轨迹方程求解常用方法

1、圆锥曲线补充(1) 轨迹方程求解常用方法一.定义法如果动点p的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定 义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。熟悉 一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。(1) 椭圆：到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)(2) 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)(3) 抛物线：到定点与定直线距离相等。例1 一动圆与圆o x2 y2 1外切，而与圆c： x2 y2 6x 8 0内切，那么动圆的圆心m的轨迹是：a:抛物线b:圆c:椭圆d:双曲线一支【解答】令动圆半径为r,则有1mo

2、 1 r 1 ,则|mo|-|mc|=2 ,满足双曲线定义。故选d= |mc| r 1例2 已知 abc的顶点a, b的坐标分别为(-4 , 0) , (4, 0) , c为动点，且满足 一. .5 一，”、sin b sin a -sin c,求点 c的轨迹。45 .一 .【斛析】由sin b sin a 一sinc,可知b a45 c 10,即 | ac |4|bc | 10 ,满足椭2圆的定义。令椭圆方程为j 2a241 ,则a12b5,c4b 3,则轨迹方程为2x255),图形为椭圆(不含左，右顶点)1,则点m的轨迹方程为练习：1.点m到点f (4, 0)的距离比它到直线的距离小【解答

3、】：依题意，点m到点f (4, 0)的距离与它到直线的距离相等。则点 m的轨迹 是以f (4, 0)为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。2.已知 abc中， a、 b、 c的对边分别为a、b、c,若a,c,b依次构成等差数列，且a c b, ab 2 ,求顶点c的轨迹方程.解：如右图，以直线 ab为x轴，线段ab的中点为原点建立直角坐标系.由题意，a,c,b构成等差数列，2c a b,即|ca | |cb 121ab | 4 ,又cb ca , c的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，22a 2,c 1, b $3,故c的轨迹方程为 y 1( x 0,x2).43二.直接法如果动点p的运动

4、规律满足的等量关系易于建立，则可以用点p的坐标(x, y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。(有时要借助相关图形的几何性质)uuu uuu 2例3 已知点a( 2,0) b(3,0),动点p(x, y)满足pa pb x2 ,则点p的轨迹是()a.圆 b .椭圆c.双曲线 d.抛物线解析：由题知 pa ( 2 x, y) , pb (3 x, y),ulu uuu 2222由 pa pb x ,得(2 x)(3 x) y x ,即 y x 6,：p点轨迹为抛物线.故选d.例4线段ab的长等于2a,两个端点a和b分别在x轴和y轴上滑 动，求ab中点p的轨迹方程？解设m点的坐标为 (x, y),

5、在直角三角形aob中，1 _ 1om= ab 2a a,2 2 22222x y a,x y am点的轨迹是以 。为圆心，a为半径的圆周.例5 (几何性质)过点 p (2, 4)作两条互相垂直的直线 l 1, 12,若l i交x轴于a点，l 2交 y轴于b点，求线段ab的中点m的轨迹方程。1,i mp i 31abi解：设 m (x, y),连结 mp，则 a (2x, 0), b (0, 2y),|1，l2,pab为直角三角形，由直角三角形的性质j(x 2)2 (y 4)2 ；d(2x)2 (2y)2化简，得x+2y-5=0,此即m的轨迹方程。i pa i 一练习：1.动点p (x,y)到两定点a (3, 0)和b (3, 0)的距离的比等于 2 (即j1 2),|pb|求动点p的轨迹方程？【解答】. |pa|=(x 3)2 y2,|pb|