全国卷1理科数学试题和答案

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国i卷）理科数学注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1 .已知集合a xx 1 , b x3x 1 ,则（）a. ai b xx 0b. au b rc. au b x x 1d. ai b【答案】

2、a2.如图，正方形 abcd内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是（）21a.b.c.d.3.设有下面四个命题（）p1 ：若复数z满足1 r ,则z r ;zp2 :若复数z满足z2 r ,则z r ；p3 :若复数z , z2满足zk r ,则4 z2 ;p4 :若复数z r ,则z r -a . p1 , p3b. p1 , p4【答案】b【解析】c.p2 , p3d. p2 , p44.记a为等差数列a. 1【答案】can的前n项和，若a4 a5 24, 0 48,则 an的公差为（）

3、b. 2c. 4d. 85.函数f x在 ，单调递减，且为奇函数.x的取值范围是（）a.2, 2b.1,1【答案】d1 6 .6.1铲1 x展开式中x2的系数为a. 15b. 20【答案】c.若f 11,则满足c. 0, 4c. 30114 且 nn ,即n出现在第13组之后12nn第n组的和为=-2n 11 2n组总共的和为2 1 2n1 22n 2 nn 1 n项的和2k 1应与2n互为相反若要使前n项和为2的整数哥，则 n数k*即 21 2 n k n , n 14 k log 2 n 3一 n 29, k 529 1 2925 440r2b故选a二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，

4、共20分。 rrrr12 .已知向量a , b的夹角为60 , a 2, b 1,则a【答案】2.3r r 2【解析】a 2 b2(a 2b)r 2 r uu a 2 a 2b cos60r 2b22 2224 4 4 12 r umr a 2b 瘀 2v3x 2y 113.设x, y满足约束条件2x y 1 ,则z 3x 2y的最小值为 x y 0x 2y 1不等式组 2x y1表示的平面区域如图所示x y 0由 z 3x 2y得 y 2x 士， 22求z的最小值，即求直线 y 3x三的纵截距的最大值22当直线y 3x三过图中点a时，纵截距最大 222x y 1由解得a点坐标为（1,1）,此

5、时z 3 （ 1） 2 15x 2y 122 x ya,以a为圆心，b为半径作圆a,man 60，则c的离心率为14.已知双曲线c: t 当，（a 0, b 0）的右顶点为 a b圆a与双曲线c的一条渐近线交于 m , n两点，若3【解析】如图,oa a, anman 600p 7ioai2 ipa2 ja2 尹am b . ap b , 2凹opbcoa ,解得 a2 3b2卜 公b223 2-b415 .如图，圆形纸片的圆心为 o,半径为5cm,该纸片上的等边三角形 abc的中心为o, d、e、f为元。上的点，dbc, eca, fab分别是一 bc , ca , ab为底边 的等腰三角形

6、，沿虚线剪开后，分别以bc , ca, ab为折痕折起 adbc, aeca, fab,使得d, e, f重合，得到三棱锥.当 4abc的边长变化时，所得三棱锥体 积（单位： cm3）的最大值为 .【答案】4 15【解析】 由题，连接od ,交bc与点g ,由题，od bcog bc ,即og的长度与bc的长度或成正比 6设 og x ,贝u bc 26x, dg 5 x三棱锥的高 h . dg2og25 10x x2x2510xsa abc 2 3 3x - 3 3x2 2则v saabc h3x2 25 10x = 3 25x410x53解答题：共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演

7、算步骤。 第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。a216 . 4abc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c,已知4abc的面积为 3sina(1)求 sin bsin c ;(2)若 6cosbcosc 1, a 3 ,求 abc 的周长.本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用(1) ; aabc 面积 s.且 s -bcsin a3sina 2:-bcsina3sin a 2232 aa -bcsin a2222,.由正弦th理得 sin a sin bsin csin a ,

8、 22 由 sin a 0得 sin bsin c .3 _2_1 (2)由(1)得 sin bsin c , cosbcosc 36.abc n:cos a cos 兀 b ccos b c sin bsinccosb cosc又a 0,汽a 60 , sin a , cosa 22由余弦定理得a2b2c2 bc9由正弦定理得basin b ,casin csin asin a2abc 2 sin bsinc 8sin a由得b c而：a b c 3 园,即aabc周长为3 j3317.(12分)如图，在四棱锥 p abcd中，ab / cd中，且 bap cdp 90(1)证明：平面 pa

9、b 平面pad ;(2)若pa pd ab dc , apd 90 ,求二面角 a pb c的余弦值.【解析】(1)证明：bapcdp 90 pa ab , 又 ab ii cdpdcdpdab又pd i papd、pa 平面pad ab 平面 pad ,又 ab 平面 pab，平面pab 平面pad(2)取ad中点o , bc中点e ,连接po ab 旦 cd，四边形abcd为平行四边形d i ,口一yoeb oe 二 ab由（1）知，ab1 oe 平面 pad平面pad，又po、ad 平面padoe po , oead又pa pd ,po adpo、oe、ad两两垂直以o为坐标原点，建立如

10、图所示的空间直角坐标系o xyz设pauur pd2 , d 亚，0,0、b v2,2,0、p 0_uuu _反 0,短、pbj2 ,2_ uur 1及x的数学期望；(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在3 ,3 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性：（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.2610.12 9.969.969.9110.13 10.021610.01 9.929.9810.049.22 10.04 10.059.95经计算得x x 9.97i 1抽取的

11、第i个零件的尺寸,1,16i1,2,21xi x1, 16用样本平均数x作为的估计值？，用样本标准差值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除 的数据估计 和（精确到0.01）.附：若随机变量z服从正态分布0.997 416 0.9592 ,七0凝0.09-【解析】（1）由题可知尺寸落在由题可知(i16x2 16x20.212 ,其中 xi 为i 1s作为的估计值？，利用估计3?, ? 3?之外的数据，用剩下0.997 4 .3 之内的概率为0.9974,3 之外的概率为0.0026.0c1t6 1 0.9974 0.9974161 p x 01 0.9592x b 16, 0.002616

12、0.0026 0.0416）尺寸落在由正态分布知尺寸落在因此上述监控生产过程的方法合理.(ii )39.97 30.212 9.334落在9.970.212 10.6069.33410.6060.95920.0408之外的概率为0.0026,3 之外为小概率事件,q 9.229.33410.606 ,需对当天的生产过程检查.因此剔除9.22剔除数据之后:9.9716 9.221510.029.9510.029.92210.02210.12 10.0229.98 10.029.9610.04210.02210.029.96210.02210.0110.13210.0210.0210.0210.0

13、4 10.0210.26 10.0210.0510.029.91210.02210.02219.95 10.02 1519.(12 分)已知椭圆0.0080.008 0.092 1 a b21, 1 , p2 0, 1p41,央2中恰有三点在椭圆c上.(1)求c的方程；(2)设直线l不经过p2点且与c相交于a、b两点，若直线 ra与直线p2b的斜率的 和为1,证明：l过定点.【解析】(1)根据椭圆对称性，必过 p3、p4又p4横坐标为1 ,椭圆必不过p ,所以过p2 , p3 , r三点将p20, 1，p31咚代入椭圆方程得34b2.椭圆c的方程为:(2)4当斜率不存在时,l：x m,am,y

14、a,bm,vakp2akp2bva 1 va得m 2 ,此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.当斜率存在时，设l：y kx bb 14b2 4y kx b2 2联立 22，整理得1 4 k x 8kbxx28kb 8k 8kb 8kb1 4k24b2 41 4k2 4y2 4 0x1x28kb1 4k2 x x24b2 41 4 k2kx， bv11y21x2 kbx2x1kp2 akp2bkx2x x28k b 14 b 1 b 11,又 b 1b 2k 1 ,此时 64k,存在k使得 0成立.，直线l的方程为y kx 2k 1当x 2时，y 1所以l过定点2, 1 .20 .(12

15、 分)已知函数f x ae2x a 2 ex x .(1)讨论f x的单调性；(2)若f x有两个零点，求a的取值范围.【解析】(1)由于f xae2x2xx 2ae a 2xx1 ae 1 2e 1当a 0 时，aex 1在r上单调递减0,2ex 1 0 .从而f x 0恒成立.当a 0时，令f xx,ln aln aln a ,f x0f x单调减极小值单调增综上，当a 0时，f （x）在r上单调递减;0,从而 aex 1 0 ,得 x ln a .(2)当a当a 0时，f （x）在（，lna）上单调递减，在（lna,）上单调递增 由（1）知，0时,f x在r上单调减，故f x在r上至多一

16、个零点，不满足条件.0时,fmin f ln aln a增，而g1a1 a0in a.故当0,上单调1 时，g a0.当a1时ga 0.当若a 1,fminin a g a0,故f x 0恒成立，从而x无零点,不满足条件.若a 1,则fminf x0仅有一个实根ln a不满足条件.fmin1, 八ln a 0 a注意到in aln a上有一个实根，而又ln1 lna叫1)ln eln 3 aln a个实根.ln aln3 ln -a上有一个实根.ln a上单调减，在ln a单调增,r上至多两3ln a 及 ln a , ln 一 a1上均至少有一个实数根，故上恰有两个实根.综上，0 a 1 .

17、（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。21 .选彳4-4：坐标系与参考方程x 3cos ,在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为（为参数），直线l的参数y sin ,x a 4t,方程为（t为参数）.y 1 t,（1）若a 1,求c与l的交点坐标;（2）若c上的点到l距离的最大值为 而，求a .【解析】（1）a 1时，直线l的方程为x 4y 3 0 .tt t/、1x2曲线c的标准方程是y21 ,212524 ，9x 4y 3 0联立方程x22，解得:y 125则c与l交点坐标是3, 0和212425 25(2)直线l 一般式方程是x 4y 4 a 0.设曲线c上点p 3cos , sin .门 句，口匚+13cos4sin 4 al5sin4 a则p至1 l距离d = ,其中tan布后依题意得：dmax ，解得a 16或a 822.选彳4-5:不等式选讲已知函数 fxx2ax4,gx x1 x1.(1)当a 1时，求不等式f x g x的解集；(2)若不等式f x g x的解集包含1 , 1 ,求a的取值范围.21【斛析】(1)当a 1时，f x x x 4,是开口向下，对称轴 x -的二次函数.22x, x 1g x x 1 x 12,1w x