材料力学第三章 扭转

1、第第3 3章章 扭转扭转 3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 3.3 3.3 纯剪切纯剪切 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 n【基本内容基本内容】 一、一、外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 二、纯剪切的概念，薄壁圆筒扭转时的切应力二、纯剪切的概念，薄壁圆筒扭转时的切应力 三、切应力互等定理三、切应力互等定理 四、圆轴扭转的强度条件四、圆轴扭转的强度条件 五、圆轴扭转的刚度条件五、圆轴扭转的刚度条件 【重点和难点重点和难点

2、】 重点：重点：外力偶矩的计算，扭矩图的作法，圆轴扭转时外力偶矩的计算，扭矩图的作法，圆轴扭转时 强度条件和刚度条件的应用强度条件和刚度条件的应用 难点：难点：横截面上切应力的推导横截面上切应力的推导 第第3 3章章 扭转扭转 3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 一、工程实例一、工程实例 二、受力特点 三、变形特点 杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。 杆件的任意横截面绕杆件轴线发生相对杆件的任意横截面绕杆件轴线发生相对 转动。转动。 扭转变形的零件，通常为轴类零件，横截面大

3、扭转变形的零件，通常为轴类零件，横截面大 都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。 直接计算直接计算 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 一、外力偶矩一、外力偶矩 作用于轴上的外力偶矩往往是由轴所传递作用于轴上的外力偶矩往往是由轴所传递 的的功率功率和轴的和轴的转速转速来计算的。来计算的。 已知：传动轴功率已知：传动轴功率p(kw)p(kw) 转速转速n(r/min)n(r/min)， 求：求： 外力偶矩外力偶矩MMe e Me 传动轴每秒输入功：传动

4、轴每秒输入功：)(1000mNPW 力偶每秒完成做功：力偶每秒完成做功： )( 60 2mN n MW e m)(N9549 n P M e PP轴传递的功率轴传递的功率kwkw nn轴的转速轴的转速r/minr/min MMe e作用在轴上的力偶矩作用在轴上的力偶矩mN 由此求出外力偶矩的计算公式：由此求出外力偶矩的计算公式： 二、扭矩和扭矩图二、扭矩和扭矩图 2.2.扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： 按右手螺旋法则，按右手螺旋法则，T T矢量背离截面为正，指向截面为矢量背离截面为正，指向截面为 负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负） n

5、 e e x MT MT M 0 0 1. 1.截面法截面法求内力求内力 “ T ”“ T ”称为横截面称为横截面 上的扭矩上的扭矩 Me Me n Me T x 用截面法求扭矩时，用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩建议均假设各截面扭矩T为正，为正， 如果由平衡方程得到如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如为正，则说明是正的扭矩，如 果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭正的扭 矩画在矩画在x x轴上方，负的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在x x轴下方。轴下方。 注意注意 3.3.扭矩扭矩图图 表示扭矩沿轴线各截面上的变化情况。表示扭矩沿轴线

6、各截面上的变化情况。 扭矩变化规律； |T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。 目 目 的的 例例3.1 3.1 轴的转速为轴的转速为n n =300r/min=300r/min，主动轮，主动轮A A输入功率为输入功率为 P PA A=36kW=36kW，从动轮，从动轮B B、C C、DD的输出功率分别为的输出功率分别为P PB B= =P PC C=11kW=11kW， P PD D=14kW=14kW，试做轴的扭矩图。，试做轴的扭矩图。 解：解：1)计算外力偶矩计算外力偶矩 )(446 300 14 95499549 )(350 300 11 95499549 )(1146 30

7、0 36 95499549 mN n P m mN n P mm mN n P m D D B CB A A BAC D 2)2)截面法求扭矩（扭矩按正方向设）截面法求扭矩（扭矩按正方向设） BAC D 1 1 2 2 3 3 (b) B m C m 1 T 2 T 3 T 由平衡方程由平衡方程 依次有依次有0Mx mNT mT D 446 0 3 3 (a) B m D m (c) mNT mT B 350 0 1 1 mNT mmT CB 700 0 2 2 3503501146446 3 3）绘制扭矩图）绘制扭矩图 mNT 350 1 mNT 700 2 mNT 446 3 x )(mN

8、T 350 700 446 BAC D 1 1 2 2 3 3 3503501146446 1.1.受扭圆轴如图所示，受扭圆轴如图所示，1 1一一1 12-22-2横截面上的横截面上的 扭矩分别是扭矩分别是( ( ） 跟踪训练跟踪训练 m3 m3 m2 pq pq l r 3.3 3.3 纯剪切纯剪切 一、薄壁圆筒切应力一、薄壁圆筒切应力 e M e M 2 2 r M e rrM M e x 2 0 有 由 圆筒沿轴线方向尺寸没变圆筒沿轴线方向尺寸没变 圆筒沿径向方向尺寸没变圆筒沿径向方向尺寸没变 圆筒横截面沿轴线有相对转动圆筒横截面沿轴线有相对转动 横截面上没有正应力横截面上没有正应力 横

9、截面径向切应力为零横截面径向切应力为零 横截面切应力方向与半径垂直横截面切应力方向与半径垂直 o B B A A r 10 1 （r：为平均半径） AA B B r x 二、切应力互等定理二、切应力互等定理 用相邻的两个横截面用相邻的两个横截面 和两个过轴线的纵向和两个过轴线的纵向 面，从圆筒中取出微面，从圆筒中取出微 单元体。单元体。 e M x z dx dy y 两侧面的切应力数值相等，两侧面的切应力数值相等， 方向相反，组成一个力矩为方向相反，组成一个力矩为 的力偶。的力偶。 dxdy)( x y z dx dy 为保持平衡，上下两个为保持平衡，上下两个 侧面必有切应力组成力偶与侧面必

10、有切应力组成力偶与 之相平衡。之相平衡。 dydx)( 0 z Mdxtdydytdx)()( 得得 上式表明：在单元体相互垂直上式表明：在单元体相互垂直 的两个平面上，切应力成对存的两个平面上，切应力成对存 在且数值相等，两者都垂直于在且数值相等，两者都垂直于 两平面的交线，其方向则共同两平面的交线，其方向则共同 指向或共同背离该交线，这就指向或共同背离该交线，这就 是是切应力互等定理。切应力互等定理。 x y z t dx dy 在单元体上、下、左、右四个侧面上只有切应力，在单元体上、下、左、右四个侧面上只有切应力， 没有正应力的情况称为没有正应力的情况称为纯剪切纯剪切。 三、切应变三、切

11、应变 l r 为圆筒的长度 扭转角为两端面横截面的相对其中 l , pq pq l r e M e M 四、剪切胡克定律四、剪切胡克定律 扭转实验表明，切应力低于材料的剪切比例扭转实验表明，切应力低于材料的剪切比例 极限时，扭转角与扭转力偶矩成正比，可以极限时，扭转角与扭转力偶矩成正比，可以 得到：得到： G 剪切模量、弹性模量，泊松比三个弹性常量剪切模量、弹性模量，泊松比三个弹性常量 满足以下关系：满足以下关系： )1 (2 E G 这就是剪切胡克定律。其中这就是剪切胡克定律。其中G为材料的剪切为材料的剪切 模量。模量。 ox 一、平面假设一、平面假设 圆周扭转变形前的横截面变形后仍为平圆周

12、扭转变形前的横截面变形后仍为平 面，面， 形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻 两截面间的距离不变。两截面间的距离不变。 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 平面假设推论：平面假设推论： (1)(1)相邻两截面间的距离不变相邻两截面间的距离不变 (2)(2)横截面大小和形状不变，只是绕轴线作了相对转动横截面大小和形状不变，只是绕轴线作了相对转动 (4)(4)各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 (3)(3)纵向线倾斜纵向线倾斜 ox 横截面上无正应力横截面上无正应力. . 径向径向无正应力无正应力 横截面上有切应力横

13、截面上有切应力, ,且垂直于半径且垂直于半径. . 同一圆周上的切应力均匀分布同一圆周上的切应力均匀分布. . x Me dA R x A dA T ) 1 ( 1.静力关系静力关系 2.剪切胡克定律剪切胡克定律 G )2( dx d 3.变形几何关系变形几何关系 ) 3( p I T 由由(1)(2)(3)式得式得 二、等圆截面直杆扭转横截面上切应力的建立二、等圆截面直杆扭转横截面上切应力的建立 ddx p I T 等圆截面直杆扭转横截面上切应力的计算公式等圆截面直杆扭转横截面上切应力的计算公式 其中其中T为横截面扭矩为横截面扭矩 Ip 称为横截面对圆心的极惯性矩称为横截面对圆心的极惯性矩

14、求应力的点到圆心的距离。求应力的点到圆心的距离。 R A p dddAI 0 2 0 22 322 44 DR Me x 最大切应力在圆截面边缘上，最大切应力在圆截面边缘上， 取最大值取最大值R p I TR max 令令 称为抗扭截面系数。则称为抗扭截面系数。则 t p t W R I W t W T max 三、等截面圆轴扭转的强度条件：三、等截面圆轴扭转的强度条件： max max t W T m x 对于实心圆截面：对于实心圆截面： 32 4 D p I 对于空心圆截面：对于空心圆截面： )( 32 I 44 dD p AI Ap d 2 16 3 D t W) 16 44 dD D

15、t ( W D o d 横截面对圆心的极惯性矩横截面对圆心的极惯性矩 跟踪训练跟踪训练 2.2.实心受扭圆轴在弹性变形时，横截面上剪应力实心受扭圆轴在弹性变形时，横截面上剪应力 的分布图是的分布图是( )( )，图中，图中T T为扭矩。为扭矩。 3.3.空心受扭圆轴在弹性变形时，横截面上剪应力空心受扭圆轴在弹性变形时，横截面上剪应力 的分布图是的分布图是( )( )，图中，图中T T为扭矩。为扭矩。 跟踪训练跟踪训练 TT T T ABC D 跟踪训练跟踪训练 4.4.空心圆轴的内径为空心圆轴的内径为d d，外径为，外径为D, D=2dD, D=2d。当横。当横 截面上扭矩为截面上扭矩为T T

16、时最大剪应力为时最大剪应力为 。若截面。若截面 上上A A点距外周边的距离为点距外周边的距离为0.1D0.1D则则A A点的剪应力点的剪应力 是是( )( ) 3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的 相对转角相对转角 G ddx p I T p GI Tl max p GI T 刚度要求：单位扭转角不能超过允许值刚度要求：单位扭转角不能超过允许值 )/(m 单位单位 180 p GI称为圆轴的抗扭刚度称为圆轴的抗扭刚度 阶梯轴相阶梯轴相 对扭转角对扭转角 n i pi ii GI lT 1 例1.齿轮2为主动轮

17、，齿轮1和3所消耗的功率分别是 0.756kw和2.98kw若轴的转速为183.5r/min，材料 为45钢， 试确定轴的直径；并求齿轮3对齿轮1的扭转角。 GPaGmMPa80,/ )(5 . 1 ,40 解：1.计算外力偶矩 mN n p m3 .39 5 .183 756. 0 95499549 1 1 mN n p m155 5 .183 98. 2 95499549 3 3 mNmmmM x 3 .1940 312 m1 m2 m3 1 2 3 0.3m0.4m m1 m2 m3 1 2 3 0.3m0.4m x )(mNT 39.3 155 2.做扭矩图 18032180 4 ma

18、xmax max DG T GI T p 3.根据强度条件确定直径 16 3 maxmax max D T W T t mmm T D2 .27 1040 15516 16 3 6 3 max 4.根据刚度条件确定直径 mmm G T D 5 .29 5 . 11080 18015532 18032 3 29 4 2 max 比较由强度条件和刚度 最后确定轴的直径为30mm 39.3 155 194.3 齿轮3对齿轮1的扭转角 m1 m2 m3 1 2 3 0.3m0.4m x )(mNT 39.3 155 rad GI lT p 3 43 9 1212 12 1085. 1 32 )1030( 1080 3 . 03 .