第三章 圆的基本性质复习

1、圆的基本性质复习课圆的基本性质复习课 浙教版九年数学上册浙教版九年数学上册 dr点点P在圆外在圆外 点和圆的位置关系点和圆的位置关系： r O r O P r P P d d d 知识要点1 1：有两个同心圆，半径分别为和：有两个同心圆，半径分别为和r， 是圆环内一点，则的取值是圆环内一点，则的取值 范围是范围是. O P rOPR 2 2、O的半径为的半径为13cm，圆心，圆心O到直线的距离到直线的距离 OD=5cm在直线上有三点在直线上有三点P,Q,R，且，且PD = 12cm , , QD12cm，则点，则点P在在 ，点，点Q 在在 ，点，点R在在 . . 3 3、一个点到圆的最小距离为

2、一个点到圆的最小距离为4cm4cm，最大距离为，最大距离为 10cm10cm，则该圆的半径是，则该圆的半径是 。 圆上圆上 圆内圆内 圆外圆外 3或或7cm 4、已知、已知RtABC，ACB=90AC=3，BC=4，M是是 AB的中点，以的中点，以C为圆心，以为圆心，以2.5为半径作圆，则点为半径作圆，则点A，B， C，M与圆的位置关系与圆的位置关系 O C A B C90 O C A B ABC是锐角三角形是锐角三角形 O C A B ABC是钝角三角形是钝角三角形 圆的确定圆的确定：不在同一直线上：不在同一直线上 的三点确定一个圆。的三点确定一个圆。 圆的确定圆的确定 O A C B 知识

3、要点2 过三点的圆及外接圆 1.过一点的圆有过一点的圆有_个个 2.过两点的圆有过两点的圆有_个，这些圆的圆心的都在个，这些圆的圆心的都在 _上上. 3.过三点的圆有过三点的圆有_个个 4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接 圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等） 无数无数 无数无数 0或或1 连结着两点的线段的垂直平分线连结着两点的线段的垂直平分线 锐角三角形的外心位于三角形锐角三角形的外心位于三角形内内, , 直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点斜边中

4、点, , 钝角三角形的外心位于三角形钝角三角形的外心位于三角形外外. . A B C O A B C C A B OO 5、三角形的外心、三角形的外心是否一定在三角形的内部？是否一定在三角形的内部？ 圆的轴对称性圆的轴对称性 E D B A 垂径定理：AB是直径 AB CD于E CB=DB AC=AD CE=DE 推论推论: : C C 知识要点3 （2）平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦垂直平分弦 并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧。 （1）平分弦平分弦 的直径的直径垂直于弦垂直于弦， 并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧； （不是直径）（不是

5、直径） 仔细辩一辩仔细辩一辩 判断：判断： 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两 条弧条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） (4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） E D C C A B 1如图如图,已知已知 O的半径的半径OA长为长为 5,弦弦AB的长的长8,OCAB于于C,则则 OC的长为的长为 _. O A B C 3 AC=

6、BC 弦心弦心 距距 半径半径 半弦长半弦长 2、如图，、如图，P为为 O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点，PA AB2，PO5，求，求 O的半径。的半径。 关于弦的问题，常常需关于弦的问题，常常需 要要过圆心作弦心距过圆心作弦心距，这，这 是一条非常重要的是一条非常重要的辅助辅助 线线。 弦心距、半径、半弦长弦心距、半径、半弦长 构成构成直角三角形直角三角形，便将，便将 问题转化为直角三角形问题转化为直角三角形 的问题。的问题。 M A P B O A 1.1.在一个圆中任意引圆的两条直径在一个圆中任意引圆的两条直径, ,顺次连接它们的四个端点顺次连接它们的四个端点, , 组成一个四边

7、形组成一个四边形, ,则这个四边形一定是则这个四边形一定是( )( ) A.A.菱形菱形 B.B.等腰梯形等腰梯形 C.C.正方形正方形 D.D.矩形矩形 D 2.2.如图如图, ,在半径为在半径为5cm5cm的圆中的圆中, ,圆心圆心O O到弦到弦ABAB的距离为的距离为3cm,3cm,则弦则弦 ABAB的长为的长为( )( ) A.4cm B.6cm C.8cm D.10cmA.4cm B.6cm C.8cm D.10cm O AB C B 3.如图如图,AB是是 O的直径的直径,CD为弦为弦,DCAB于于E,则下列结论不一则下列结论不一 定正确的是定正确的是( ) A.COE=DOE B

8、.CE=DE C.OE=BE D.BD=BC 4.已知已知 O半径为半径为2cm,弦弦AB长为长为 cm,则这条弦的中点到则这条弦的中点到 这条弦所对的劣弧中点的距离为这条弦所对的劣弧中点的距离为( ) A.1cm B.2cm C. cm D. cm 32 23 E O D B C A C A 5.如图如图,在在 O中中,AB,AC是互相垂直的两条弦是互相垂直的两条弦,ODAB于于D, OEAC于于E,且且AB=8cm,AC=6cm,那么那么 O的半径为的半径为( ) A.4cm B.5cm C6cm D8cm 6.在半径为在半径为2cm的圆中的圆中,垂直平分半径的弦长为垂直平分半径的弦长为

9、. 7.如图如图, O直径直径AB和弦和弦CD相交于点相交于点E,已知已知 AE=6cm,BE=2cm,CEA=30,则则CD长为长为 . E O A B C D E O B A D C B 32 152 F 8.已知已知:如图如图,AB,CD是是 O直径直径,D是是AC中点中点,AE与与CD交于交于F, OF=3,则则BE= . 9.如图如图,DE O的直径的直径,弦弦ABDE,垂足为垂足为C,若若AB=6,CE=1,则则 CD= ,OC= . 10.已知已知 O的直径为的直径为10cm,弦弦ABCD,AB=12cm,CD=16, 则弦则弦AB与与 CD的距离为的距离为 . F O D C

10、A B E 6 C O A E B D 9 4 2cm或或14cm 11.矩形矩形ABCD与圆与圆O交交A,B,E,F DE=1cm,EF=3cm,则则AB=_ AB F E C D O 5cm 例例1.一条米宽的河上架有一半径为一条米宽的河上架有一半径为m的圆弧形拱桥，的圆弧形拱桥， 请问一顶部宽为米且高出水面米的船能否通过此桥，并说请问一顶部宽为米且高出水面米的船能否通过此桥，并说 明理由明理由 C A B F O E D O D B A C 例已知例已知:如图如图,是是 直径直径,AB=10,弦弦 AC=8,D是弧是弧AC中点中点,求求CD的长的长. E 5 4 3 2 52 圆心角、弧

11、、弦、 弦心距之间的关系 圆的旋转不变性 知识要点4 如图如图,在同圆中在同圆中,OCAB于C,OCAB于C 。 O A B C A B C ， AB = = AB （填写一个条件你有几种填法？你的根据是什么？）（填写一个条件你有几种填法？你的根据是什么？） 如果两个圆心角、两条弧、如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等的其余各组量都分别相等。 在同圆或等圆中：在同圆或等圆中： 如图：如图： 如果如果AOB=100AOB=100 ， ，则则C=C= 。 O C A B A B

12、C O 当当C= 时，时，A、O、B三点在同一直线上。三点在同一直线上。 圆周角定理圆周角定理 一条弧所对的圆周角等一条弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的一于它所对的圆心角的一 半。半。 推论：半圆（或直径）推论：半圆（或直径） 所对的圆周角是直角；所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对弦是的圆周角所对弦是 直径。直径。 50 90 知识要点5 O D B A C 如图如图,已知已知ACD30， BD是直径是直径,则则 AOB=_ OB A C 如图如图,AOB110, 则则 ACB=_ 120 125 练一练：练一练： O B A D E C 如图，比较如图，比较CC、DD、EE的大小的大

13、小同弧所对的圆 周角相等 如图，如果弧如图，如果弧ABAB弧弧CDCD，那么，那么EE 和和FF是什么关系？反过来呢？是什么关系？反过来呢？ D C E B F A O 等弧所对的圆周角相等； 在同圆同圆中，相等的圆周角 所对的弧也相等 D C E O1 B F A O2 如图，如图，OO1 1和和OO2 2是等圆，是等圆， 如果弧如果弧ABAB弧弧CDCD，那么，那么EE 和和FF是什么关系？反过来是什么关系？反过来 呢？呢？ 等圆等圆也成立 圆周角与弧 1.如图，已知如图，已知AB是是 O的直径的直径,ADOC,弧弧AD的度数为的度数为 80,则则BOC的度数是的度数是( ) A.80 B

14、.25 C.50 D.40 2.如图如图,ABC内接于内接于 O,AD是是 O的直径的直径,ABC=30, 则则DAC等于等于( ) A.30 B.40 C.50 D.60 O B A CD O A B D C D C 3.如图如图,四边形四边形ABCD内接于内接于 O,若若BOD=140,则则BCD 等于等于( ) A.140 B.110 C.70 D.20 4.已知已知 O的半径为的半径为2cm,弦弦AB所对的圆周角为所对的圆周角为60,则弦则弦 AB的长为的长为( ) A. 2cm B.3cm C. D. 32 3 O C B D A B C O D A B 5.如图如图,AD是是ABC

15、的外接圆直径的外接圆直径,AD= B=DAC,则则AC的长为的长为( ) 2 B. A. C.1 D. 不能确定不能确定 2 C C 2 2 1 6.如图如图,O为为ABC的外心的外心,OBC=30,则则A= . 7.如图如图,已知在已知在ABC中中,ACB=90,B=35,以以C为圆心为圆心, CA为半径画圆交为半径画圆交AB于点于点D,则弧则弧AD的度数为的度数为 . O B C A D C A B A O D C B 60 70 8.如图如图, ,则则AOB= , ACB= ,ADB= ,CAD+CBD= . ACB ：ADB =5： 4 160 80 100180 10.如图如图,CD

16、是是 O 的直径的直径, O是圆心是圆心,E是圆上一点是圆上一点,且且 EOD=45,A是是DC延长线上一点延长线上一点,AE与半圆交于一点与半圆交于一点 B,AB=OC,则则EAD= . 9.如图如图,AB是是 O 的直径的直径,C,D,E都是都是 O 上的点上的点,则则 1+2= . B OCA D E O B A E C D 15 1 2 2 90 变式训练变式训练：如图，在如图，在 O中，中，DE=2BC， EOD=64，求，求 A的度数。的度数。 A B C D E O 若若BC=n，DE=m呢呢 A B C D E 变式训练变式训练：如图，在：如图，在 O中，中，DE=2BC=64

17、， 求求E AD的度数。的度数。 m 若若BC=n，DE=m呢呢 例例1：已知：已知:如图如图,在在ABCD中以中以A为圆心为圆心,AB为半径为半径,画圆交画圆交 AD,BC于于F,G,延长延长AB交交 A于于E,求证求证: F A B D C E G EF=FG 例例2: 如图，如图， O 中，弦中，弦AB=CD，AB 与与CD交于点交于点M， 求证：（求证：（1）AD=BC ， （2）AM=CM。 B C A D M O A D B C E 例例3：如图，已知：如图，已知ADC内接于内接于 O, AB是是 O 的直径，的直径，AE DC， 则则 DAB与与CAE 有什么关系，为什么？有什么

18、关系，为什么？ 若若 DAB=CAE， AE DC，则，则 AB是什么是什么 例例4：如图：如图,ABC是等边三角形是等边三角形,以以BC为直径画为直径画 O交交 AB,AC于于D,E 求证求证:BD=CE E D O CB A F G A B C E DO 练习练习1.如图如图,AB是半圆是半圆O的直径的直径,AE为弦为弦, C是是 的中点的中点,CDAB于于D,交交AE于点于点F,BC交交AE于于G, 求证求证:AF=CF AE 2.如图如图,AB和和CD是是 O的两条直径的两条直径,ABCD,AB=2,BAF=15 AE,DB的延长线交于点的延长线交于点F,求求(1)FAD的度数的度数,

19、 (2)ADF的面积的面积. E O B A F C D 3.已知已知:AB为为 O的直径的直径,AC,AD为弦为弦,AB=2 AC= ,AD=1,你能求你能求CAD的度数吗的度数吗? 2 O A B C D O A B C D O A B CD E 4、如图，、如图， O 的直径的直径PQ弦弦 CD,AC=BD,PQ交弦交弦AB于点于点E. 求证求证:AE=BE P Q 直径直径PQ弦弦CD 证明证明: 直径直径PQ弦弦AB AE=BE PA=PB PC+AC=PD+BD AC=BD PC=PD 即即 或或 连连AD, AC=BD CDA= BAD AB CD 直径直径PQ弦弦CD 直径直径

20、PQ弦弦AB AE=BE 6. 在在 O中中,弦弦AB所对的圆心角所对的圆心角 AOB=100,则弦则弦AB所对的圆周角为所对的圆周角为 _. 5.如图，如图， O为为ABC的外接圆，的外接圆， AB为直径，为直径，AC=BC， 则则A的的 度数为（度数为（ ） A.30 B.40 C.45 D.60 A B C O C 500或或1300 A B C O 7、如图：圆、如图：圆O中弦中弦AB等于半径等于半径R，则这，则这 条弦所对的圆心角是条弦所对的圆心角是,圆周角是圆周角是 . O B A 60度度 30度或度或150度度 8、已知、已知A、B、C三点在圆三点在圆O上，连接上，连接ABCO

21、， 如果如果 AOC等于等于140度时，求度时，求 B的度数。的度数。 110度或度或70度度 9、 AB是圆是圆O的直径，的直径，BD是圆是圆O的弦，延长的弦，延长 BD到到C，AC=AB，BD与与CD的大小有什么关的大小有什么关 系？系？ 为什么？为什么？ 若若B=70度度,则则 DOE=。 E A B C O D E 10.如图，如图，ABC内接于内接于 O，AD为为 O的直径，的直径， 已知已知C=45，AD= ，求，求AB的长。的长。 24 11、P是是 O直径直径AB上一点，上一点， PCAB，PC交交 O于于C，OCP的的 平分线交平分线交 O于于D，当点，当点P在半径在半径OA

22、 （包括（包括0点，但不包括点，但不包括A点）上移动时，点）上移动时， 试比较弧试比较弧AD和弧和弧BD的大小，的大小， 并证明你的结论。并证明你的结论。 1.弧长公式弧长公式: 2.扇形面积公式扇形面积公式: 3.圆锥侧面积公式圆锥侧面积公式: 4.圆锥全面积公式圆锥全面积公式: 5.圆锥侧面展开图扇形圆心角公式圆锥侧面展开图扇形圆心角公式: 180 rn l 360 2 rn S lr 2 1 rlS 圆锥侧 2 rrlS 圆锥全 360 l r 知识要点6 1.已知弧长为已知弧长为4cm,它所对的圆心角为它所对的圆心角为120,那么它所对那么它所对 的弦长为的弦长为( ) cmA32 .

23、cmB23 .cmC36 .cmD26 . 2.在在 O中中, 所对的圆心角为所对的圆心角为60,且弦且弦AB=5cm,则则 的长为的长为( ) cmA 3 5 . cmB 6 5 . cmC 3 35 . cmD 6 35 . AB AB C A 3.如图如图,在扇形在扇形OAB中中,AOB=90，已以，已以AB为直径画半为直径画半 圆，则阴影部分面积是（圆，则阴影部分面积是（ ） A.大于大于SAOB B.等于等于S AOB C.小于小于S AOB D.不能确定与不能确定与S AOB的关系的关系 4.如图如图,正方形的边长为正方形的边长为2,以边长为直径在正方形内画半圆以边长为直径在正方形

24、内画半圆,则则 阴影部分面积是阴影部分面积是( ) A.- 4 B. 4- C.- 2 D.4- /4 A O B B B 5.一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为cm,母线母线 长长cm,则它的侧面积是（）则它的侧面积是（） .66 .30 .28 .15 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 6.在半径为在半径为6cm的圆中，的圆中，120的圆心角所对的弧长为的圆心角所对的弧长为 . 7.扇形半径为扇形半径为12,面积为面积为9,它的圆心角等于它的圆心角等于 度度 8.已知扇形的面积为已知扇形的面积为24 ,弧长为弧长为cm,则扇形的半则扇形的半 径是径是cm,圆心角是圆心角是度度 2 cm 9.已知扇形的面积是已知扇形的面积是12 ,半径是半径是8cm,则扇形周长是则扇形周长是 2 cm 10.圆锥的底面半径是圆锥的底面半