实数综合与提高

1、实数综合与提咼，碗価丁?5柵锄.伽水J8-Wl!翔”瞬-建M懈. LW-i:-楓-W躅辦械肝霍掰I掰g澈瑚&心 錮e酣珂胁顺酬魯舌-S胡剧器机iKM一、实数的概念及分类1实数的分类一是分类是：正数、负数、0;另一种分类是：有理数、无理数 将两种分类进行组合：负有理数，负无理数，0,正有理数，正无理 数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 7,3 2等；（2）有特定意义的数，如圆周 率n,或化简后含有n的数，如n +8等；3（3）有特定结构的数，女口 0.1010010001等；（4）某些三角函数值，女口 s

2、in 60。等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相 反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应 的点关于原点对称，如果 a与b互为相反数，则有a+b=0, a二一b, 反之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。 （|a|为）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a , 则 a为；若 |a|=-a，贝U a）。3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身 的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要

3、 注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一 对应的，并能灵活运用。5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a, 那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是 0。表示方法：记作“扁”读作根号a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么 这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正数a的平方根记做“a ”读作“正、负根号a” 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是 零；负

4、数没有平方根。开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。注意Ja的双重非负性：弋-a -03、立方根一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫 做a的立方根（或三次方根）。表示方法：记作3 a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零。注意：匸a=-需，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负 数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数， 绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 数大。（

5、2）求差比较：设a、b是实数，ab 0 二 a b,a-b=0= a=b,a -b : 0 = a : b（3）求商比较法：设a、b是两正实数， a 1 ：= a b; a =1= a =b; a : 二 a : b;bbb（4） 绝对值比较法：设a、b是两负实数，则a|b,二acb。（5）平方法：设a、b是两负实数，则a2 .b2二a。五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“”被开方数a必须是非负数。2、性质：（1）（ 一 a）2 二 a（a 亠0）厂a（a 土 0）（2）wa2 = a下a（a : 0）（3） . ab =a b（a _ 0,b _ 0） （ . a . b 二

6、，ab（a _ 0,b _ 0）（4） . ： Ja（a0,b 0）（、aa（a-0,b 0） b vbb b3、 运算结果若含有“ y”形式，必须满足：（1）被开方数的因 数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因 式六、实数的运算（1） 六种运算：力口、减、乘、除、乘方、开方（2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算 括号里面的。（3）运算律加法交换律加法结合律(a b) c = a (b c)乘法交换律ab = ba乘法结合律(ab)c = a(bc)乘法对加法的分配律a(b c ab ac例题例1已知一个立方体盒子的容积为216cm

7、3，问做这样的一个正方体盒子(无盖)需要多少平方厘米的纸板？例2若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。例3下列说法中：无限小数是无理数；无理数是无限小数；无理数的平方一定是无 理数；实数与数轴上的点是 对应的。正确的个数是()A、1B、2 C 3D、4例 4 (1)已知 x _2 +( y + 0 + Jx + y _2z = 0,求(xz)y的平方根。设2的整数部分为a,小数部分为b,求-16ab-8b2的立方根。若x, y, m适合于关系式 一 3x 5y -3 - m , 2x 3y - m =x y-20042004 -x-y,试求 m-4的算术平方根。(4)设a、b是两个不

8、相等的有理数，试判断实数由。例5( 1)已知2m-3和m-12是数p的平方根，试求 p的值。(2)已知m，n是有理数，且(-.5 2)m (2 5)n *7=0，求m，n的值。(3) ABC的三边长为a、b、c，a和b满足 -1 b2 -4b，4=0,求c的取值范围。求X的个位数字。(4)已知 xNJEEB)1993 ,4+a3a分类讲解一、二次根式的非负性1若 2004a| +Ja 2005 =a，贝U a 20042 =.2.已知：y = Ji -8x + U8x-1 +1，求 2 -2 的值.2 Y y x Y y x3 .已知x、y为实数，且y - 、x - 9 - 9 - y 4，求

9、y的值.:、二次根式的化简技巧（一）构造完全平方1 .化简2+亠V n2(n +1)2所得的结果为（拓展）计算1 1十+20032200422 .化简： y 2 3 2y -5 - . y -2. 2y -53 .化简.6,8.12 24 .4 .化简：23 一6 6匚4 23+J25 .化简:13 2、. 5 2 7 2、356. 化简：23-6 .10 43-2 2（二）分母有理化1.计算:1 -3、35*33、57 55.7+149- 4747、49的值.3.计算:+2.分母有理化:三、二次根式的应用（一）无理数的分割1 .设a为3 . 5 - 3 - . 5的小数部分，b为、.6 3”

10、 3 - i 6 - 3、3的小数部分，贝U1717A1-6(B) 1( C) - -1422 .设 +1的整数部分为x，小数部分为y ,试求x2 +1 xy + y2的值.亦-123设,19 -8 3的整数部分为a，小数部分为b，试求a b 1的值b（二）最值问题1.设a、b、c均为不小于3的实数，则Ja - 2 +丿厂刁+|1 - J刁|的最小值是 2 实数 a, b 满足a2 二 2a_136 匚 12a_a2=10-|b 3|-|b-2|，则 a2 b2 的最大值为.(三) 性质的应用1 设 m、x、y 均为正整数，且m - P28 = % x -y，贝V x + y + m =.2已

11、知 15 - X2 - /9 X22，则5 X219 x2 的值为.3； 5355445 ,3 .已知x, y，求x x y xy y的值.2 24已知 3 =1.732 , 30 =5.477,求.2.7 的值.1.已知:（四）有二次根式的代数式化简.8 - 787xT2xy的值x , y2.已知a=一，求2X31 -2a a2a1 a2 -2a 12a a的值.3 .已知:b为实数，且- a2 - 22 - a2a + bc d0 且，x = i ab 、. cd, y = ac Jbd, z = 一 ad 、be .贝U x、y、z的大小关系.2 .比较的大小.533 .比较m -却n

12、与，、m 1997 - . n 1997 的大小.4 比较、19花-，1995 与.1997- ,1996 的大小.5 .比较亘与亘1的大小.2002 -1 、2002 1实数拓展提高训练题1 .有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数 包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示。其中正确的说法的个数是（）A. 1 B . 2 C . 3 D . 42 .如果a有算术平方根，那么a 定是（）A .正数 B. 0 C.非负数D .非正数3. “ 12的平方根是土 11的数学表达式是（）A. 21= 11B. %问=1C. 呵=1

13、1D . 话=14. 设a是9的平方根，B=（曲）2,则a与B的关系是（）A. a=BB. a=BC. a=- BD .以上结论都不对5. 下列说法：3是品I的平方根；7是（7）2的算术平方根；125的立方根是5;16的平方根是4；0没有算术平方根.其中，正确的有（）A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. 如果一个实数的算术平方根等于它的立方根，那么满足条件的实数有（）A. 0个B. 1个C. 2个7在0到20的自然数中，立方根是有理数的共有（）D. 4个C. x2C.A. 1个B. 2个C. 3个8. 下列一定没有平方根的是（）A . - xB. - 2x 1D. 2 X29.

14、下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. 14B. 48D. 4a+ 410 .若-1 ： m ： 0，且n = 3 m，则m、n的大小关系是（）.A. m n B . m ： n C . m 二 n D .不能确定11.下列说法中：9的平方根是3;2是2的平方根；-2是, 16的平方根.土 ,3是9的平方根；0的平方根是0其中正确的是:A. B. C. D.12 .当a取时，玄;有意义.13.若；x-1225 x 2 = x-12 x-5，则 x 的取值范围是 14 .若 3 （4 -k）3 二k-4，则 k 的值为.曲6的平方根是.15.已知a是.10的整数部分，b是.10的小数部分，

15、贝U （b . 10）a的立方根是16.在实数范围内，等式題二+启忑卩+ 3 = 0成立，则式=.17 .已知：若莎丽1 910,6 042,则旳別。呱 讯65_18 . （12分）把下列各数填入相应的集合内：1，0，0.16，32，0.15,曲，富专，后,8，3.141 592 6，0.101001 000 1 整数集合 分数集合 正数集合 负数集合 有理数集合 无理数集合19. (12分)计算：2；.50X 8-(1)( - 6)225+( 3)20.已知3仁亦,33y二2互为相反数，求代数式12X的值.y21. (1)当 a ：0 时，化简：29 _9的结果是a(2)化简m-1- 1的结果是 m -122.已知x=abM是M的立方根，y = 3b-6是x的相反数，且M=3a-7，请你 求出x的平方根.23.阅读理解八W每，即卩2v侶V3.二语的整数部分为2,小数部分为-2, 1v 岳-1v 2751的整数部分为1.逅-1的小数部分为（5 - 2解决问题：已知：a是a3的整数部分，b是yU-3的小数部分, 求：（1） a, b的值；32(2)( - a)+ (b+4)的平方根.24. （14分）（黔西南州中考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现在一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3 + 2 . 2= （