多元复合函数及隐函数的微分法

1、多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 一、多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导法则 二、隐函数的求导公式二、隐函数的求导公式 5.2.35.2.3 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 多元函数微分学多元函数微分学 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 1 1 基本形式的复合函数偏导数的链式法则基本形式的复合函数偏导数的链式法则 定理定理 : 设函数设函数u=u(x,y),v=v(x,y)在点在点(x,y)处可导，处可导， 在对应在对应(x,y)的点的点(u,v)处，函数处，函数z=f (u,v)有连续偏有连续偏 导数，则复合函数导数，则复合

2、函数fu(x,y),v(x,y)在点在点(x,y)处处 也可导，且也可导，且 x v v f x u u f x z y v v f y u u f y z 多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 其中其中 将将y固定，给自变量固定，给自变量x以增量以增量x, ),(ov v f u u f z 22 )()(vu 证证 于是函数于是函数u=(x, y), v=(x, y)相应有增量相应有增量u,v, 从而函数从而函数z=f (u, v)也有相应增量也有相应增量z ， 由于由于f (u, v)可微，所以可微，所以 以以x0除上式两端，

3、得除上式两端，得 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 22 )()( )( x v x uo x v v f x u u f x z 当当x0时，对上式两端取极限，由定理条件即得时，对上式两端取极限，由定理条件即得 x v v f x u u f x z y v v f y u u f y z 同理可证同理可证 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 上述复合函数求导法则可以推广到二元以上的上述复合函数求导法则可以推广到二元以上的 多元函数多元函数. . 在满足定理的相应条件下，有在满足定理的相应条件下，有: : x w w f x v v f x u

4、u f x Q y w w f y v v f y u u f y Q z w w f z v v f z u u f z Q 例如，对三元复合函数例如，对三元复合函数Q=f (u, v, w) ,其其 中中u=u(x, y, z)，v=v (x, y, z)，w=(x, y, z). 其结构图为其结构图为: 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 例例 设设 z = eu cos v，,xyu ,2yxv . y z x z ，求求 解解 因为因为 ,cosev u z u ;sinev v z u ,y x u ;2 x v ,x y u .1 y v 多元复合函数及隐函

5、数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 可得可得 x z 2sinecose vyv uu )sin2cos(evvy u ,)2sin(2)2cos(eyxyxy xy y z )1(sinecose vxv uu )sincos(evvx u .)2sin()2cos(eyxyxx xy 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 2 其它形式复合函数偏导数的链式法则 称为称为 以上公式中的导数以上公式中的导数 dt dz 如果函数如果函数 )(xu f 及及)(xvy 都在点都在点 x x 可可 导导, ,函数函数),(vuf z 在对应点在对应点),(vu具有连续偏导具有

6、连续偏导 数，则复合函数数，则复合函数 )(),(xxfzyf 在点在点x可导，可导， 且其导数可用下列公式计算：且其导数可用下列公式计算： dx dv v z dx du u z dx dz ( 1 )( 1 ) 。 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 例例 。求已知 dx dz ,cosxv,sinxu,vuz 22 解解: : u u f 2 v v f 2 x dx du cosx dx dv sin 故故 dzfdufdv dxu dxv dx =2sin=2sinx xcoscosx x+2cos+2cosx xsinsinx x=2sin2=2sin2x x

7、 . 2 cos2 sinuxvx 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 ( 2) 若若z=f (u)可导，可导，u = u (x, y)有连续偏导数，有连续偏导数， (结构如结构如右下图右下图)，则对复合函数，则对复合函数z=f u(x, y)有有 x u du dz x z y u du dz y z ( 3) 若若z=f (x, u), u = (x, y)均均 具有连续偏导数，则对复合函数具有连续偏导数，则对复合函数 z=fx,u (x, y)，有，有 x u u f x f x z y u u f y z 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法

8、例例 3，设设)sin,2,( xyyx x y fz 求求 x z 与与. y z 解解, x y u 令令,2yxv ,sin xyw 于是于是 ).,(wvufz 因为因为 , 2 x y x u , 1 x v ,cos xy x w 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 , 1 xy u , 2 y v ,sin x y w 所以所以 x z 2 x y fuxyff wv cos1 ,cos 321 2 fxyff x y 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 式中的式中的 f i 表示表示 z 对第对第 i 个中间变量的偏导数个中间变量的偏

9、导数 ( (i = 1 , 2 , 3) )， 有了这种记法，有了这种记法， 就不一定要明显地写出中就不一定要明显地写出中 间变量间变量 u， v， w . 类似地，类似地，可求得可求得 y z .sin2 1 321 fxff x 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 例例 4 设设 ),(yxyxfxyz ., y z x z 求求 解解在这个函数的表达式中，在这个函数的表达式中， 乘法中有复合乘法中有复合 函数，函数，所以先用乘法求导公式所以先用乘法求导公式. x z ),(yxyxfy 11 21 ffxy ),(yxyxfy , 21 ffxy y z .),(

10、21 ffxyyxyxfx ),(yxyxfx )1(1 21 ffxy 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 2、多元复合函数的全微分 设函数设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufzy 的全微分为的全微分为 y y z x x z zddd x x v v z x u u z d)( y y v v z y u u z d)( u z v z u z 可见无论可见无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, )dd(y y u x x u )dd(y y v x x v 则复合函数则复合函数 ) (fz ),(, ),(yxyxy ud v z

11、 vd 都可微都可微, , 其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性这性质叫做全微分形式不变性. 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 . ),sin( y z x z dz yxez xy 与与，并由此导出，并由此导出不变性求不变性求 利用全微分形式利用全微分形式设设 例例 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 )cos( )sin(yxyxe yx 解解 uveudsin )cos()sin(yxyxye yx )cos()sin(yxyxye x z yx )cos()sin(yxyxxe y z yx 所以所以

12、 ) (dd zveusin vveudcos )cos( )sin(yxyxe yx )(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxe yx ,xyu 设设, yxv vez u sin 于是于是 (yd xxdy)(yd xxdy) (dxdy)(dxdy) d xd x dydy 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 5.2.4.隐函数微分法隐函数微分法 一般地说，能用一般地说，能用y=f (x), z=f (x, y)等已将因变量等已将因变量 解出的函数，称之为显函数；如果由方程形式：解出的函数，称之为显函数；如果由方程形式： F(x, y)=0, F(x,

13、y, z)=0, 能确定出函数能确定出函数y=f (x), z=f (x, y)，这种未解出因变量，只是由方程形式确定，这种未解出因变量，只是由方程形式确定 的函数称为隐函数，对于隐函数的求导或求偏导，的函数称为隐函数，对于隐函数的求导或求偏导， 有下面的：有下面的： 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 定理定理 1 设设0),(yxF确定了确定了 y是是 x的函数的函数 )(xyy ，且，且),(yxFx，),(yxFy存在存在及及0),( 00 yxFy，试求，试求 x y d d 解解 因为因为0)(,(xyxF,所以，此式两端对所以，此式两端对 x 求导得求导得

14、0 d d dx dy y F x x x F ,即即 0 d d x y FF yx . 所以所以 ),( ),( d d yxF yxF x y y x 此式称为一元隐函数的此式称为一元隐函数的 求导公式求导公式 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 例例 设设,2 22 xyx 求求. d d x y 解解 ,2),( 22 xyxyxF 令令则则 ,22 xFx,2yFy 由公式得由公式得 x y d d . 1 2 22 y x y x 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 定理定理 2 2 （隐函数存在定理）（隐函数存在定理） 设函数设函数)

15、,(zyxF在在 点点 0 P),( 000 zyx的某个邻域内连续且有连续的偏导数的某个邻域内连续且有连续的偏导数 ),(zyxFx，),(zyxFy，),(zyxFz，又，又0),( 000 zyxF， 0),( 000 zyxFz， 则存在惟一的函数， 则存在惟一的函数),(yxfz 在在),( 00 yx 的某个邻域内的某个邻域内满足方程满足方程0),(zyxF，即，即 0),(,(yxfyxF . 而且而且),( 000 yxfz ， 同时， 同时),(yxfz 在此邻域内有连在此邻域内有连 续的偏导数续的偏导数 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 试求试求 x

16、 z 及及 y z 解解 因为因为0),(,(yxzyxF，所以此式两端对，所以此式两端对 x 求求 导得导得 0 x z z F x F , 所以所以 z F x F x z . 同理可得同理可得 z F y F y z . 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 例例 设函数设函数z=f (x, y)由方程由方程sinz=xyz确定，确定， 求求 , z x y z 解法解法1 则则 yz x F xz y F xyz z F cos 故故 xyz yz x z cos xyz xz y z cos 设设F(x, y, z)=sinzxyz, 多元复合函数及隐函数的微分法

17、多元复合函数及隐函数的微分法 解法解法2 x z xyyz x z z cos 故故 xyz yz x z cos 同理可得同理可得 xyz xz y z cos 方程方程sinz=xyz两边分别对两边分别对x求偏导，得求偏导，得 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 例例 设设 0932 222 zxyzyx 求求 )1 , 2, 1( 2 2 x z 解解 : 欲求欲求 ，应先求出，应先求出 , 再求再求 ， )1 , 2, 1( 2 2 x z x z 2 2 x z 故故 ,2yx x F 16 z z F 所以所以 z yx x z 61 2 所以，设所以，设F=

18、 932 222 zxyzyx 最后以最后以x=1, y=2, z=1代入即可代入即可. 由由z=f (x, y)是由方程确定的隐函数，是由方程确定的隐函数， 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 2 2 2 ()() 1 6 zzxy xxxxz 3 22 )61 ( )2(6)61 (2 z yxz 故故 5 2 )1 , 2, 1( 2 2 x z 2 2(1 6 )(2)( 6) (1 6 ) z zxy x z 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 例例 设设,0),( bzcyazcx 其中其中 a , b , c 为常数，为常数， 函数函数

19、 可微可微 ).0( 21 ba 证证 两边对两边对 x 求导求导 .0)()( 21 x z b x z ac 解得解得 21 1 ba c x z 证明证明 ,c y z b x z a 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 同理同理 21 2 ba c y z a + b 于是有于是有 .c y z b x z a 即为所证即为所证. 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 *隐函数的情况是多种多样的，例如求由方程组隐函数的情况是多种多样的，例如求由方程组 确定的一元或多元隐函数的导数或偏导数，基本确定的一元或多元隐函数的导数或偏导数，基本 思想和方

20、法也完全类似思想和方法也完全类似 , 0),( , 0),( vuyxG vuyxF 在满足一定条件下，确定了隐函数在满足一定条件下，确定了隐函数 ),( ),( yxvv yxuu x v x u , 求求 利用复合函数求导法则，在方程利用复合函数求导法则，在方程F(x, y, u,v)=0及及 G(x, y, u, v)=0两端同时对两端同时对x求偏导数，但要注意求偏导数，但要注意 到到u, v是自变量是自变量x, y的函数，我们得到的函数，我们得到 例如，方程组例如，方程组 多元复合函数及隐函数的微分法多元复合函数及隐函数的微分法 0 0 x v G x u GG x v F x u FF vux vux 将将 视为未知量，用消元法解上面的线性方程视为未知量，