[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]四川省专升本高等数学模拟2

1、专升本(地方)考试密押题库与答案解析四川省专升本高等数学模拟2专升本(地方)考试密押题库与答案解析四川省专升本高等数学模拟2四川省专升本高等数学模拟2一、单项选择题问题:1. 当x0时，与1-cosx比较，可得_ A是较1-cosx高阶的无穷小量 B是较1-cosx低阶的无穷小量 C号与1-cosx是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量 D与1-cosx是等价无穷小量 答案:B解析 因为，所以是1-cosx的低阶无穷小量故选B问题:2. 设函数，在x=0处连续，则a等于_ A2 B C1 D-2 答案:C解析 由于，f(x)在点x=0连续，因此，故a=1，应选C问题:3. 设y=f(x)在(a，b

2、)内有二阶导数，且f(x)0，则曲线y=f(x)在(a，b)内_A.凹B.凸C.凹凸性不可确定D.单调减少答案:A解析 由于y=f(x)在(a，b)区间内有f(x)0，可知曲线y=f(x)在(a，b)内为凹的，因此选A问题:4. 等于_ A B C-cotx+C Dcotx+C 答案:C解析 由可知应选C问题:5. 设有直线，则该直线_A.过原点且垂直于x轴B.过原点且垂直于y轴C.过原点且垂直于z轴D.不过原点也不垂直于坐标轴答案:B解析 将原点坐标(0，0，0)代入方程，等式成立，则直线过原点；由于所给直线的方向向量S=(1，0，-2)，而y轴正方向上的单位向量j=(0，1，0)，sj=1

3、0+01+(-2)0=0因此sj，即所给直线与y轴垂直故选B问题:6. 设z=x2y2+3x，则_A.2xy2+2x2y+3B.4xy2+3C.2xy2+3D.2xy2+2x2y答案:A解析 由于x=x2y2+3x，所以因此问题:7. 设区域D：x2+y2a2(a0)，y0，则化为极坐标系下的二重积分的表达式为_ A B C D 答案:B解析 因为D：x2+y2a2(a0)，y0，所以令且0ra，0，则问题:8. 幂级数在点x=3处收敛，则级数_A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与an有关答案:A解析 因为在x=3处收敛，即，所以由常数级数中几何级数，知是绝对收敛的故选A问题:9. 已

4、知y1=ex，y2=xex为微分方程y+py+qy=0的解，则_A.p=-2，q=1B.p=-1，q=1C.p=3，q=2D.p，q不能确定答案:A解析 由y1=ex，y2=xex知，微分方程y+py+qy=0的特征方程r2+pr+q=0的解是两个相等的实根1=2=1，故p=-2，q=1问题:10. 设A为3阶矩阵，|A|=l，则|-2AT|=_A.-8B.-2C.2D.8答案:A解析 |-2AT|(-2)3|AT|=-8|A|=-8，故选择A二、填空题问题:1. 设曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，则该切线方程为_答案:y=f(1)解析 因为曲线y=f(x)在(1，f(1

5、)处的切线平行于x轴，所以f(1)=0，即斜率k=0，则此处的切线方程为y-f(1)=0(x-1)=0，即y=f(1)问题:2. _答案:1-e-1解析 解法一 利用凑微分法 解法二 利用定积分换元法 设t=-x，则dx=-dt当x=0时，t=0；当x=1时，t=-1，因此 问题:3. 直线l：，的方向向量为_答案:(-2，1，2)解析 直线l的方向向量为 问题:4. 若级数收敛于s，则收敛于_答案:s-u1解析 因为而收敛于s，则收敛于s-u1问题:5. 设矩阵，且秩(A)=3，则k=_答案:-3解析 由|A|=0入手求k的值因为，所以由|A|=0得k=1和-3当k=1时，它的秩为1，不合题

6、意；当k=-3时，由于|A|有不为零的三阶子式，所以r(A)=3，因此k=-3三、计算题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)问题:1. 已知由方程x2+y2=e确定函数y=y(x)，求答案:解 在x2+y2=e两侧关于x求导数，得2x+2yy=0，也就是，所以问题:2. 计算答案:解 令，x=t2，dx=2tdt 当x=4时，t=2；当x=9时，t=3 则有解析 本题采用凑微分法即，也可采用下面的方法来解 问题:3. 计算答案:解法一 设t=3x，则dt=3dx 解法二 解析 可以利用换元法，也可以利用直接凑微分法求不定积分 问题:4. 已知，求答案:解 由于 而 因此 进而解析 此题可将

7、x=t3+t，y=et直接代入，然后利用一元复合函数求导法，即当然也可采用下面方法 问题:5. 求过点M0(0，2，4)，且与两个平面1，2都平行的直线方程，其中 1：x+y-2z-1=0， 2：x+2y-z+1=0 答案:解 如果直线l平行于1，则平面1的法向量n1必定垂直于直线l的方向向量s同理，若直线l平行于2，则平面2的法向量n2必定满足n2s由向量积的定义可知，取 由于直线l过点M0(0，2，4)，由直线的标准方程可知 为所求直线方程解析 本题考查直线方程的求解据题意可求出直线的方向向量，进而求出直线的点向式方程 问题:6. 求y-2y=2x的通解答案:解 y-2y=2x为二阶常系数

8、非齐次线性微分方程，与之相对应的齐次线性微分方程为y-2y=0 特征方程为r2-2r=0 特征根为r1=0，r2=2 相应齐次微分方程的通解为 而=0为单一特征根，故可设y*=x(Ax+B)为原方程特解，把(y*)=2Ax+B，(y*)=2A代入原方程可得 故为所求通解解析 本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程，求出y-2y=0的通解和y-2y=2x的一个特解即可 问题:7. 判断级数的敛散性答案:解 令，则，由于 故有当，即ae时，该级数收敛；当，即ae时，该级数发散解析 这是个正项级数，用正项级数比值判别法判定即可 问题:8. 解线性方程组答案:解 方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为 它们的

9、秩分别为r(A)=2，r(B)=2，所以方程有无穷多组解因为，所以由方程组的第一个和第二个方程解出x1，x2得 x1=34+11x3，x2=-12-5x3 或写成x1=34+11t，x2=-12-5t，x3=t， 其中t为参数解析 本题考查线性方程组的求解通过对增广矩阵进行初等行变换后，再进行求解即可 四、应用题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)问题:1. 欲围成一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元问场地的两边各为多少米时，才能使所用材料费最少?答案:解 设所围场地正面长为x，另一边为y，则xy=150，从而设四面围墙高度相同，都是

10、h，则四面围墙所使用的材料总费用为 则 令f(x)=0，得驻点x1=10，x2=-10(舍去) 由于驻点唯一，由实际意义可知最小值存在，因此当正面长为10米，侧面长为15米时所用材料费最少解析 先用其四个面的面积乘以相应的单位面积的造价，求和写出总费用函数f(x)，然后用求一元函数y=f(x)最值法即可得解 问题:2. 求由曲线y=2-x2，y=x(x0)与直线x=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积答案:解 由平面图形axb，0yy(x)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积为 画出平面图形的草图(如图所示)，则所求体积为0x1，0y2-x2所围成的平面图形绕x轴旋转

11、一周所生成的旋转体体积减去0x1，0yx所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积 当x0时，由得 解析 就一般情况而言，如果有两条曲线y=f(x)，y=g(x)(假设f(x)g(x)与x=a，x=b(ab)所围成的平面绕x轴旋转一周，则其所生成的旋转体的体积公式为： 五、证明题(本题10分)问题:1. 试证：|arctanb-arctana|b-a|答案:证明 对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系因此可以设y=f(x)=arctanx，不妨设ab，则y=arctanx在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导进而可知，y=arctanx在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，因此必