运用特征数求一阶递推数列的通项

1、运用特征数求一阶递推数列的通项一个数列可以由通项公式来确定，也可以由相邻项的关系及初始项来确定，我们把数列的这种若干连续项之间的关系叫做递推关系，由递推关系和初始条件给出的数列叫做递推数列.等差数列也可以用递推关系来定义：满足下列条件an 1an daiaon* ,a0,d为常数)的数列称为等差数列.类似地，等比数列的定义:满足下列条件an 1aianq ao(nn*,a0,q为常数)的数列称为等比数列.因此，等差数列和等比数列是两个特殊的递推数列，是研究其他数列的基础，其定义、通项公式和求和公式 是解决复杂数列问题的重要工具.一般地，由两个连续项之间的关系 an 1 f (an) (n n*

2、)及一个初始项a1所确定的数列，叫做一阶递推 数列；由二个连续项之间的关系 an 2 f(ani,an) (n n )及两个初始项a1，a2所确定的数列，叫做二阶递 推数列，如数列an满足an 2 2an i an 0, ai p, a2 q ,(其中n n , p,q为常数)，这个数列就是二 阶递推数列，.在高考试题中，主要以一阶递推数列为主， 应引起足够的重视. 递推数列的通项公式求法很多， 技巧性较强，这里重点介绍形如 an pan 1 q的一阶递推数列的通项公式的求法.问题 已知数列an的首项为ai a,当n 2时，为 pai q (其中p、q为常数)，求数列an的 通项公式.分析：(

3、i)当 p i 时，则有 an an i q ,即 an an i q ( n 2),根据等差数列定义，数列an是首项为a,公差为q的等差数列，所以数列an的通项公式为an a (n i)q(2)当p 0时，由已知得an q,这表明数列an是一个各项均为q常数列，所以数列an的通项公式为 an q(3)当p 0,且p i,q 0时，由已知得 an pan i,即-an- p (n 2)an i根据等比数列的定义可知，数列an是首项为a ,公比为p的等比数列，所以数列an的通项公式为an a pn i.(4)当 p i,且p 0,且q 0 时，设 an x p(an i x),则anpan i

4、px x，又由已知anpan i q,比较两式的右边，可得 px x q所以x . p i于是有 an -q-p(an i -q)(*)p ip i若a-q,则当n 2时，由上式(*)可得p ic c q 、 q _ q .a2 p(ai)-ai ,一p i p i p i类推，an若a 二，则有(*)可知数列anp 1所以an _q_ (a -q-) pn 1p 1 p 1即 an (a s)pn1p 1p 1工是以a p 1 为首项，公比为 p的等比数列, p 1由以上讨论可以得出：一般地，数列an的首项为a1 a,当n 2时，an pan q (其中p、q为非零常数，且p 1),取-q-

5、,称 为递推关系中特征数，它对求通项公式很有用，应记住.在解题时要先p 1将递推关系变成形如 an pan 1 q的形式，然后再考查特征数，以便对递推关系进一步变形.1一例1已知数列an , a1 2 ,且对于n 1时恒有小 -an 1 1 ,求数列an的通项公式.21八.分析：显然，-一2 ,而a1 2 ,可知，数列an是常数列.-1 21，斛：由已知的an 2 -(an 1 2)又因为a1 2 ,2所以an 2.*例2数列an的前n和sn满足sn 2an n,(n n),求a1的值及an与an 1的关系;(2)求证：an1 1是等比数列，并求出an的通项公式.s,(n 1)分析：利用an,

6、将已知条件中转化即可求得an与an 1的关系，问题很容易解决.sn sn 1,(n 2)解：(1)由s12a1 1 ,得 a1a1 =1当 n 2时，an sn sn 12a11,(2an n) 2an 1 (n 1)，得an2an 1 1由(1)知an 2an 11,则有an 12(an 1 1),由于 a11 ,an 1an 112,所以数列an 1是以2为首项,2为公比的等比数列,n 1nan 12 2 ，即 an 21 .an例3在数列an中，a11,an 1，求an.an 313、一 1分析：将已知关系式变形为 aa 1an 3an 1 an,两边同除以an an 1可得1 ,记bn

7、 一，则an 1 ananbn 1 3bn 1 ,这就可以用前面的公式求出bn,从而得到an的表达式.略解：由已知关系式得1 3( ,),所以数列2 1是以为首项，公比为 3得等比数列,23n 1.2 an 2an 221133一一-3 ，所以 anan 22a22，xn t.1 a1例4设数列xn中，x1xn 1（其中a为常数；n 2, n n ）,求xn.2xn 1xn 1分析：将已知xnr两边平方并去分母可得1 x322 22 一 一，2 211 一 1一，“21 ,所以；可看作是公差为xn xn 1xn2解：由已知得xn 0,所以x21 xn 11的等差数列，再利用等差数列的通项公式进行求解.即！xn12xn 1xn xnxn1 xn1，两边同除以xnxm得因此，数列2是公差为1的等差数列， xn11a2 1所以2 (n 1) 1 2n 1xnx1a_|a|_.1 na2由已知,xn与xn 1的符号相同，而x1与a的符号相同，因而 xn与a的符号相同，所以xn通过以上例子可看出，求一阶递推数列的通项公式应注意对递推关系的灵活变形，转化为可运