终稿一级倒立摆

1、1101目录1 实验设备简介 21.1 倒立摆介绍 21.2 研究倒立摆稳定性的意义 31.3 直线一级倒立摆 32 倒立摆建模 32.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导 32.1.1 受力分析 42.1.2 微分方程建模 62.1.3 传递函数建模 62.1.4 状态空间数学模型 72.2 实际系统模型建立 93 系统定性、定量分析 103.1 系统开环阶跃响应 113.2 系统稳定性与可控性分析 123.2.1 稳定性分析 123.2.2 能控性分析 134 设计状态观测器 144.1 状态空间分析 144.2 极点配置的设计步骤 144.3 极点配置的matlab 计算 154.4 极点配

2、置的simulink 电路仿真 214.4.1 无状态反馈仿真 214.4.2 有状态反馈的仿真 224.5 极点配置的综合分析 235 小结 24第 1 页 共 24 页自动化11011实验设备简介1.1 倒立摆介绍倒立摆是处于倒置不稳定状态，1人为控制使其处于动态平衡的一种摆。 如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂，多变 量，存在严重非线性，非自制不稳定系统。常见的倒立摆一般由小车和摆 杆两部分组成，其中摆杆可能是一级，二级或多级，在复杂的倒立摆系统 中，摆杆的长度和质量均可变化。图2: 一级倒立摆系统组成框图系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘

3、几大部分组成的闭环系统。光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，通过皮带，带动小车运动，保持摆杆平衡。1.2 研究倒立摆稳定性的意义倒立摆的研究具有重要的工程背景。机器人行走就类似倒立摆系统从 日常生活中所见到的任何重心在上、也是支点在下的控制问题，到空间飞 行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆系统的稳定控制有很大相似性， 故对其稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平台的稳定

4、控制、卫星 发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过程控制等。1.3 直线一级倒立摆根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时，一般忽略掉系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接 处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成 的系统。倒立摆系统是典型的机电一体化系统其机械部分遵循牛顿的力学定律其电气部分遵守电磁学的基本定理 .无论哪种类型的倒立摆系统 ，都具 有3个特性，即:不确定性、耦合性、开环不稳定性.直线型倒立摆系统，是由 沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统.小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动

5、 .小车导轨一般有固定的行程，因而 小车的运动范围是受到限制的。2倒立摆建模2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导对于忽略各种摩擦参数和空气阻力之后，直线一即倒立摆抽象为小车河均质杆组成的系统本系统的参数定义如下:m小车质量（本实验为0.5kg）m摆杆质量（本实验为0.2kg）b小车摩擦系数（本实验为0.1n/m/sec）摆杆转动轴心到杆质心的长度（本实验为0.3m）摆杆惯量（本实验为0.006kg*m*m）f加在小车上的力x小车位置（变量）（)摆杆与垂直向上方向的夹角（输出）9摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始 位置为竖直向卜。2.1.1 受力分析下面我们对这个系统作一下受力分析。n和p

6、为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。图3:倒立摆系统小车和摆杆的受力分析应用newton方法来建立系统的动力学方程过程如下:第13页共24页(2-1)(2-2)分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：mx f bx n由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:d2nm；(x lsin )dt2n m& ml &cos ml & sin(2-3)把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程:2(m m)x bx ml cos ml sin f(2-4)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：p mgd m dt2 (l cos

7、)(2-5)(2-6)(2-7),cos cos ,sinsin ,故等式前面有负号。p mg ml&sin ml & cos力矩平衡方程如下:pl sin nl cos i此方程中力矩的方向， 由于合并这两个方程，约去 p和n ,得到第二个运动方程:2、(i ml ) mglsin mlxcos(2-8)2.1.2 微分方程建模设，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角与1 (单位是弧度)相比很小，即 1时，则可以进行近似处理：cos 1, sind()2 0。为了与控制理论的表达习惯相统一，即u一般表不控制量，dt用u来代表被控对象的输入力 f ,线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：,2,

8、i ml mgl mlx(2-9)(m m)x bx ml u2.1.3传递函数建模对方程组(2-9)进行拉普拉斯变换，得到i ml2 (s)s2 mgl (s) mlx(s)s222(2-10)(m m)x(s)s bx(s)s ml (s)s u(s)注意：推导传递函数时假设初始条件为 0。由于输出为角度 ，求解方程组(2-10)的第一个方程，可以得到2、(2-11)x(s)中当(s) ml ssmls2x s i ml2 s2 mgl如果令v &,则有：sml22vs i ml s mgl(2-12)(2-13)把上式代入方程组(2-10 )的第二个方程，得到22、(i ml ) g /

9、、2 , (i ml ) g /、2(m m)(s)s b2 (s)s ml (s)s (2 14、ml sml s(2-14)整理后得到以输入力u为输入量，以摆杆摆角为输出量的传递函数u(s)ml 2 s(2-15)(s)q，、t-；22.；u (s)4 b( i ml ) 3 (m m)mgl 2 bmgls s - s sqqq其中 q (m m)(i ml2) (ml)22.1.4状态空间数学模型由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式:(2-16)x ax buy cx du方程组(2-9)对x,解代数方程，得到如下解:(i ml2)i (mm)mml2 u (2

10、-17)x x222、， (i ml )b 、， m glx2x2i(m m) mml i(m m) mmlmlbx2 xi (m m) mmlmgl(m m)i(m2m) mmli(mmlm)2umml整理后得到系统状态空间方程:x00001(i ml2)b0一 22m gl0x0 x100i ml2xi(mm) mml2 0 mlbi (m m) 0 mgl (mmml2m)i(mm) mml2 0umli(m2m) mmli (m m)mml2i(m2m) mmlyx100 00 1x0 a 000&u(2-18)由(2-9)的第一个方程为：i ml2 & mgl mlx&对于质量均匀分

11、布的摆杆有：,1.2i -ml3于是可以得到：1ml2 ml2 & mgl mlx&化简得到：(2-19)& 3g -x&4l 4l设x x x&t , u &则有:&0100x跟0000&0001&003g0&4l010 u34l(2-20)xx 1 0 0 0 )&0u0 0 100&2.2实际系统模型建立实际系统参数如下，求系统的传递函数、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的 matlab仿真。m小车质量0.5kgm摆杆质量为 0.2kgb小车摩擦系数0.1n/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度体实验为0.3m)0.3mi摆杆惯量0.006kg*m*mf加在小车上的力x小车位置t

12、采样频率0.005 秒0摆杆与垂直向下方向的夹 角1)摆杆角度和小车位移的传递函数2_22smls20.2 0.3s20.06 s22_2 _ _2_2 _ _ 2 x s i ml s mgl 0.006 0.2 0.3 s 0.2 9.8 0.3 0.024s0.0182)摆杆角度和小车加速度的传递函数_s_ml0.2 0.3 0.06v s i ml2 s2 mgl 0.006 0.2 0.32 s2 0.2 9.8 0.3 0.024s2 0.0183）摆杆角度和小车外作用力的传递函数_、，.2、 , .、2_ q (m m)(i ml ) (ml) 0.5 0.2 0.00620.0

13、18 - 0.2 0.3ml 2sq2us 4 b i ml 3 m m mgl 2 bmgls s s s4.5s2s4 0.182s3 31.18s20.01324.45s4)x0100 x0x00.1812.6730 x1.8180001000.45531.18204.545以外界作用力作为输入的系统状态方程:u5)以小车加速度作为输入的系统状态方程24.52.53系统定性、定量分析3.1 系统开环阶跃响应状态空间法：状态空间法可以进行单输入多输出系统设计，在此我们状态空间开环系统阶跃响应曲线将尝试同时对摆杆角度和小车位置进行控制。在这里我们首先给小车一个 阶跃输入信号，以外作用力为输入

14、。我们用 matlab求出系统的状态空间1009080摆杆角度响应曲线70小车位置响应曲线60 5040302010 000,511.522.5图4:状态空间的开环阶跃响应方程各矩阵。并观察一下系统的开环阶跃响应。可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的matlab程序如下:m = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;i= 0.006;g = 9.8;1101l = 0.3; p = i*(m+m)+m*m*e2;a = 0100;0 -(i+m*la2)*b/p (ma2*g*la2)/p 0;0001;0 -(m*l*b)/pm*g*l*(m+m)/p 0b = 0

15、; (i+m*la2)/p; 0;m*l/pc = 1 0 0 0;0 0 1 0d = 0; 0t=0:0.005:10;u=0.2*ones(size(t);y,x=lsim(a,b,c,d,u,t);plot(t,y)axis(0 2.5 0 100)matlab 给出系统状态空间方程的 a ， b ， c 和 d 矩阵，并绘出了在给定输入为一个0.2 m 的阶跃信号时系统的响应曲线。3.2 系统稳定性与可控性分析3.2.1 稳定性分析我们先看一看系统的稳定性，将数据代入状态方程中，利用 matlab 程序可以求出系统的零极点。源代码如下：sysc=ss(a,b,c,d);sysd=c2

16、d(sysc,0.005);da db dc dd=ssdata(sysd);z p gain=ss2zp(da,db,dc,dd,1)z =-0.9997-0.99971.02511.00000.97561.0000p =1.00001.02820.99930.9724gain =1.0e-004 *0.22720.5680由得到的p (极点)可知，有的极点在单位圆外，所以可知原系统是不稳定3.2.2 能控性分析我们可以利用 matlab 来得到系统的能控性，源代码如下：ud=ctrb(da,db);rank(ud)ans =4由得到的rank (ud)的值可知，原系统的能控性矩阵为4,所以

17、我们第 15 页 共 24 页自动化1101可知原系统是能控的。4设计状态观测器4.1状态空间分析图5:状态方程结构图状态方程为：* ax bu式中：x为状态向量（n维），u为控制向量（纯量），a为n n维常 数矩阵，b为n 1维常数矩阵。选择控制信号：u kx求解上式，得到& t a bk x t方程解为：, a bk t 八x t e x 0可以看出，如果系统状态完全可控，k选择适当，对于任意的初始状态，当t趋于无穷时，都可以使 x t趋于0。4.2 极点配置的设计步骤(1)检验系统的可控性条件。(2)从矩阵a的特征多项式si asn a1sn 1 lan 1san来确定a1,a2，l a

18、n的值。(3)确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵t其中m为可控性矩阵,mwbmabm. an 1ban 1an 2la11an 2an 3100mmmmma11l0010l00mw写出期望的多项式利用所期望的特征值,并确定(5)1，2，l n 的值。需要的状态反馈增益矩阵k nann 11sn 1s nk由以下方程确定:n 1an 1 l 2a2a1 t 14.3 极点配置的matlab计算前面我们已经得到了直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输入的系统状态方程为：01 u00 0 24.5 02.5xx 1 0 0 0 60 u0 0 100&01000000a00010024

19、.5001 b02.5对于如上所述的系统,10 0 0c 0 0 10设计控制器，要求系统具有较短的调整时间（约5秒）和合适的阻尼（阻尼比0.5）。倒立摆极点配置原理图如图所示t 飞 ,图6:倒立摆极点配置原理图极点配置步骤如下：（1）检验系统可控性（以证）（2）计算特征值根据要求，并留有一定的裕量（设调整时间为3秒），我们选取期望的闭环极点s i i 1,2,3,4 ,其中：第19页共24页1 -152 -153 -1 0.8 j 1-1 0.8j其中,3,4是一对具有0.5, n 4的主导闭环极点,2位于主导闭环极点的左边，因此其影响较小,因此期望的特征方程为:su14s32su2 s u

20、33 286s2s u4499s36915 s 15 s 1 0.8j s 1-0.8j因此可以得到:1 322286499369由系统的特征方程:si-as4 24.5s224.5因此有a10a224.5a30a4系统的反馈增益矩阵为:a32a21 ai t 1(3)确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵t :式中:23m b ab a b a b2.561.252.561.251101a3a2a11024.501a2a11024.5010wa1100010010001000于是可以得到:-24.50100t mw00- 24.50102.5 0003- 0.040800.01630第 #

21、页 共 24 页t-1- 0.040800.016300.40000000.4000(4) 状态反馈增益矩阵k 为：k 4 a43 a32 a21 a1 t-15.0612 -20.3755 130.4805 20.9502得到控制量为：u kx15.0612 x 20.3755x-130.4805 - 20.9502零输入响应自动化1101极点配置零输入响应0.050.040.03小车位置曲线0.020.01摆杆角度曲线第23页共24页-0.01012345678910图7:极点配置零输入响应在零输入响应下，即不加扰动时小车和摆杆最终都回到平衡位置。程序见下：a=0 1 0 0;0 0 0

22、0;0 0 0 1;0 0 24.5 0;b=0 1 0 2.5;c=1 0 0 0;0 0 1 0;d=0 0;j=-15 0 0 0;0 -15 0 0;0 0 -1-0.8*i 0;0 0 0 -1+0.8*i;pa=poly(a)pj=poly(j)m=b a*b aa2*b aa3*bw=pa(4) pa(3) pa(2) 1;pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0t=m*wk=pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)*inv(t)ac=(a-b*k)bc=b;cc=c;dc=d;sys=ss(ac

23、,bc,cc,dc)t=0:0.005:10;x0=0.05; 0; 0.0175; 0;y1,x=initial(sys,x0,t);plot(t,y1(:,1),red,t,y1(:,2),green)当有扰动时即它的单位阶跃响应是:极点 配置的单位阶跃响应0.01 t,(r,(|0 _小车位置曲线1_- 0.01.- 0.02.- 0.03-摆杆角度曲线- 0.04- - 0.05- 0.06- 0.07 111：111012345678910图8:极点配置的阶跃响应上图是极点配置的单位阶跃响应，由图中也可以观察到在4秒左右小车和摆杆都达到平衡状态，满足题目要求的摆动时间小于5秒。其次也

24、可看到稳态时摆杆与垂直方向的夹角小于0.1度。仿真程序如下：a=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0;b=0 1 0 2.5;c=1 0 0 0;0 0 1 0;d=0 0;j=-15 0 0 0;0 -15 0 0;0 0 -1-0.8*i 0;0 0 0 -1+0.8*i;pa=poly(a)pj=poly(j)m=b a*b aa2*b aa3*bw=pa(4) pa(3) pa(2) 1;pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0t=m*wk=pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-

25、pa(2)*inv(t)ac=(a-b*k)bc=b;cc=c;dc=d;sys=ss(ac,bc,cc,dc)tc=0:0.005:10;y,tc,x=step(sys,tc);plot(tc,x(:,1),green);hold on;plot(tc,x(:,3),red);hold on;4.4 极点配置的simulink电路仿真4.4.1 无状态反馈仿真1oh-2*1归54dcv自动化1101图10:无极点配置的小车位移和摆杆角度波形由图中可知无状态反馈时， 小车位置与摆杆角度都是发散的因而无法达到动态的平衡。但通过计算可知系统是可控的，因而只要加入合适的状态反馈，给系统配置到期望的极点上，我们就能使系