值解存储在控制体的中心， 第 个 即第 个 控制体 网格点。 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 3.3.3 有限体积方法的全离散形式 1/2 1/2 1/211 1/2 1/2 1/2 1/21/21/21/21/21/2 1 1 1/21/2 0,(,) , ()0(3.3.4) ( j j jnn jnn j j x jjjjjj x nn xtt nn jj xtt x n x n j u dxfffaufau t t t uudxfdtfdt u dx

18、u x j 对 沿时间方向在 之间积分，则 定义数值解在单 第 元内的平 个控制体 均值 代入 1 1 1/21/2 1/211/21/2 3.3.4) 0(3.3.6) 1 , n n nnnn jjjj t nnn jnnjj t uuff tx ft tffdt t 一维问题有限体积方法的标准形式。 有限体积方 ，得全离散有限体积方法的表达式为 其中，在之间的平均值，称 法的解是因变量在单元上的平均值。 数值。通量为 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 1 1 2 12 122 1 1 2 11 112 (3.3.15) 34 2 2 2 Warming-Beam 2 2 2 Lax

19、-Wend nn jj j nnn nn jjj jjnnn jjj nn jj nn jj j nn nn jj jjnnn jjj uu D x uuuuu at auuu tx x uu uu D x uuuu at auuu tx x 在中，当取时， 线性重构中，上式为格式。 当取时， 上式为roff 时间方向二阶精度，空间方向二 格式。 阶精度。 3.3.4 有限体积方法的半离散形式 1/2 1/2 1/21/2 0,() j j x jj x u dxfffu t j a 第对个控制体 发展型模型方程的有限差分和有限体积方法 3.4 差分格式数值解的性质 0,0 xt xt 差分格式是对微分方程的离散意义上的近似。如果差分格式是收敛的， 则当时，差分格式的数值解趋近于微分方程的 差 精确解。 在分格式的 修 实际计 正方程 算中，和都是有限的，这时,可以通过分析 解的性质，得到差分格式数值解的性质。 3.4.1 修正方程 1 1 1 ( ,)0 ( ,)( ,) ( ,) ( ,)( ,) nnn xjj