第8章 实数（复习讲义）（原卷版）-人教版(2024)七下

第八章实数（复习讲义）1.了解算术平方根、平方根、立方根的定义及其表示方法，体会三类运算之间的区别与联系，以及从有理数到实数扩充的整体性。2.能运用平方根与立方根的性质解决求值问题，能正确区分无理数与有理数，并能对实数按定义和性质进行分类。3.理解实数的相反数、绝对值、倒数的意义，掌握实数与数轴上点的一一对应关系，能利用数轴比较实数的大小。4.掌握实数混合运算的运算顺序（先乘方开方，再乘除，后加减，有括号先算括号内），并能运用有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）进行实数的简便运算。一、算术平方根、平方根、立方根项目算术平方根平方根立方根定义如果一个正数x的平方等于a（即x2=a），那么这个正数x叫做a的算术平方根。规定：0的算术平方根是0。如果一个数x的平方等于a（即x2=a），那么这个数x叫做a的平方根（也称二次方根）如果一个数x的立方等于a（即x3=a），那么这个数x叫做a的立方根（也称三次方根）。表示方法a（读作“根号a”）±a（读作“正负根号a3a（读作“三次根号a”），其中a是被开方数，3被开方数范围a≥0a≥0任意实数性质非负性：a≥0（双重非负：a≥0且a≥0）。2.唯一性：一个非负数只有一个算术平方根。1.正数有两个平方根，它们互为相反数。2.0的平方根是0。3.负数没有平方根。1.每个实数都有且只有一个立方根。2.正数的立方根是正数。3.负数的立方根是负数。4.0的立方根是0。重要公式(a)2=a(a≥0)a2=(3a)3=a；3a3=二、实数的概念与分类1.无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。常见类型：含有π的数；开方开不尽的数；有特定结构但不循环的小数。2.实数的分类按定义分类：实数有理数按性质分类：实数正实数三、实数的性质与运算1.基本性质相反数：实数a的相反数是-a。若a与b互为相反数，则a+b=0。绝对值：|a|=a倒数：非零实数a的倒数是1a2.实数与数轴一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。比较大小：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。正数>0>负数。3.实数的运算运算律：有理数的交换律、结合律、分配律在实数范围内仍然适用。运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。常用计算口诀：平方根：正数俩，互为相反数；零的平方根还是零；负数没有平方根。算术根：非负数，它本身；双重非负要记准。立方根：数不分正负，根也不分正负；符号跟着里面走。题型一无理数的识别【例1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希帕索斯发现，下列选项中，是无理数的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）下列各数中：，中，无理数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）在下列实数：①；②；③；④；⑤；⑥2.020202⋯（相邻两个2之间有1个0）中，无理数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式1-3】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）在​、、​、​、​​、0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型二求一个数的平方根、算术平方根、立方根【例2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）196的平方根是；169的算术平方根是；的立方根是．【变式2-1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）的算术平方根是，的立方根是．【变式2-2】（2025八年级上·广东深圳·专题练习）的平方根是；的算术平方根是；．【变式2-3】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）的平方根是；的算术平方根是；的立方根是．题型三实数的比较大小【例3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）比较大小：5．（填“＞”“＜”或“＝”）【变式3-1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）比较大小：2．（填＞、＝或＜）【变式3-2】（25-26八年级上·四川成都·期末）比较大小：（填“”、“”或“”）【变式3-3】（25-26八年级上·四川成都·月考）比较大小：①；②．题型四利用算术平方根的非负性求解【例4】（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，那么的值为．【变式4-1】（25-26八年级上·四川达州·期末）已知实数，满足与互为相反数，则的值为．【变式4-2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）若、为实数，且满足，则的值为．【变式4-3】（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）若，则的值是．题型五实数与数轴【例5】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，若数轴上点，对应的实数分别为和，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点（在点的右侧），则点对应的实数是．【变式5-1】（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，将面积为6的正方形的顶点放在数轴上，以表示实数2的点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为．【变式5-2】（25-26七年级下·全国·周测）春节申遗成功，越来越多的人参与到各类体育年俗活动中，让喜庆的春节氛围多了一些“燃”的味道．如图①，捶丸是春节游园会上常见的民俗娱乐活动，小明沿直线将捶丸击出，将轨迹所在直线绘制成如图②所示的数轴．若捶丸恰好停在表示数“”的点处，则此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母之间．【变式5-3】（25-26七年级上·浙江温州·期中）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点B处，以点B为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点（1）点C在刻度尺上对应的数为；（2）若点A与点C所表示的数是一对相反数，则点B在数轴上所对应的数为．题型六程序设计与实数运算【例6】（25-26八年级上·山西临汾·期末）有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是．【变式6-1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为．【变式6-2】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，小亮设计了一个计算程序，当输入的值为时，则输出的值为．【变式6-3】（25-26八年级上·北京通州·期末）根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是．题型七实数的运算【例7】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）计算：(1)；(2)．【变式7-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）计算：(1)(2)【变式7-2】（25-26七年级下·全国·周测）计算：(1)；(2)(3)．【变式7-3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算：(1)(2)题型八利用平方根与立方根的定义解方程【例8】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的值：(1)；(2)．【变式8-1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程：(1)；(2)．【变式8-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）解方程：(1)；(2)．【变式8-3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）求下列各等式中的实数．(1)；(2)．题型九平方根与立方根的综合问题【例9】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知的算术平方根是的立方根是．(1)求与的值；(2)求的平方根．【变式9-1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是3．(1)求a、b的值；(2)求的平方根．【变式9-2】（25-26八年级上·四川乐山·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4．(1)求a、b的值；(2)求的平方根．【变式9-3】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身．(1)求，，的值；(2)求的平方根．题型十与算术平方根、立方根有关的规律问题【例10】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：

…1…

…1…表格中，．（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向移动位．（3）规律运用：①已知，则；②已知，，则．【变式10-1】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老师出示了一组有规律的算式．仔细观察下列算式，并探求规律：，，，，实践探究：(1)按照此规律，①计算：_____；②第个式子是_____（用含的式子表示，且为整数）；(2)计算：．【变式10-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题：(1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位；(2)应用：①已知，则___________；②已知，则___________；(3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值．【变式10-2】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】①②；③；④．【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题：（1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________；（2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立；【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根．基础巩固通关测基础巩固通关测一、单选题1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列四个数中，最小的数是（

）A． B．0 C． D．2．（25-26七年级上·山东烟台·期末）下列说法不正确的是（

）A．的立方根是 B．2是4的算术平方根C．0的立方根是0 D．的平方根是3．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知是正整数，并且，则的值为（

）．A． B． C． D．4．（25-26七年级下·全国·周测）有一个数值转换器，原理如图．当输入的为64时，输出的为（

）A．4 B． C． D．二、填空题5．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）比较大小：7．（填“”“”或“”）6．（25-26七年级上·山东淄博·月考）的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的绝对值是．7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为．8．（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则．三、解答题9．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）计算（2）解方程10．（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）．(1)有理数集合：{

…}；(2)无理数集合：{

…}；(3)正实数集合：{

…}；(4)负实数集合：{

…}．11．（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知的算术平方根是的立方根是．(1)求，的值；(2)是的整数部分，求的平方根．12．（25-26七年级下·全国·周测）同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题：(1)若，其中，为有理数，则_________，_________；(2)如果，其中，为有理数，求的立方根．能力提升进阶练能力提升进阶练一、单选题1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）在下列实数，，0，，，1.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）中，无理数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（

）A．6 B．12 C．20 D．303．（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（

）A． B．C． D．20264．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，则的平方根为（

）A．9 B． C． D．5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（

）A． B． C． D．二、填空题6．（25-26七年级上·山东泰安·期末）；．7．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为．8．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简．9．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，，……，类比这些