322(3)直线的两点式方程

1、直线的两点式方程直线的两点式方程 唐永发唐永发 y=kx+b y- y0 =k(x- x0 ) k为斜率，为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点为直线上的一定点 k为斜率，为斜率，b为截距为截距 1). 直线的点斜式方程：直线的点斜式方程： 2). 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程： 一、复习一、复习 解：设直线方程为：解：设直线方程为：y=kx+b 例例1.已知直线经过已知直线经过P1(1,3)和和P2(2,4)两点两点,求直求直 线的方程线的方程 3 42 kb kb 由已知得：由已知得： 1 2 k b 解方程组得：解方程组得： 所以所以:直线方程为直线方程为: y=x+2 还

2、有其他做法吗？ 为什么可以这样做，这样做的为什么可以这样做，这样做的 根据是什么？根据是什么？ 02 )1( 12 34 3 12 34 yx xy k 化化简简可可得得 再再由由直直线线的的点点斜斜式式方方程程 由由斜斜率率公公式式得得到到斜斜率率 12 34 1 3 x y 即：即： 得得: y=x+2 设设P(x,y)为直线上不同于为直线上不同于P1 , P2的动点的动点, 与与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上在同一直线上,根据斜率相根据斜率相 等可得：等可得： 211 pppp kk 二、直线的二、直线的 两点式方程两点式方程 已知两点已知两点P1 ( x1 , y1 ),P2

3、(x2 , y2),求通过这求通过这 两点的直线方程两点的直线方程 解：设点解：设点P(x,y)是直线上不同于是直线上不同于P1 , P2的点的点 2 11 121 xyyx yyxx 可得直线的两点式方程：可得直线的两点式方程： 2 11 121 yyxx yyxx kPP1= kP1P2 记忆特点：记忆特点： 1.左边全为左边全为y，右边全为，右边全为x 2.两边的分母全为常数两边的分母全为常数 3.分子，分母中的减数相同分子，分母中的减数相同 若点若点P1 (x1 , y1 ),P2( x2 , y2)中有中有x1 x2,或或 y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么此时过这两点的直线

4、方程是什么? 当当x1 x2 时方程为：时方程为： x x 当当 y1= y2时方程为：时方程为： y = y 例例2:已知角形的三个顶点是已知角形的三个顶点是A(5，0)， B(3，3)，C(0，2)，求，求BC边所在的直线边所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程方程，以及该边上中线的直线方程. 解：过解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：两点式方程为： 20 3230 yx 整理得：整理得：5x+3y-6=0 这就是这就是BC边所在直线的方程边所在直线的方程. 1212 , 22 xxyy xy BC边上的中线是顶点边上的中线是顶点A与与BC边中点边中点M所连所连 线段，由中

5、点坐标公式可得点线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：的坐标为： 31 , 22 M 即即 整理得：整理得：x+13y+5=0 这就是这就是BC边上中线所在的直线的方程边上中线所在的直线的方程. 05 13 05 22 yx 过过A(-5,0),M 的直线方程的直线方程 31 , 22 M 例例3:已知直线已知直线 l 与与x轴的交点为轴的交点为A(a,0),与与y轴的交点为轴的交点为 B(0,b),其中其中a0,b0,求直线求直线l 的方程的方程 解解:将两点将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式的坐标代入两点式, 得得: 0 , 00 yxa ba 1. xy ab 即即 所以

6、直线所以直线l l 的方程为：的方程为：1. xy ab 截距式方程截距式方程1. xy ab (1) 平面直角坐标系中的每一条直线平面直角坐标系中的每一条直线 都可以用一个关于都可以用一个关于x , y的的二元一次二元一次 方程方程表示吗？表示吗？ (2) 每一个关于每一个关于x , y的的二元一次方程二元一次方程 都表示直线吗？都表示直线吗？ 思考思考 分析：分析：直线方程直线方程 二元一次方程二元一次方程 (2) 当斜率不存在时当斜率不存在时L可表示为可表示为 x - x0=0,亦可亦可 看作看作y的系数为的系数为0的二元一次方程的二元一次方程. (x-x0+0y=0) 结论结论1：平面

7、上任意一条直线都可以用一个关平面上任意一条直线都可以用一个关 于于 x , y 的二元一次方程表示的二元一次方程表示. (1) 当斜率存在时当斜率存在时L可表示为可表示为 y=kx+b 或或 y - y0 = k ( x - x0 ) 显然为二元一次方程显然为二元一次方程. 即：对于任意一个二元一次方程即：对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0 (A.B不同时为不同时为0)，判断它是否表示一条直线？，判断它是否表示一条直线？ B C x B A y （1）当）当B 0时，方程可变形为时，方程可变形为 它表示过点它表示过点 ，斜率为，斜率为 的直线的直线.),0( B C B A （2）当

8、）当B=0时，因为时，因为A,B不同时为零，所以不同时为零，所以A一定不一定不 为零为零,于是方程可化为于是方程可化为 ，它表示一条与，它表示一条与 y 轴平轴平 行或重合的直线行或重合的直线. A C x 结论结论2: 关于关于 x , y 的二元一次方程的二元一次方程,它都表示它都表示 一条直线一条直线. 直线方程直线方程 二元一次方程二元一次方程 定义定义：我们把关于我们把关于 x , y 的二元一次方程的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中其中A,B不同时为不同时为0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式叫做直线的一般式方程，简称一般式. 在方程在方程Ax+By+C=0中，中，A，B，

9、C为何值为何值 时，方程表示的直线时，方程表示的直线 （1）平行于）平行于x轴：（轴：（2）平行于）平行于y轴：轴： （3）与）与x轴重合：（轴重合：（4）与）与y轴重合：轴重合： 分析分析: (1)直线平行于直线平行于x轴时轴时,直线的斜率不存在直线的斜率不存在, 在在x轴上的截距不为轴上的截距不为0即即 A=0 , B 0,C 0. (2) B=0 , A 0 , C 0. (3) A=0 , C=0 , B 0. (4) B=0 , C=0 , A 0. 探究探究 例例 4 已知直线过点已知直线过点A(6，4)，斜率，斜率 为为 ,求直线的求直线的点斜式和一般式点斜式和一般式方程方程.

10、3 4 解：代入点斜式方程有解：代入点斜式方程有 y+4= (x-6). 化成一般式，得化成一般式，得 4x+3y-12=0. 3 4 m , n 为何值时为何值时,直线直线mx+8y+n=0和和2x+my-1=0垂直垂直? 解解:（1）若两条直线的斜率都存在，则）若两条直线的斜率都存在，则m不等于不等于0， 且两条直线的斜率分别为且两条直线的斜率分别为 但由于但由于 所以两条直线不垂直所以两条直线不垂直. . 2 8m m 、 1 4 1 ) 2 () 8 ( m m （2）若）若m=0，则两条直线中一条直线的斜率为，则两条直线中一条直线的斜率为0， 另一条斜率不存在，这时两条直线垂直，方程分别另一条斜率不存在，这时两条直线垂直，方程分别 为为 . 2 1 , 8 x n y 综上知：综上知：m=0，n为全体实数时，两条直线垂直为全体实数时，