材料力学1第五版 第三章习题答案

1、第三章第三章 扭扭 转转 3-1 3-1 概概 述述 工程实例工程实例 圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动； 杆表面上的纵向线变成螺旋线。杆表面上的纵向线变成螺旋线。 受力特点：受力特点： 圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线的外力偶作用垂直于杆的轴线的外力偶作用 变形特点：变形特点： Me Me 实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有 弯曲、拉压等其他变形。弯曲、拉压等其他变形。 3-2 3-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 通常指通常指 的圆筒，

2、可假定其的圆筒，可假定其 应力沿壁厚方向均匀分布应力沿壁厚方向均匀分布 10 0 r 内力偶矩内力偶矩扭矩扭矩T e MT 薄壁圆筒薄壁圆筒 n n MeMe l T Me n n r0 圆筒两端截面之间相对转过圆筒两端截面之间相对转过 的圆心角的圆心角 相对扭转角相对扭转角 表面正方格子倾斜的角度表面正方格子倾斜的角度 直角的改变量直角的改变量 切应变切应变 tanlr即lr/ l A B D C Me Me 薄壁圆筒受扭时变形情况：薄壁圆筒受扭时变形情况： A B C D B1 A1 D1 C1 D D1 C1 C Me Me 圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距圆周线只是绕圆筒轴

3、线转动，其形状、大小、间距 不变；不变； 表面变形特点及分析：表面变形特点及分析： 横截面在变形前后都保持为形状、大小未改横截面在变形前后都保持为形状、大小未改 变的平面，没有正应力产生变的平面，没有正应力产生 所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。 横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周 向均匀分布向均匀分布 A B D C Me Me 1 1、横截面上无正应力；、横截面上无正应力； 2 2、只有与圆周相切的切应力，、只有与圆周相切的切应力， 且沿圆筒周向均匀分布；且沿圆筒周向均匀分布； 薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：

4、薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析： A B D C A B C D B1 A1D1 C1 D D1 C1 C n n Me r0 x t 3 3、对于薄壁圆筒，可认为切、对于薄壁圆筒，可认为切 应力沿壁厚也均匀分布。应力沿壁厚也均匀分布。 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式： A TrA 0 dt Ar T 0 t 静力学条件静力学条件 因薄壁圆环横截面上各点处的因薄壁圆环横截面上各点处的 切应力相等切应力相等 0 2 rA 2 0 2 r T ArArT A 00 dtt 得得 t dA n n Me r0 x r0 剪切胡克定律剪切胡克定律 t 2 0 2

5、r T lr / 0 由前述推导可知由前述推导可知 薄壁圆筒的扭转实验曲线薄壁圆筒的扭转实验曲线 Me Me A B D C 钢材的切变模量值约为：钢材的切变模量值约为： GPa80G 时时即即 p tt tG 这就是这就是剪切胡克定律剪切胡克定律 其中：其中：G材料的材料的切变模量切变模量 t p剪切屈服极限剪切屈服极限 3-3 3-3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 、传动轴的外力偶矩、传动轴的外力偶矩 传动轴的转速传动轴的转速 n ；某一轮上某一轮上 所传递的功率所传递的功率 P (kW) 作用在该轮上的外力偶矩作用在该轮上的外力偶矩Me。 ) J (1060

6、 3 P 已知：已知： 求：求： 一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所 作的功：作的功： m)(N2 e nM Me1 Me2 Me3 n 从动轮 主动轮 从动轮 传动轮的转速传动轮的转速n 、功率功率P 及其上的外力偶矩及其上的外力偶矩Me之之 间的关系：间的关系： n P M 2 60103 e 主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同， 从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。 ) J (1060 3 P m)(N2 e nM )mN(1055. 9 3

7、n P Me1 Me2 Me3 n 从动轮 主动轮 从动轮 、扭矩及扭矩图、扭矩及扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩， 用符号用符号T表示。表示。 e MT 扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法来确定。来确定。 1 1 T T Me Me AB 1 1 B Me A Me 1 1 x 扭矩的符号规定扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定按右手螺旋法则确定: : 扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。 仿照轴力图的做法，可作仿照轴力图的做法，可作扭矩图扭矩图，表明沿杆，表明沿杆 轴线各横截面上扭矩的变化情况。轴线各

8、横截面上扭矩的变化情况。 T T T T T (+) T (-) 右手定则：右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相 同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若 扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩 为正，反之为负。 扭矩符号规定扭矩符号规定： mI T I m I I T mI T I m I I T T T e MT 1 1 T T Me Me AB 1 1 B Me A Me 1 1 x Me T 图图+ 例例 3-1 一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮主动轮 输入的功率输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分三个从动轮输出的功率分 别为：别为： P

9、2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩 mkN9 .15mN) 300 500 1055. 9( 3 1 M mkN78. 4mN) 100 150 1055. 9( 3 32 MM mkN37. 6mN) 300 200 1055. 9( 3 4 M 解：解： 2 2 1 1 3 3 M1 M2 M3 M4 ABCD 分别计算各段的扭矩分别计算各段的扭矩 mkN78. 4 21 MT m9.56kN 322 MMT mkN37. 6 43 MT 2 2 1 1 3

10、3 M1 M2 M3 M4 ABCD T1 1 1 x M2 A T2 A M2 B M3 2 2 x T3 3 3 D M4 x 扭矩图扭矩图 Tmax = 9.56 kNm 在在BC段内段内 M1 M2 M3 M4 ABCD 4.78 9.56 6.37 T 图(kNm) 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA 4kNm， mB10kNm, mC6kN m，试求1 1截面和22截面上的扭矩，并画扭矩图。 补充例补充例 题题1 A m B m C m 1 1 2 2 轮轮 轴轴 轴承轴承 6KNm 4KNm 一圆轴如图所示，已知其转速为n300转分，主动轮A 输入的功率为NA400KW，三个从动

11、轮B、C和D输出的 功率分别为NBNC120KW，ND160KW。试画出此圆 轴的扭距图。 1 1 2 23 3 B m C m A m D m A m C m B m D m 轴的转向轴的转向 BC A D 3.82kNm 7.64kNm 5.10kNm 补充例补充例 题题2 3-4 3-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件 、横截面上的应力、横截面上的应力 （一）几何方面（一）几何方面 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、 形状、间距都未变；形状、间距都未变； 纵向线倾斜了同一个角度纵向线倾斜了同一个角度 ，表面上

12、所有矩形均变表面上所有矩形均变 成平行四边形。成平行四边形。 (a) Me Me (b) Me Me 杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没 有正应力产生。有正应力产生。 平面假设平面假设 等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一 样绕杆的轴线转动。样绕杆的轴线转动。 推论：推论： (a) Me Me (b) EG G G tan x d d d)2/( xd d Me Me d D G GE T T O1O2 ab a b dx DA d D G GE O1 O2 DA dx d 横截面上任一点处的切应变随点的位置的变

13、化规律横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律 即即 xd d xd d 相对扭转角沿杆长的变化率，对于给相对扭转角沿杆长的变化率，对于给 定的横截面为常量定的横截面为常量 d D G GE T T O1O2 ab a b dx DA d D G GE O1 O2 DA dx d 剪切胡克定律剪切胡克定律 tG x G d d t （二）物理方面（二）物理方面 xd d （三）静力学方面（三）静力学方面 Ad t T A TA x G A d d d 2 A AId 2 p p d d GI T x 称为横截面称为横截面 的的极惯性矩极惯性矩 t tdA tdA r O 令令 得得 T x

14、 dx T T d d dx O d 等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式 pp I T GI T G t x G d d t p d d GI T x p I T t tmax t tmax T 发生在横截面周边上各点处。发生在横截面周边上各点处。 r p max I Tr t 称为称为扭转扭转 截面系数截面系数 r I W p p 最大切应力最大切应力 rI T / p p W T tmax tmax 令令 即即 p max W T t O d t T 同样适用于空心圆截面杆受扭的情形同样适用于空心圆截面杆受扭的情形 p I T t p max W T

15、t tmax tmax O D d T t （四）圆截面的极惯性矩（四）圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数和扭转截面系数Wp A AId 2 p 16 2/ 3 p p d d I W )d2( 2 0 2 d 32 4 d d2dA 2/ 0 4 ) 4 (2 d 实心圆截面：实心圆截面： O d d 2 2 3 p d2 D d I 4 344 p p 1 16 16 2/ D D dD D I W 空心圆截面：空心圆截面： d2dA 44 32 dD 4 4 1 32 D D d D d O d 注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面 33 p 16 dDW 44 p 32 dDI D

16、 d O d 此处为以横截面、径截面以及与表面平此处为以横截面、径截面以及与表面平 行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一 微小的正六面体微小的正六面体 （五）单元体（五）单元体切应力互等定理切应力互等定理 单元体单元体 zyddt zxddt Me Me x y z a b O c d dx dy dz t t t t 0 y F 0 z M tt 自动满足自动满足 0 x F yzxxzyddddddtt 存在存在t 得得 tt 单元体的两个相互垂直单元体的两个相互垂直 的截面上，与该两个面的交的截面上，与该两个面的交 线垂直的切应力数值相等，线垂直的切应力数

17、值相等， 且均指向且均指向( (或背离或背离) ) 两截面两截面 的交线。的交线。 切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力 而无正应力的状态称为而无正应力的状态称为纯纯 剪切应力状态剪切应力状态。 da bc t t t t x y z a b O c d dx dy dz t t t t 例例3-2 实心圆截面轴实心圆截面轴和空心圆截面轴和空心圆截面轴 ( = d2/D2 =0.8) 的材料、扭转力偶矩的材料、扭转力偶矩 Me 和长度和长度l 均相同。试求在两圆轴均相同。试求在两圆轴 横截面上最大切应力相等的情况下，横

18、截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1之比以及两轴之比以及两轴 的重量比。的重量比。 (a) Me Me d1 l Me (b) Me l D2 d2 3 1 e 1p e 1p 1 max, 1 16 d M W M W T t 43 2 e 2p e 2p 2 max, 2 1 16 t D M W M W T 解：解： 16 3 1 1p d W 4 3 2 2p 1 16 D W max, 2max1 tt ， 3 1 43 2 1dD 194. 1 8 . 01 1 3 4 1 2 d D 8 . 0已知已知 得得 两轴的重量比两轴的重量比 1 2 1 2 A A W W 可见空心

19、圆轴的自重比实心圆轴轻。可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。 2 1 22 2 2 1 2 2 2 2 1 4 4 d D d dD 512. 08 . 01194. 1 22 讨论：讨论： 为什么说为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构 件？件？ 、斜截面上的应力、斜截面上的应力 0 F 0 F 0cossindsincosddtt AAA 0sinsindcoscosddttt AAA 假定斜截面假定斜截面 ef 的面积为的面积为 d A e f da bc t t t t x n t t t f e b x 讨论：讨论： 0 45 t max 90 1、

20、 tt max 45 2、 t min 此时切应力均为零。此时切应力均为零。 f t t t e b x 解得解得 t 2sin tt2cos t t t t x 45 45 max max min min 、强度条件、强度条件 max tt 等直圆轴等直圆轴 p max t W T 材料的许用切应力材料的许用切应力 t max 强度条件强度条件 t tt t max 强度计算的三类问题强度计算的三类问题 ： (1)(1)、强度校核、强度校核 t t P W Tmax (2)(2)、截面设计、截面设计 t t max T WP (3)(3)、确定许用荷载、确定许用荷载 t t P WT max

21、 例例3-4 图示阶梯状圆轴，图示阶梯状圆轴，AB段直径段直径 d1=120mm，BC 段直径段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力材料的许用切应力t = 80MPa ，试校核该轴的强度。试校核该轴的强度。 解：解： 1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图 22 14 T图（kNm） MA MB MC AC B BC段段 MPa3 .71 mm100 16 mmN1014 3 6 2p 2 max, 2 W T t AB段段 1p 1 max, 1 W T t 2、计算轴横截面上的最大切应

22、力并校核强度、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度 MPa8 .64 mm120 16 mmN1022 3 6 MPa80t 即该轴满足强度条件。即该轴满足强度条件。 22 14 T图（kNm） 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器 连接。已知轴的转速连接。已知轴的转速n=100 r/min，传递功传递功 率率P=10 kW，许用切应力许用切应力=80MPa， d1/d2=0.6。试确定实心轴的直径试确定实心轴的直径d，空心轴空心轴 的内、外径的内、外径d1和和d2。 补充补充 例题例题1 1、扭矩：、扭矩： 2 2、由实心轴的切应力强度条件：由实心轴的切应力强度条

23、件： 解：解： mkNT.955. 0 100 10 55. 9 mmd mm T d 40 ,2 .39 8014. 3 10955. 016 16 3 6 3 取 t 3 3、由空心轴的切应力强度条件：、由空心轴的切应力强度条件： mmdd mm T d 7 .246 . 0 2 .41 80)6 . 01 (14. 3 10955. 016 )1 ( 16 21 3 4 6 3 4 2 t 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料 的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺 寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对 滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中 （A）、（B）、（C）

24、、（D）所示的四种结论， 请判断哪一种是正确的。 d2 d T 1 G 2 G O (A)(B)(C)(D) 补充补充 例题例题2 解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成 一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组 合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但 要相当于原来的位置转过一角度。 因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内 层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪 切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一 定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B） 都是不正确的。 在答案（D）中，外层在二者

25、交界处的切应力等于零，这 也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据 剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。 根据以上分析，正确答案是（C） (A)(B)(C)(D) 3-5 等直圆轴扭转时的变形等直圆轴扭转时的变形刚度条件刚度条件 、扭转时的变形、扭转时的变形 两个横截面的两个横截面的相对扭转角相对扭转角 扭转角沿杆长的变化率扭转角沿杆长的变化率 p d d GI T x x GI T dd p 相距相距d x 的微段两端截面间的微段两端截面间 相对扭转角为相对扭转角为 Me Me d D T T O1O2 ab a b dx DA 等直圆杆仅两端截面受外力偶矩等直圆杆仅两端截面受

26、外力偶矩 Me 作用时作用时 p GI Tl 称为等直圆杆的称为等直圆杆的扭转刚扭转刚 度度 相距相距l 的两横截面间相对扭转角为的两横截面间相对扭转角为 l l x GI T 0 p dd Me Me p e GI lM (单位：单位：rad) 例例3-5 图示钢制实心圆截面轴，已知：图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592Nm, M2=955 Nm，M3=637 Nm， d =70mm， lAB=300mm， lAC=500mm，钢的切变模量钢的切变模量G=80GPa。求横截面求横截面C相相 对于对于B的扭转角的扭转角CB。 解：解： 1、 先用截面法求各段轴的扭矩：先用截面法求各段轴

27、的扭矩： mN955 1 T mN637 2 T BA段段 AC段段 M1M3 B A C M2 d lABlAC P 2 GI lT AC CA p 1 GI lT AB AB 2、 各段两端相对扭转角：各段两端相对扭转角： 4 3 3 mm70 32 MPa1080 mm300mmN10955 rad1052. 1 3 4 3 3 70mm 32 MPa1080 mm500mmN10637 rad1069. 1 3 CA AB M1M3 B A C M2 d lABlAC 3、 横截面横截面C相对于相对于B的扭转角：的扭转角： CAABCB 3 10)69. 1(52. 1 rad1017

28、. 0 3 AB CA M1M3 B A C M2 d lABlAC 图示空心圆杆图示空心圆杆 AB，A端固定，底板端固定，底板 B为刚性杆，为刚性杆， 在其中心处焊一直径为在其中心处焊一直径为d2的实心圆杆的实心圆杆CB。空心空心 杆的内、外径分别为杆的内、外径分别为 D1和和 d1，外力偶矩外力偶矩 Me、 两杆的长度两杆的长度l1、l2 及材料的切变模量及材料的切变模量G 均为已均为已 知。试求：知。试求： 1、两杆横截面上的切应力分布图；、两杆横截面上的切应力分布图； 2、实心杆、实心杆C端的绝对扭转角端的绝对扭转角C 。 I D1 d1 d2 l1 l2 A B C I Me I-I

29、 刚性刚性 板板 补充补充 例题例题1 解：解：1、分析两轴的受力、分析两轴的受力 如图，求出其扭矩分别如图，求出其扭矩分别 为为 e1 MT e2 MT I D1 d1 d2 l1 l2 A B C I Me I-I 刚性刚性 板板 MeMe A B Me B C Me 3 2 e 3 2 e 2p 2 max, 2 16 16/d M d M W T t )1 ( 16 16/ )1 ( 4 3 1 e 4 3 1 e 1p 1 max, 1 t D M D M W T )1 ( 16 32/ )1 ( 2/2/ 4 3 1 e 4 4 1 1e 1p 11 min, 1 t D M D

30、dM I dT 2、求横截面上的切应力、求横截面上的切应力 空心圆轴空心圆轴 实心圆轴实心圆轴 3 2 e max, 2 16 d M t )1 ( 16 4 3 1 e max, 1 t D M )1 ( 16 4 3 1 e min, 1 t D M 空心圆轴空心圆轴 实心圆轴实心圆轴 t2,maxt1,max t1,min T1 T2 3、计算绝对扭转角、计算绝对扭转角C BCABC p2 22 p1 11 GI lT GI lT 4 2 2e 44 1 1e 32 )1 ( 32 dG lM DG lM A B C Me MeMeB C A B MeMe A C C BA CB 、刚度

31、条件、刚度条件 max 等直圆杆在扭转时的刚度条件：等直圆杆在扭转时的刚度条件： 180 p max max GI T 对于精密机器的轴对于精密机器的轴 对于一般的传动轴对于一般的传动轴 m/30. 015. 0 常用单位：常用单位： /m m/2 例例3-6 由由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直 径之比径之比 = 0.5。已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力t = 40MPa ， 切变模量切变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为轴的横截面上最大扭矩为 Tmax=9.56 kNm ，轴的许可单位长度扭转角轴的许可单位长度扭转角 =0.3 /m

32、 。 。试选择轴的直径。试选择轴的直径。 解：解：1、按强度条件确定外直径、按强度条件确定外直径D 3 4 max 1 16 t T D p max max W T t 4 3 max 1 16 D T t 3 4 6 MPa405 . 01 mmN1056. 916 mm109 2、由刚度条件确定所需外直径、由刚度条件确定所需外直径D 4 4 max 1 180 )-(1 32 G T D 180 p max max GI T 180 )1 ( 32 4 4 max D G T mm5 .125 m/3 . 0 1 180 5 . 01GPa80 mmN1056. 932 4 4 6 mm5

33、 .125D mm75.63 Dd 3、确定内外直径、确定内外直径 3-6 3-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能 e 2 1 MWV 等直圆杆仅在两端受外力偶矩等直圆杆仅在两端受外力偶矩 Me 作用且作用且 时时 p tt p e GI lM p 2 e 2 1 GI lM p 2 2 1 GI lT 2p 2 1 l GI V 或或 Me Me Me Me 当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时 n i ii GI lT V 1 p 2 2 n i i i l GI V 1 2p 2 或或 AB CA M1M3 B A C M2 d lABlAC 纯剪切应力状态下的纯剪切应力状态下的应变能密度应变能密度(