2223因式分解法课件（人教版九年级上）

1、 回顾与复习 1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? 2.什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式. 直接开平方法 配方法 x2=a (a0) (x+m)2=n (n0) 公式法 .04. 2 4 2 2 acb a acbb x 分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: （2）公式法: （3）十字相乘法: am+bm+cm=m(a+b+c). a2-b2=(a+b)(a-b), a22ab+b2=(ab)2. x2+(a+b)x+ab= 1 1 b a (x+a)(x+b). 回顾与复习 实际问题 根据物理学规律，如果把根据物理学规律，如果把 一个物体

2、从地面一个物体从地面 10 m/s 的速度的速度 竖直上抛，那么经过竖直上抛，那么经过 x s 物体离物体离 地面的高度（单位：地面的高度（单位：m）为）为 设物体设物体经过经过 x s 落回地面，这时它落回地面，这时它 离地面的高度为离地面的高度为 0 ，即，即 2 104.9xx 根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到（精确到 0.01 s） 提示提示 2 104.90 xx 2 104.90 xx 解：解： 2 100 0 49 xx 22 2 1005050 0 494949 xx 22 5050 4949 x 5050 4949 x

3、 5050 4949 x 1 100 49 x ， 2 0 x 配方法配方法公式法公式法 2 104.90 xx 解：解： 2 4.9100 xx a = 4.9，b =10，c = 0 a acbb x 2 4 2 1010 2 4.9 b24ac = (10)244.90=100 1 100 49 x ， 2 0 x 104.9x 09 .410 x 2 104.90 xx 因式分解因式分解 如果如果a b = 0， 那么那么 a = 0或或 b = 0。 x0 0 x , 0 1 x04. 2 49 100 2 x 两个因式乘积为两个因式乘积为 0，说明什么，说明什么 或或 降次，化为两

4、个一次方程降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是这种解法是不是 很简单？很简单？ 探究探究 可以发现，上述解法中，由到的过程，不是用开 方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘 积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而 实现降次，这种解法叫做因式分解法 以上解方程 的方法 是如何使二次方程降为一次的？ 09.410 xx 09.410 xx 0104.90,xx或 以上解方程以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的的方法是如何使二次方程降为一次的? 可以发现可以发现,上述解法中上述解法中,由由到到的过程的过程,不是用

5、不是用 开平方降次开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次而是先因式分解使方程化为两个一次 式的乘积等于式的乘积等于0的形式的形式,再使这两个一次式分别等于再使这两个一次式分别等于 0,从而实现降次从而实现降次.这种解法叫做这种解法叫做因式分解法因式分解法. w提示提示: : 1.1.用用分解因式法分解因式法的的条件条件是是: :方程左边易于分解方程左边易于分解, ,而右边而右边 等于零等于零; ; 2.2.关键关键是熟练掌握因式分解的知识是熟练掌握因式分解的知识; ; 3.3.理论理论依旧是依旧是“ab=0,则则a=0或或b=0 ” . 4 3 2 4 1 25)2( ; 02)2()1

6、 ( :.3 22 xxxx xxx 解下列方程例 w分解因式法解一元二次方程的步骤是分解因式法解一元二次方程的步骤是: 2. 将方程将方程左边左边因式分解为因式分解为AB; 3. 根据根据“ab=0,则则a=0或或b=0”,转化为两个一元一次方程转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这分别解这两个两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根一元一次方程，它们的根就是原方程的根. 1.将方程将方程右边等于右边等于0; 可以试用 多种方法解 本例中的两 个方程 . 例3 解下列方程： 22 1220; 13 2522. 44 x xx xxxx 解：（1）因式分解，得 于是得 x20或x1=0, x

7、1=2，x2=1. (2)移项、合并同类项，得 2 410.x 因式分解，得 ( 2x1)( 2x1 )=0. 于是得 2x1=0或2x1=0, 12 11 ,. 22 xx (x2)(x1)=0. 可以试用 多种方法解 本例中的两 个方程 . 1.解下列方程： 解： 因式分解，得 （1） x2+x=0 x ( x+1 ) = 0. 得 x = 0 或 x + 1 =0， x1=0 , x2=1. 2 22 30 xx 解：因式分解，得 2 30.x x 02 30,xx得或 12 0,2 3.xx 练习 .)25()4( )6( ; 24)12(3 )5( ; 01214 )4( ; 363

8、 )3( ; 032 (2) ; 0 1 222 222 xxxxxx xxxxxx ）（ 22 3363,441210 xxx 解：化为一般式为 因式分解，得 x22x+1 = 0. ( x1 )( x1 ) = 0. 有 x 1 = 0 或 x 1 = 0， x1=x2=1. 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x 11= 0， 12 1111 ,. 22 xx 22 5321426452xxxxx 解：化为一般式为 因式分解，得 6x2 x 2 = 0. ( 3x 2 )( 2x + 1 ) = 0. 有 3x 2 =

9、0 或 2x + 1 = 0， 12 21 ,. 32 xx 解：变形有 因式分解，得 ( x 4 ) 2 ( 5 2x )2=0. ( x 4 5 + 2x )( x 4 + 5 2x ) = 0. ( 3x 9 )( 1 x ) = 0. 有 3x 9 = 0 或 1 x = 0， x1 = 3 , x2 = 1. 2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增 加了一倍，求小圆形场地的半径 解：设小圆形场地的半径为r 根据题意 ( r + 5 )2=2r2. 因式分解，得 52520.rrrr 于是得250250.rrrr或 12 55 ,(). 2112 rr 舍去 答：小圆

10、形场地的半径是 5 . 21 m w分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1. 将方程左边因式分解，右边等于0; 2. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个 一元一次方程. 3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根. 用因式分解法解一元二次方程的步骤用因式分解法解一元二次方程的步骤 1. 方程右边化为方程右边化为_。 2. 将方程左边分解成两个将方程左边分解成两个_的乘积。的乘积。 3. 至少至少_因式为零，得到两个一元一次因式为零，得到两个一元一次 方程。方程。 4. 两个两个_就是原方程的根。就是原方程的根。 零 一次因式 有一个 一元一次方程的解 AB = 0 （ A、B

11、表示两个因式）表示两个因式） A = 0 或或 B = 0 课前练习 3 (2)5(2)x xx（2） （3）x24 = 0 （4）(3x1)25 = 0 （1）2x24x 2 = 0 （1）2x24x 2 = 0 x1 = 解：因式分解，得解：因式分解，得 2 (x1) 2 x1 = 0 = 0 或或 x2 = 1 x1 = 0 分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: （2）公式法: am+bm+cm=m(a+b+c). a2-b2=(a+b)(a-b), a22ab+b2=(ab)2. 3 (2)5(2)x xx（2） 解：移项，得解：移项，得35(2)()02x xx 因式分解，得

12、因式分解，得(2)x 0 (35)x x2 = 0 或或 3x5 = 0 x1 =2 ， ， x 2 = 5 3 （3）x24 = 0 解：因式分解，得解：因式分解，得 (x2) x2 = 0 x1 = 2， (x2) = 0 或或x2 = 0 x2 = 2 （4）(3x1)25 = 0 315x 315x = 0 或或 1 15 3 x， 2 15 3 x 解：因式分解，得解：因式分解，得 3150 x 3150 x 你学过一元二次方程的哪些解法你学过一元二次方程的哪些解法? ? 因式分解法因式分解法 开平方法开平方法 配方法配方法 公式法公式法 你能说出每一种解法的特点吗你能说出每一种解法

13、的特点吗? ? 方程的左边是完全平方式方程的左边是完全平方式, ,右边是非右边是非 负数负数; ;即形如即形如x x2 2=a=a(a0)(a0) 1212 xa,xaxa,xa 1. 1.化化1: 1:把二次项系数化为把二次项系数化为1 1; ; 2.2.移项移项: :把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边; ; 3.3.配方配方: :方程两边同加方程两边同加一次项系数一次项系数 一半的平方一半的平方; ; 4.4.变形变形: :化成化成 5.5.开平方开平方，求解求解 ( (x xm m ) )a a+ += = 2 2 “配方法配方法”解方程的基本步骤解方程的基本步骤 一除、二移、

14、三配、四化、五解一除、二移、三配、四化、五解. . 用用公式法公式法解一元二次方程的解一元二次方程的前提前提是是: : 1. 1.必需是一般形式的一元二次方程必需是一般形式的一元二次方程: : ax ax2 2+bx+c=0(a0).+bx+c=0(a0). 2.b2.b2 2-4ac0.-4ac0. . .0 04 4a ac cb b. . 2 2a a 4 4a ac cb bb b x x 2 2 2 2 1.1.用因式分解法的用因式分解法的条件条件是是: :方程左边能够方程左边能够 分解分解, ,而右边等于零而右边等于零; ; 2.2.理论理论依据依据是是: :如果两个因式的积等于零

15、如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零那么至少有一个因式等于零. . 因式分解法解一元二次方程的一般因式分解法解一元二次方程的一般步骤步骤: : 一移一移-方程的右边方程的右边=0;=0; 二分二分-方程的左边因式分解方程的左边因式分解; ; 三化三化-方程化为两个一元一次方程方程化为两个一元一次方程; ; 四解四解-写出方程两个解写出方程两个解; ; 请用四种方法解下列方程请用四种方法解下列方程: : 4(x 4(x1)1)2 2 = (2x = (2x5)5)2 2 先考虑开平方法先考虑开平方法, , 再用因式分解法再用因式分解法; ; 最后才用公式法和配方法最后才用公式法和配方

16、法; ; 3.3.公式法公式法： 2 2 1.22 2.530 按按要要求求解解下下列列方方程程： 因因式式分分解解法法： 3 3 配配方方法法： 2 2 xx x xx 2 11 2112 2 xx yyy 总结：方程中有括号时，应总结：方程中有括号时，应先用整体思想先用整体思想考虑有没考虑有没 有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括 号并整理为一般形式再选取合理的方法。号并整理为一般形式再选取合理的方法。 x x2 2-3x+1=0 -3x+1=0 3x 3x2 2-1=0 -1=0 -3t -3t2 2+t=0 +t=0 x x2 2-4

17、x=2 -4x=2 2x 2x2 2x=0 x=0 5(m+2) 5(m+2)2 2=8=8 3y 3y2 2-y-1=0 -y-1=0 2x 2x2 2+4x-1=0 +4x-1=0 (x-2) (x-2)2 2=2(x-2)=2(x-2) 适合运用直接开平方法适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法适合运用公式法 ； 适合运用配方法适合运用配方法 . . 一般地，当一元二次方程一次项系数为一般地，当一元二次方程一次项系数为0 0时时 （axax2 2+c=0+c=0），应选用），应选用直接开平方法直接开平方法； 若常数项为若常数项为0 0（ axa

18、x2 2+bx=0+bx=0），应选用），应选用因式分解法；因式分解法； 若一次项系数和常数项都不为若一次项系数和常数项都不为0 (0 (axax2 2+bx+c=0+bx+c=0），）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法公式法； 不过当二次项系数是不过当二次项系数是1 1，且一次项系数是偶数时，且一次项系数是偶数时， 用配方法也较简单。用配方法也较简单。 我的发现 用最好的方法求解下列方程用最好的方法求解下列方程 1)1)（3x-23x-2）-49=0 -49=

19、0 2 2) )（3x-43x-4）= =（4x-34x-3） 3) 4y=13) 4y=1 y y 3 2 选择适当的方法解下列方程选择适当的方法解下列方程: : x x2 22 21 1) )1 1) )( (x x( (x x8 81 1) )( (3 3x x1 1) )( (2 2x x7 7 8 8 4 49 9 7 7) )x x( (2 2x x6 6 2 2x x7 7) )x x( (3 3x x5 5 9 9x x2 2) )( (x x4 4 4 4x x1 13 3x x3 3 2 2x x5 5x x2 2 1 1x x 2 25 5 1 16 6 1 1 2 22

20、 2 2 22 22 2 2 22 2 选用适当的方法解一元二次方程选用适当的方法解一元二次方程 1.解一元二次方程的方法有：解一元二次方程的方法有： 因式分解法因式分解法 直接开平方法直接开平方法 公式法公式法 配方法配方法 5x5x2 2-3 x=0 -3 x=0 3x 3x2 2-2=0 -2=0 x x2 2-4x=6 -4x=6 2x 2x2 2-x-3=0-x-3=0 2x 2x2 2+7x-7=0+7x-7=0 2 2.引例：给下列方程选择较简便的方法引例：给下列方程选择较简便的方法 （运用因式分解法）（运用因式分解法） （运用直接开平方法）（运用直接开平方法） （运用配方法）（

21、运用配方法） （运用公式法）（运用公式法） （运用公式法）（运用公式法） （方程一边是（方程一边是0，另一边整式容易因式分解），另一边整式容易因式分解） （ ( )( )2 2=C C0=C C0 ） (化方程为一般式）化方程为一般式） （二次项系数为（二次项系数为1，而一次项系为偶数），而一次项系为偶数） 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能 否应用否应用“直接开平方法直接开平方法”、“因式分解法因式分解法”等简单方法，等简单方法， 若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法） 2、用适当方法解下列方程、用适当方法解下列方程 -5x-5x2 2-7x+6=0-7x+6=0 2x 2x2 2+7x-4=0+7x-4=0 4(t+2 ) 4(t+2 )2 2=3=3 x x2 2+2x-9999