用初等变换求逆矩阵及矩阵的秩

1、计算机数学1 计算机数学2 本讲内容：本讲内容： 阵阵、用初等行变换求逆矩、用初等行变换求逆矩1 、矩矩阵阵的的秩秩的的概概念念2 的秩的秩、用初等行变换求矩阵、用初等行变换求矩阵3 计算机数学3 本讲要求：本讲要求： 矩矩阵阵的的方方法法、掌掌握握初初等等行行变变换换求求逆逆1 阵的秩阵的秩、会用初等行变换求矩、会用初等行变换求矩2 重点难点：重点难点： 初等行变换初等行变换 计算机数学4 求求逆逆公公式式 可可逆逆时时，有有且且当当并并 ，可可逆逆的的充充要要条条件件是是矩矩阵阵 A AA0 A A A 1 1 重 点 回 顾 计算机数学5 初初等等变变换换 称称为为矩矩阵阵的的初初等等行

2、行变变换换矩矩阵阵的的以以下下三三种种变变换换， 交交换换矩矩阵阵的的两两行行).1( ),( ji rrji两两行行记记作作：互互换换 的的某某一一行行以以一一个个非非零零的的数数乘乘矩矩阵阵).2( 个个数数加加到到另另一一行行上上把把矩矩阵阵的的某某一一行行乘乘以以一一).3( )( i krik行记作：行记作：乘第乘第数数 )( ij krrkij 倍记作：倍记作：行的行的行加上第行加上第在第在第 计算机数学6 矩矩阵阵的的初初等等列列变变换换。 成成了了上上述述定定义义也也就就相相应应的的变变 ，换换成成把把记记号号中中的的 ，列列换换成成行行如如果果把把定定义义中中的的 cr 。统

3、统称称为为矩矩阵阵的的初初等等变变换换 等等列列变变换换矩矩阵阵的的初初等等行行变变换换和和初初 计算机数学7 矩矩阵阵等等价价 .:BABA BA 等等价价，记记为为与与矩矩阵阵就就称称矩矩阵阵 ，变变成成经经过过有有限限次次初初等等变变换换后后如如果果矩矩阵阵 例如：例如： 10352 381283 9321 3100 8310 9321 与与等价。等价。 计算机数学8 初初等等矩矩阵阵 阶阶初初等等矩矩阵阵。称称为为 到到的的矩矩阵阵，经经过过一一次次初初等等变变换换所所得得阶阶单单位位阵阵 n En :定定理理 ，则则有有：设设 nmijnm aA )( . ).1( Am A 阶阶初

4、初等等矩矩阵阵左左乘乘等等于于用用相相应应的的 得得的的矩矩阵阵，施施行行一一次次初初等等行行变变换换所所对对 . ).2( An A 阶阶初初等等矩矩阵阵右右乘乘等等于于用用相相应应的的 得得的的矩矩阵阵，施施行行一一次次初初等等列列变变换换所所对对 计算机数学9 :定定理理 ：价矩阵价矩阵可以化为下面形式的等可以化为下面形式的等 经过若干次初等变换，经过若干次初等变换，任意矩阵任意矩阵 D aA nmijnm )( 0 0 1 1 D 行行第第 r 列列第第 r )()()( )( rnrmrrm rnrr OO OE 的等价标准形。的等价标准形。称为矩阵称为矩阵矩阵矩阵AD 计算机数学1

5、0 :1推推论论 使使得得：阶阶初初等等矩矩阵阵和和 阶阶初初等等矩矩阵阵存存在在矩矩阵阵对对任任意意 , , 21 21 ts QQQnP PPmAnm OO OE QQAQPPP r ts 2112 1 1 1 2 111 2 1 1 QQQ OO OE PPPA t r s 上上式式又又可可写写为为由由于于初初等等矩矩阵阵都都可可逆逆， 于于是是得得 :2推推论论 . n E An 标标准准形形为为 的的等等价价条条件件是是阶阶方方阵阵可可逆逆的的充充分分必必要要 A可逆，则左边所有矩阵 都可逆，因此D可逆， 故det（D）不等于0. 计算机数学11 阵阵的的乘乘积积。可可以以表表示示为

6、为一一些些初初等等矩矩 是是它它为为可可逆逆的的充充分分必必要要条条件件阶阶矩矩阵阵An 使使得得并并且且存存在在初初等等矩矩阵阵 也也可可逆逆，可可逆逆，那那么么由由定定理理可可得得，如如果果 , 21 1 k GGG AA :定定理理 k GGGA 21 1 AGGGAA k 21 1 于于是是： AGGGE k 21 即即：)1( EGGGA k 21 1 )2( 1 )2( )1( AE EA 化化为为施施以以同同样样的的初初等等行行变变换换式式表表示示对对 ，化化为为施施以以若若干干次次初初等等行行变变换换式式表表示示对对 计算机数学12 ).|( )|()|( 11 AEA EEA

7、 EAEA A ，即即最最终终化化为为矩矩阵阵便便是是 所所化化成成的的，同同时时右右半半边边的的化化成成将将左左半半边边的的 施施行行初初等等行行变变换换，然然后后对对新新矩矩阵阵充充为为 阵阵将将其其扩扩，我我们们用用一一个个同同阶阶单单位位对对于于可可逆逆矩矩阵阵 .)|()|( 1 BABEEA，即即： 初等行变换初等行变换 计算机数学13 。，用初等行变换求，用初等行变换求：已知：已知例题例题 1 343 122 321 1 AA 解：解： 13 12 3 2 rr rr 620 520 321 103 012 001 21 23 rr rr 100 520 201 111 012

8、011 343 122 321 )( 3 EA 100 010 001 计算机数学14 100 010 001 111 3 231 2 5 2 3 )( )1( 2 1 2 3 r r 111 3 231 2 5 2 3 1 A 100 020 001 111 563 231 31 32 2 5 rr rr 计算机数学15 的的逆逆矩矩阵阵。练练习习：求求矩矩阵阵 814 312 201 A 解：解： 814 312 201 )( 3 EA 100 010 001 13 12 4 2 rr rr 010 110 201 104 012 001 32 rr 010 100 201 104 116

9、 001 计算机数学16 )1( 2 2 21 r rr 010 100 001 104 116 2211 32 rr 100 010 001 116 104 2211 116 104 2211 1 A 计算机数学17 阶子式）阶子式）阶子行列式（或阶子行列式（或的一个的一个阵阵 阶行列式，称为矩阶行列式，称为矩不变，组成一个不变，组成一个 的相对位置的相对位置个元素，保持它们原来个元素，保持它们原来 处的处的列，位于这些行列相交列，位于这些行列相交行、行、 中任取中任取的矩阵，在的矩阵，在是一个是一个设设定义定义 kkA k k kk AnmA 2 1 计算机数学18 1013 3122 2

10、111 12 11 103 312 211 一个一个2阶阶 子式子式 一个一个3阶阶 子式子式 例例2:2: 计算机数学19 1013 3122 2111 12 11 103 312 211 一个一个2阶阶 子式子式 一个一个3阶阶 子式子式 12 3 :? ? 问问题题 该该矩矩阵阵有有多多少少个个 阶阶子子式式 多多少少个个 阶阶 子子式式 多多少少个个 阶阶子子式式 . 个个阶阶子子式式共共有有的的矩矩阵阵一一般般的的， k n k m CCkAnm 计算机数学20 . .)( 0 1 02 等等于于零零 并并规规定定零零矩矩阵阵的的秩秩的的秩秩，记记作作称称为为矩矩阵阵 的的最最高高阶

11、阶非非零零子子式式，数数称称为为矩矩阵阵，那那末末于于 ）全全等等阶阶子子式式（如如果果存存在在的的话话，且且所所有有式式 阶阶子子的的中中有有一一个个不不等等于于设设在在矩矩阵阵定定义义 ARA rAD rD kA . )( 子子式式的的最最高高阶阶数数 中中不不等等于于零零的的是是的的秩秩矩矩阵阵AARAnm ，对于对于 T A).()(ARAR T 显显有有 计算机数学21 例例3 3. 174 532 321 的秩的秩求矩阵求矩阵 A 解解 中中，在在 A ，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3 . 0 32 21 ，且且0 A . 2)( AR 计算机数学22 例例4 4 求矩

12、阵求矩阵 的秩。的秩。 p解解 因为因为 所以，矩阵所以，矩阵A A不为零子式的最高阶数至少不为零子式的最高阶数至少 是是2 2。 1013 3122 2111 A 04 22 11 计算机数学23 而而A A的所有的所有4 4个三阶子式均为零，即个三阶子式均为零，即 于是，于是， R R( (A A)=2)=2。 p由定义知，由定义知，如果矩阵如果矩阵A A的秩是的秩是R R，则，则A A至少至少 有一个有一个r r阶子式不为零，而阶子式不为零，而A A的所有高于的所有高于r r 阶的子式均为零。阶的子式均为零。 0 013 122 111 0 113 322 211 0 103 312 2

13、11 0 101 312 211 计算机数学24 定义定义 满足下列两个条件的矩阵称为满足下列两个条件的矩阵称为阶阶 梯形矩阵：梯形矩阵： (1) (1) 如果该矩阵有零行，则它们位于矩如果该矩阵有零行，则它们位于矩 阵的最下方；阵的最下方； (2) (2) 非零行的第非零行的第1 1个不为零的元素的列标个不为零的元素的列标 随着行标的递增而严格增大。随着行标的递增而严格增大。 计算机数学25 下列矩阵都是阶梯形矩阵： 下列矩阵都不是阶梯形矩阵： 00000 32000 10320 52201 A 5000 0300 2101 B 5200 1300 2011 C 010 000 032 D

14、显然，显然，阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数。阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数。 计算机数学26 例例5 5 . 00000 34000 52130 23012 的的秩秩求求矩矩阵阵 B 解解行行，其其非非零零行行有有是是一一个个行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵，3B .4阶阶子子式式全全为为零零的的所所有有B , 0 400 230 312 而而. 3)( BR 计算机数学27 初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. . 例例

15、6 6 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式秩，并求秩，并求 的的求矩阵求矩阵设设 A AA, 41461 35102 16323 05023 阶梯形矩阵：阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行作初等行变换，变成行对对A解解 计算机数学28 41461 35102 16323 05023 A 05023 35102 16323 41461 41 rr 计算机数学29 41461 35102 16323 05023 A 05023 35102 11340 41461 42 41 rr rr 计算机数学30 12812160 1179120 11340 41461 41461 35102 16323 05023 A 42 41 rr rr 14 13 3 2 rr rr 计算机数学31 84000 84000 11340 41461 00000 84000 11340 41461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( AR 23 3rr 24 4rr 34 rr 计算机数学32 ，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An , 0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为 ,)(nAR .,EAEA的的标标准准形形为为单单位位阵阵故故