电磁场理论第6章：平面波

1、第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 第6章 平面电磁波 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 6.1 无耗媒质中的平面电磁波无耗媒质中的平面电磁波 无耗媒质意味着描述媒质电磁特性的电磁参数满足如下条 件：=0, 、为实常数。无源意味着无外加场源，即=0， J=0。 6.1.1 无耗媒质中齐次波动方程的均匀平面波解无耗媒质中齐次波动方程的均匀平面波解 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 tu tu H H E E 式中 /1u 一、在时域下的解 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 图 6-1 均匀平面电磁波的传播 均匀平面电磁波均匀平面电磁波指电磁场值仅沿传播方向发生

2、变 化,在垂直于传播方向的平面上其值不变。现选传播方 向为轴，如图所示均匀平面电磁波沿+z方向传播。 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 0 ),(1),( 2 2 22 2 t tzE z tzE xx 此方程的通解为 )()(),( 21 tzftzftzEx (6-4) 0, 0, 0, 0 y H x H y E x E 电场强度E和磁场强度H只是直角坐标z和时间t的函数。设电场沿 轴方向，于是 ),(tzEE xxxx eeE 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 0)( )( 2 2 2 zEk dz zEd x x jkzjkz x eEeEzE 00 )( 二、在复数

3、域下的解 考虑无反射波情况，即令0 0 E 有： jkz xxx eEzE 0 )(eeE 入射波反射波 k其中 0 22 EEk 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 将上式代入麦克斯韦方程E=-jH，得到均匀平面波的 磁场强度： z Ej zE zyx jj x y x zyx e eee EH 00)( )( 1 )( 0 0 jkz y jkz y eE eEjk j e eH k 式中： 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 具有阻抗的量纲，单位为欧姆()，它的值与媒质参数有关， 因此它被称为媒质的波阻抗媒质的波阻抗(或本征阻抗)。 真空中的介电常数 和磁导率为 mHmF/1

4、04,/10 36 1 7 0 9 0 377120 0 0 0 有： H E 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 6.1.2 均匀平面波的传播特性均匀平面波的传播特性 jkz xxx eEE 0 eeE jkz y jkz yyy eHe E H 0 0 eeeH )cos()cos( Re),( )cos(Re),( 0 0 )( 0 0 )( 0 kztHkzt E e E tz kztEeEtz yy kztj y x kztj x ee eH eeE 瞬时值 复矢量 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 图 7-3 理想介质中均匀平面电磁波的电场和磁场空间分布 第6章 平面

5、电磁波 周晓为于2015修订 正弦均匀平面电磁波的等相位面方程为 （常数）.constkzt 1 k p 空间相位kz变化2所经过的距离称为波长，以表示。按此 定义有k=2，所以 k 2 2 k dt dz p 定义相速 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 时间相位t变化2所经历的时间称为周期，以T表示。而一 秒内相位变化2的次数称为频率，以f表示。 由T=2得 2 1 T f f p 平均坡印廷矢量为 ： 2 )() 2 1 Re * 2 1 Re 2 00 0 E e E eE z jkz y jkz x av ee(e HES 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 平均功率密度

6、为常数，表明通过传播方向垂直的所有平面上， 每单位面积通过的平均功率都相同，电磁波在传播过程中没有能没有能 量损失量损失(沿传播方向电磁波无衰减)。因此理想媒质中的均匀平面电 磁波是等振幅波。 )()(cos 2 1 2 1 )( )(cos 2 1 2 1 )( 22 0 2 22 0 2 twkztHHtw kztEEtw em e 电场能量密度和磁场能量密度的瞬时值为 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 例例7-1 已知无界理想媒质(=90, =0，=0)中正弦均匀平面 电磁波的频率f=108 Hz， 电场强度 3 Ee 4e 3 jkzj jkz xy ee 试求： (1) 均匀

7、平面电磁波的相速度vp、波长、相移常数k和波阻抗； (2) 电场强度和磁场强度的瞬时值表达式； (3) 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 解解： (1) 8 8 0 13 10 10 (/ ) 9 1( ) 2 (/) 1 12040 ( ) 9 p rr p p r r c vm s v m f krad m v u 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 (2) 3 1 HE(4e 3)e jkzj jkz yx j ee 3 2102cos3)2102cos(4 Re)( 88 ztzt et yx tj ee EE ztzt

8、et yx tj 2102cos 10 1 ) 3 2102cos( 40 3 Re)( 88 ee HH 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 （3）复坡印廷矢量： *33 2 1131 EHe 4e 3ee 224010 5 e(/) 16 j kzj kz jkzjkz xyxy z eeee W m 坡印延矢量的时间平均值： *2 15 SRee(/) 216 avz EHW m 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率： 5 1() 16 avav PSW 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 6.2 导电媒质中的平面电磁波导电媒质中的平面电磁波 6.2.1 导电媒质中

9、平面电磁波的传播特性导电媒质中平面电磁波的传播特性 无激励源、无界的导电媒质中麦克斯韦方程组为 0 0 E H HE EEH j j (7-22a) EJ 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 式(7-22a)可以写为 EEH c jjj 其中： jj c 1 经推导可得如下波动方程： 0 0 22 22 HH EE 其中2=2c 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 直角坐标系中，对于沿+z方向传播的均匀平面电磁波，如 果假定电场强度只有x分量Ex，那么上方程的一个解为 ： zj xx eEE 0 eeE 令=-j，则E=exE0e-j (-j)z=exE0e-ze-jz。显然电场强

10、度的复振幅以因 子e-z随z的增大而减小，表明是说明每单位距离衰减程度的常数， 称为电磁波的衰减常数衰减常数。表示每单位距离落后的相位，称为相位相位 常数常数。=-j称为传播常数传播常数。因此电场强度的瞬时值可以表示为 )cos(),( 0 zteEtz az x eE 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 因为 c 22 所以 jja 22 )( 故有 jaja 222 2 从而有 2 222 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 由以上两方程解得 1)(1 2 1)(1 2 2 2 zjaz c yy ee EEj 0 eeEH c 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 其中：

11、 j cc ej j 2 1 1 称为导电媒质的波阻抗导电媒质的波阻抗， 它是一个复数。 式(6-31)中， (6-31) 4 0arctan 2 1 1 4 1 2 c c H E 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 导电媒质的本征阻抗是一个复数，其模小于理想介质的本征 阻抗，幅角在0/4之间变化，具有感性相角。这意味着电场强 度和磁场强度在空间上虽然仍互相垂直，但在时间上有相位差相位差， 二者不再同相，电场强度相位超前磁场强度相位。这样磁场强度 可以重写为 jzjaz c y zjaz c y eee E ee E 00 eeH 其瞬时值为 )cos(),( 0 zte E tz a

12、z c y eH 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 图 7-5 导电媒质中平面电磁波的电磁场 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 导电媒质中均匀平面电磁波的相速为 1 11 21 2 1 2 dt dz v p 而波长 f p 2 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 6.2.2 趋肤深度和表面电阻趋肤深度和表面电阻 通常，按/的比值(导电媒质中传导电流密度振幅与位移 电流密度振幅之比|E|/|jE|)把媒质分为三类媒质分为三类： 1:; 1:; 1: 良导体不良导体电介质 (1)电介质(低损耗媒质)。例如聚四氟乙烯、聚苯乙烯和石英等 材料，在高频和超高频范围内均有 , 因此

13、，电介质中均 匀平面电磁波的相关参数可以近似为 2 10 , 2 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 （2）良导体中。有关表达式可以用泰勒级数简化并近似表达为 4 )1 ( 2 2 2, 2 , 2 j c p ej 高频率电磁波传入良导体后，由于良导体的电导率一般在107 S/m量级，所以电磁波在良导体中衰减极快。 电磁波往往在微米 量级的距离内就衰减得近于零了。因此高频电磁场只能存在于良 导体表面的一个薄层内， 这种现象称为集肤效应集肤效应(Skin Effect)。 电磁波场强振幅衰减到表面处的电磁波场强振幅衰减到表面处的1/e的深度，称为的深度，称为趋肤深度趋肤深度(穿透穿透 深

14、度深度)， 以表示。 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 因为 e EeE 1 00 所以 f 121 )(m 可见导电性能越好(电导率越大)，工作频率越高，则趋肤 深度越小。例如银的电导率=6.15 107 S/m，磁导率0=410-7 H/m ff 0642. 0 15. 642 2 )(m （例：当f=3Ghz时，趋肤深度为1.17微米） 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 图 7-6 平面导体 表面电阻表面电阻 1 S R =1 =1 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 从电路的观点看，此电流通过表面电阻所损耗的功率为 SSc RJP 2 2 1 设想面电流JS均匀地

15、集中在导体表面厚度内，此时导体 的直流电阻所吸收的功率就等于电磁波垂直传入导体所耗散 的热损耗功率。 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 6.3 电磁波的极化电磁波的极化 6.3.1 极化的概念极化的概念 电场强度矢量的两个分量的瞬时值为 )cos( )cos( yymy xxmx kztEE kztEE (6-41) 极化：考察电场强度矢量极化：考察电场强度矢量E的矢端轨迹的矢端轨迹 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 6.3.2 平面电磁波的极化形式平面电磁波的极化形式 1. 线极化线极化 设Ex和Ey同相，即x=y=0。为了讨论方便，在空间任取一固 定点z=0，则式(6-41

16、)变为 )cos( )cos( 0 0 tEE tEE ymy xmx 合成电磁波的电场强度矢量的模为 )cos( 0 2222 tEEEEE ymxmyx 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 合成电磁波的电场强度矢量与x轴正向夹角的正切为 常数 xm ym x y E E E E atan 这时合成平面电磁波的电场强度矢量电场强度矢量E的矢端轨迹的矢端轨迹是位于 二、 四象限的一条直线，故也称为线极化，如图6-7(b)所示。 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 图 7-7 线极化波 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 2. 圆极化圆极化 设 , 0, 2 ,zEEE yxm

17、ymxm 那么式(6-41)变为 )sin() 2 cos( )cos( xmxmy xmx tEtEE tEE 消去t得 1 22 m y m x E E E E )( )cos( )sin( arctan, 22 x x x myx t t t EEEE 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 图 7-8 圆极化波 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 3. 椭圆极化椭圆极化 更一般的情况是Ex和Ey及x和y之间为任意关系。在z=0处， 消去式(6 - 41)中的t，得 2 2 2 sincos2 ym y ym y xm x xm x E E E E E E E E 为椭圆方程 第

18、6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 图 7-9 椭圆极化 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 6.3.3 电磁波极化特性的工程应用电磁波极化特性的工程应用 线极化与圆极化的应用举例: # 电视接收天线 #调频电台天线 #导弹的遥控 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 6.4 电磁波的色散和群速电磁波的色散和群速 6.4.1 色散现象与群速色散现象与群速 相速为 p 0000 ,和和 假定色散媒质中同时存在着两个电场强度方向相同、 振幅 相同、频率不同，向z方向传播的正弦线极化电磁波， 它们的角 频率和相位常数分别为 色散现象 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 且有 00

19、, 电场强度表达式为 )()cos( )()cos( 0002 0001 ztEE ztEE 合成电磁波的场强表达式为 )cos()cos(2 )()cos( )()cos()( 000 000 000 ztztE ztE ztEtE 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 图 7-10 相速与群速 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 群速群速(Group Velocity)vg的定义是包络波上某一恒定相位点推 进的速度，它表示了电磁波能量的传播速度。令调制波的相位为 常数： .constzt dt dz g 当0时，上式可写为 d d g 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 *

20、6.4.2 群速与相速的关系群速与相速的关系 g p p p p p p g v d dv v v d dv v d vd d d )( d dv v v v p p p g 1 (1) ，则vgvp，这类色散称为非正常色散。 0 d dv p 0 d dv p 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 *6.5 均匀平面电磁波向平面分界面的垂直入射均匀平面电磁波向平面分界面的垂直入射 6.5.1 平面电磁波向理想导体的垂直入射平面电磁波向理想导体的垂直入射 图 7-11 垂直入射到理想导体上的平面电磁波 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 设入射电磁波的电场和磁场分别依次为 zjk i

21、yi zjk ixi eE eE 1 1 0 1 0 1 eH eE 式中Ei0为z=0处入射波(Incident Wave)的振幅，k1和1为媒质1的相 位常数和波阻抗，且有 1 1 1 111 k 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 为使分界面上的切向边界条件在分界面上任意点、任何时 刻均可能满足， 设反射与入射波有相同的频率和极化，且沿-ez 方向传播。于是反射波(Reflected Wave)的电场和磁场可分别写 为 zjk ryr zjk rxr eE eE 1 1 0 1 0 1 eH eE 媒质1中总的合成电磁场为 )( 1 )( 11 11 00 1 00 zjk r z

22、jk i zjk r zjk i eEeE eEeE yri1 xri1 eHHH eEEE 设电场方向不 变，则磁场方 向变向！ 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 分界面z=0两侧，电场强度E的切向分量连续，所以 0)()0( 001 ri EE x eE zk E eeE zkjEeeE i zjkzjk i ix zjkzjk ix 1 1 0 0 1 1 1001 cos2)( 1 sin2)( 11 11 yy eeH eeE 区的合成电场和磁场： 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 它们相应的瞬时值为 tzk E etz tzkEetz i y tj i tj cos

23、cos2Re),( sinsin2Re),( 1 1 0 11 1011 eHH eEE x 由于区中无电磁场，在理想导体表面两侧的磁场切向分 量不连续，所以分界面上存在面电流。根据磁场切向分量的边 界条件nH1=JS，得面电流密度为 1 0 0 1 1 0 2 cos2 i z i S E zk E xyz eeeJ 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 .)2 , 1 , 0( 4 ) 12( 2 ) 12( ),( 0),( .)2 , 1 , 0( 2 ),( 0),( 1 1 1 1 1 1 nnznzk tzE tzH nnznzk tzH tzE 或发生在 的最大值 的值等于

24、 或发生在 的最大值 的值等于 任意时刻t, 区的合成电场E1和磁场H1都在距理想导体表面 的某些固定位置处存在零值和最大值： 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 图 7-12 不同瞬间的驻波电场 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 驻波驻波不传输能量，其坡印廷矢量的时间平均值为零！ 0cossin 4 Re 2 1 Re 11 1 2 0 zkzk E j i z * 11av1 eHES 可见没有单向流动的实功率。由式(5-54)可得驻波的坡印廷矢 量的瞬时值（不为零！）： tzk E tztztz i 2sin2sin ),(),(),( 1 1 2 0 z e HES 瞬时值不为零！ 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 *6.5.2 平面电磁波向理想介质的垂直入射平面电磁波向理想介质的垂直入射 图 6-13 垂直入射到理想介质上的平面电磁波 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 区域中只有透射波，其电场和磁场分别为 zjk tyt zjk txt eEeH eEeE 2 2 0 2 0 1 式中Et0为z=0处透射波的振幅，k2和2为媒质2的相位常数和波阻 抗，且有 2 2 2 222 , k 第6章 平面电磁波 周晓为于2015修订 考虑到z=0处分界面磁场强度切向分量连续的边界条件 H1t=H2t，可得 考