数学建模简介

1、第一章第一章 数学模型概论与初等模型数学模型概论与初等模型 玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型 地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型 模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物 模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征 我们常见的模型我们常见的模型 你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”

2、 用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程： 75050)( 75030)( yx yx 答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/ /小时小时. . 甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时， 从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少? x =20 y =5 求解求解 航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表

3、示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。 数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和 数学建模（数学建模（Mathematical Modeling) 对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的， 根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设， 运用适当的运用

4、适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。 建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等） 数学模型数学模型 数学数学 建模建模 电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎

5、是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。 数学建模的具体应用数学建模的具体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理 数学建模计算机技术 知识经济知识经济 如虎添翼如虎添翼 生产过程中产品生产过程中产品 质量指标的预报质量指标的预报, 气象预报气象预报,人口预人口预 报报,经济增长预报经济增长预报 描述药物浓度描述药物浓度 在人体内的变在人体内的变 化化,跨音速空气跨音速空气 流和激波的数流和激波的数 学模型学模型,用数值用数

6、值 模拟设计新的模拟设计新的 飞机翼型飞机翼型 电力电力,化工生产化工生产 过程的最优控过程的最优控 制制,零件设计中零件设计中 的参数优化的参数优化 生产计划生产计划,资源资源 配置配置,运输网络运输网络 规划规划,水库优化水库优化 调度调度,以及排队以及排队 策略策略,物资管理物资管理 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计算，对资料的分析计算， 找出起主要作用的因素，经必要找出起主要作用的因素，经必要

7、 的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建即建 立数学模型。立数学模型。 4.模型求解。模型求解。 5.模型的分析与检验。模型的分析与检验。 在难以得出解析解时，也在难以得出解析解时，也 应当借助应当借助 计算机计算机 求出数值求出数值 解。解。 实体信实体信 息息(数据数据) 假设假设建模建模求解求解验证验证应用应用 : : 可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐可口可乐、雪

8、碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐易拉罐)顶盖的顶盖的 直径和从顶盖到底部的高之比为多少直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 为什么为什么? 它们的形状为它们的形状为 什么是这样的什么是这样的? : 找一个雪碧饮料罐具体测量一下找一个雪碧饮料罐具体测量一下:它它 顶盖的直径和从顶盖到底部的高顶盖的直径和从顶盖到底部的高:约约 为为6厘米和厘米和12厘米厘米.中间胖的部分的直中间胖的部分的直 径约为径约为6.6厘米厘米,胖的部分高约为胖的部分高约为10.2 厘米厘米.可口可乐饮料罐上标明净含量可口可乐饮料罐上标明净含量 为为355毫升毫升(即即355立方厘米立方厘米).根据有关根据有关 的数据的

9、数据,要求通过数学建模的方法来要求通过数学建模的方法来 回答相关的问题回答相关的问题. 我们先看这样的数学题我们先看这样的数学题: : “用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖 (或有盖或有盖)容器，问应当如何设计，才能使用容器，问应当如何设计，才能使用 料最省，这时圆柱的直径和高之比为多料最省，这时圆柱的直径和高之比为多 少少?”(一般数学分析或高等数学教材中导数一般数学分析或高等数学教材中导数 的应用的应用(极值问题极值问题)部分的一道例题部分的一道例题). 实际上实际上,用几何语言来表述就是用几何语言来表述就是:体积给定的体积给定的 圆柱体圆柱体,其表面

10、积最小的尺寸其表面积最小的尺寸(半径和高半径和高)为为 多少多少? 表面积用表面积用S S表示表示, , 体积用体积用V V表示表示, , 则则 )(222),( 22 rhrrrhhrS hrV 2 , )( 2 rVh )2( 2 ) )(2(2)(0 3 2 2 V r r rVrrS 3 2 V r dr V V V V V r V h2 2 844 33 22 32 3 2 2 2 S 即圆柱的直径和高即圆柱的直径和高 之比为之比为1:1 问题分析和模型假设问题分析和模型假设 饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理 性的性的.要求饮料罐内体积一定时要

11、求饮料罐内体积一定时,求能使易拉求能使易拉 罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从 顶盖到底部的高之比顶盖到底部的高之比. 实际上实际上,饮料罐的形状是如下平面图形绕其饮料罐的形状是如下平面图形绕其 中轴线旋转而成的立体中轴线旋转而成的立体. 模型的建立模型的建立 饮料罐的半径为(因此,直径为), 罐的高为. h 罐内体积为. V 除顶盖外的材料的厚度.b 顶盖的厚度为 (顶盖就能感觉到更硬) 其中,r,h是自变量, 所用材料的体积SV是因变量, 而b 和V是固定参数, 是待定参数 b 322 2 22 )1 ()1 (22 )1 ()(2 ( )1 ()()

12、( bbhbrrbh bhbrb bhrbr 322 2 )1 ()1 (2 )1 (2),( bbhbr brrhbhrSV hrhrV 2 ),( 饮料罐侧面所用材料的饮料罐侧面所用材料的 体积体积 罐内体积罐内体积 所用材料的体积所用材料的体积 322 2 )1 ()1 (2 )1 (2),( bbhbr brrhbhrSV 顶盖和底部所用材顶盖和底部所用材 料料 因 ,所以带 , 的项可以忽略,所以 rb 2 b , 3 b 这是极其重要的合理假设或简化这是极其重要的合理假设或简化! brrhbhrShrSV 2 )1 (2),(),( Vhrhrg 2 ),( 0).(, 0, 0.

13、 . ),(min hrghrts hrS 其中是其中是S目标函数目标函数, 是是 约束条件约束条件, V是已知的是已知的(即罐内体积即罐内体积 一定一定), 即要在体积一定的条件下即要在体积一定的条件下,求求 罐的体积最小的罐的体积最小的 r,h和和 使得使得r,h和测量和测量 结果吻合结果吻合. 这是一个求条件极值的问题这是一个求条件极值的问题. 0),(hrg 模型的求解模型的求解 从约束中解出一个变量,化条件极值问题为 求一元函数的无条件极值问题 使原问题化为:求 使 S 最小,即,求r 使下 式最小. 0),( 2 Vhrhrg )( 2 rVh hd : )1 ( 2 )(,( 2

14、 r r V brhrS 求临界点求临界点: :令其导数为零令其导数为零 得得 0)1( 2 )1(2 3 22 Vr r b r V rb dr dS 3 )1 ( V r 2 )1 ( )1 ( )1 ( )1 (2 )1 (2 3 2 3 d r V V Vh 测量数据为测量数据为 , 即即 即即 顶盖厚度是其他材料厚度顶盖厚度是其他材料厚度3 倍倍 2 d h 413 本题还可本题还可Lagrange乘子法来解乘子法来解 (增加一个变量化条增加一个变量化条 件极值问题为多元函数无条件极值问题件极值问题为多元函数无条件极值问题) 模型验证及进一步的分析模型验证及进一步的分析 有人测量过顶

15、盖的厚度确实为其他材料厚度的3倍. 如果易拉罐的半径为3厘米,则其体积为 3553 .339123 2 V 实际上,饮料罐的形状是左平面 图形绕其中轴线旋转而成的立 体. 可以把饮料罐的体积看成两部 分,一是上底半径为3厘米,下底 半径为3.3 厘米,高为1厘米的锥 台,二是半径为3.3厘米,高为 10.2厘米的圆柱体.它们的体积 分别为 31.2立方厘米和349立 方厘米总共为380.2立方厘米. 测量结果为测量结果为:未打开罐时饮料罐未打开罐时饮料罐 的重量为的重量为370克克,倒出来的可乐倒出来的可乐 确实重确实重355克克,空的饮料罐重量空的饮料罐重量 为为15克克,装满水的饮料罐重量

16、为装满水的饮料罐重量为 380克克.这和我们的近似计算这和我们的近似计算 380.2立方厘米十分接近！饮料立方厘米十分接近！饮料 罐不能装满饮料罐不能装满饮料(365克克),而是留而是留 有有10立方厘米的空间余量立方厘米的空间余量. 进一步讨论进一步讨论 此外此外,诸如底部的形状诸如底部的形状,上拱的底面上拱的底面,顶盖实际顶盖实际 上也不是平面的上也不是平面的,略有上拱略有上拱,顶盖实际上是半顶盖实际上是半 径为径为3 + 0.4 + 0.2 = 3.6平方厘米的材料冲压平方厘米的材料冲压 而成的而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这这 些要求也许保证了和饮

17、料罐的薄的部分的些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的 焊接焊接(粘合粘合)很牢固很牢固,耐压耐压. 所有这些都是物理、力学、工程或材料方所有这些都是物理、力学、工程或材料方 面的要求面的要求,必须要有有关方面的实际工作必须要有有关方面的实际工作 者或专家来确定者或专家来确定.因此因此,我们也可以体会到我们也可以体会到 真正用数学建模的方法来进行设计是很复真正用数学建模的方法来进行设计是很复 杂的过程杂的过程,只依靠数学知识是不够的只依靠数学知识是不够的,必须必须 和实际工作者的经验紧密结合和实际工作者的经验紧密结合. 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握了解问题的实际背景，明确建模目

18、的，收集掌握 必要的必要的数据数据资料。资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的对资料的分析分析计算，计算， 找出起主要作用的因素，经必要找出起主要作用的因素，经必要 的精炼、简化，提出若干符合客观实际的的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构划各变量之间的关系，建立相应的数学结构建模建模 即建立数学模型。即建立数学模型。 4.模型模型求解求解。 5.模型的模型的分析分析与与检验检验。 在难以得

19、出解析解时，也在难以得出解析解时，也 应当借助应当借助 计算机计算机 求出数值求出数值 解。解。 数学建模流程图解 模型评价 模型应用 模型检验 问题分析 模型求解 建立模型 符号设定 模型假设 YN 应用领域应用领域人口人口,生态生态,交通交通,环境环境,经济等经济等 数学方法数学方法初等数学初等数学,网络网络,微分方程微分方程, 运筹运筹,随机模型等随机模型等 表现特性表现特性 描述描述,分析分析,预报预报,决策决策,控制等控制等 建模目的建模目的 了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱 确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态 线性和非线性线性和非线性 离散和连续离散和连续 数学模型的

20、分类数学模型的分类 数学建模实践的每一步中都数学建模实践的每一步中都 蕴含着能力上的蕴含着能力上的 锻炼，在锻炼，在 调查研究阶段，需要用到调查研究阶段，需要用到观察能力观察能力、分析能力分析能力和和数据处理数据处理 能力能力等。在提出假设时，又需要用到等。在提出假设时，又需要用到 想象力和归纳想象力和归纳 简化简化 能力。能力。 在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继 续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果续而不是别人工作

21、的重复，你可以把某些已知的研究结果 用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在 尽可能短的时间内尽可能短的时间内查到并学会查到并学会想应用的知识的本领。想应用的知识的本领。 还需要你多少要有点还需要你多少要有点创新的能力创新的能力。这种能力不是生来就。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 开设数学建模课的主要目的为了提高学开设数学建模课的主要目的为了提高学 生的生的综合素质综合素质，增强，增强 应用数学知识应用数学知识 解决实际问解决实际问 题的本领。撰

22、写论文的初步方法题的本领。撰写论文的初步方法. 1 1 雨中行走雨中行走 2 2 实物交换实物交换 3 3 汽车刹车距离汽车刹车距离 4 4 公平的席位分配公平的席位分配 5 5 发射卫星为什么用三级火箭系发射卫星为什么用三级火箭系 统统? ? 初等方法建模初等方法建模 一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离 家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间 去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设 刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上， 你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在 雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑 到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑

23、不一定 是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行 走才能减少淋雨的程度。 1 1 雨中行走雨中行走 1 建模准备 建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略， 使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行 走的速度 2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 3）风速保持不变。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。 h 2 模型假设及符号说明 1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。 淋雨总量用 升来记。 w d C I v D 由于人身体的表面非常复

24、由于人身体的表面非常复 杂杂,为了使问题简化为了使问题简化,假设假设 将人视为长方体将人视为长方体. 2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 3）风速保持不变。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。 1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。 淋雨总量用 升来记。 w d I v C h D 2 模型假设及符号说明 由于人身体的表面非常复由于人身体的表面非常复 杂杂,为了使问题简化为了使问题简化,假设假设 将人视为长方体将人视为长方体. 3 模型建立与计算 1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。 淋雨

25、的面积 )( 22 2 米wddhwhS 雨中行走的时间 )(秒 v D t 降雨强度)/()3600/01. 0()/(01. 0)/(smIII时米时厘米 （升）米SIvDSItC3600/)/(10)(01. 0)3600/( 3 模型中为变量。为参数，而vSID, 结论，结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能 减少淋雨量。 。米即米米米 小时厘米米若取参数 2 2 . 2,20. 0,50. 0,50. 1 ,/2,1000 Sdwh ID 秒。分秒，即你在雨中行走了 每秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速 472167 /6v 从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）

26、。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。 原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。 2）考虑降雨方向。 v h w d 人前进 的方向 若记雨滴下落速度为 （米/秒）r 雨滴的密度为 雨滴下落 的反方向 1 ,pp 表示在一定的时刻 在单位体积的空间 内，由雨滴所占的 空间的比例数，也 称为降雨强度系数。 所以，rpI 因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。 分两部分计算淋雨量。 顶部的淋雨量 )sin()/( 1 prwdvDC 度。表示雨滴垂直下落的速 表

27、示顶部面积，表示在雨中行走的时间 sin ,/ r wdvD 前表面淋雨量 )cos()/( 2 vrpwhvDC 总淋雨量（基本模型） )cos(sin( 21 vrhdr v pwD CCC 6 1039. 1,/23600,/4 pscmIsmr取参数 )5 . 1cos6sin8 . 0( 1095. 6 4 v v C 可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定 ，如何选择 使得 最小。vC 情形1 90 )5 . 1 8 . 0 (1095. 6 4 v C 结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。

28、淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得 升13. 1103 .11 34 mC 情形2 60 / ) 334 . 0(5 . 1 1095. 6 4 vC 结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得 升47. 1107 .14 34 mC 情形3 18090 此时，雨滴将从后面向你身上落下。 5 . 1/ )cos6sin8 . 0(1095. 6 4 vC 5 . 1/)90cos(6)90sin(8 . 0(1095. 6 4 vC 5 . 1/

29、)sin6cos8 . 0(1095. 6 4 vC 能的。可能取负值，这是不可时，当C 900 出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从我们给出的基本模型是针对雨从 你的前面落到身上情形你的前面落到身上情形。 因此，对于这种情况要另行讨论。 当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即 sinrv 这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是 vvrpwDh/ )sin( 淋雨总量为 vvrhdrpwDC/)sin(cos 。，则令 90090 取到最小值。时，当Crvsin cos sin wdpr r D C 再次代如数据，得 )sin4/()cos8 . 0(1095. 6 4 C 结果

30、表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋 雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。 若雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角 从背后落下，你应该以 120 30 的速度行走，smv/230sin4 此时，淋雨总量为 升24. 02/ )2/38 . 0(1095. 6 34 mC 这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。 当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即 sinrv 你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是 vrvpwDh/ )sin( 淋雨总量为 vrvhdrpwDC/)sin(cos / )sincos

31、(rhvrdpwDrC 才可能小。尽可能大，当Cvrd, 0sincos 才可能小。尽可能小，当Cvrd, 0sincos ，而sinrv ，所以sinrv 才可能小。C 升。 时，取 77. 06/ )634 . 0(1095. 6 30,/6 34 mC smv 若雨是迎着你前进的方向向你 落下,这时的策略很简单,应以最 大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下,你应控 制你在雨中的行走速度,让它刚 好等于落雨速度的水平分量。 问问 题题 甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要， 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。商定相互交换一部分。研究实

32、物交换方案。 y x p . 用用x,y分别表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有 X,Y的数量。设交换前甲占的数量。设交换前甲占 有有X的数量为的数量为x0, 乙占有乙占有Y的的 数量为数量为y0, 作图：作图： 若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y) 都是一种交换方案：甲占有都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y) x y yo 0 xo 2 2 实物交换实物交换 x y yo y1 y2 0 x1x2xo p1 p2 . . 甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模 如果甲占有如果甲占有(x1

33、,y1)与占有与占有(x2,y2) 具有同样的满意程度，即具有同样的满意程度，即p1, p2 对甲是无差别的，对甲是无差别的， M N 将所有与将所有与p1, p2无差别的点连接无差别的点连接 起来，得到一条起来，得到一条无差别曲线无差别曲线MN, 线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同, 线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度，的偏爱程度， N1 M1 p3(x3,y3). 比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线，在另一条无差别曲线M1N1上。上。 于是形成一族无差别曲线（无数条）。于是形成一族无差别曲线（无数条）。 y x p1. y x p2 .

34、 c1 y 0 x f(x,y)=c1 无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质： 单调减单调减(x增加增加, y减小减小) 下凸下凸(凸向原点凸向原点) 互不相交互不相交 在在p1点占有点占有x少、少、y多，多， 宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取 较少的较少的 x; 在在p2点占有点占有y少、少、x多，多， 就要以较多的就要以较多的 x换取换取 较少的较少的 y。 甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1c1满意度满意度 （f 等满意度曲线）等满意度曲线） x y O g(x,y)=c2 c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同具有相同 性质（

35、形状可以不同）性质（形状可以不同） 双方的交换路径双方的交换路径 x y yo O xo f=c1 O x y g=c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标坐标 系系xOy, 且反向）且反向） 甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1 A B p P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必 在在AB（交换路径）上（交换路径）上 因为在因为在AB外的任一点外的任一点p, (双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p 两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作AB A B p 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定 交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量 (x

36、,y) 0 x x0, 0 y y0矩矩 形内任一点形内任一点 交换路交换路 径径AB 双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族 等价交等价交 换原则换原则 X,Y用货币衡量其价值，设交换用货币衡量其价值，设交换 前前x0,y0价值相同，则等价交换原价值相同，则等价交换原 则下交换路径为则下交换路径为 C D (x0,0), (0,y0) 两点的连线两点的连线CD AB与与CD的的 交点交点p 设设X单价单价a, Y单价单价b, 则等价交换下则等价交换下ax+by=s (s=ax0+by0) y yo 0 xo . . x 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：

37、背背 景景 与与 问问 题题 正常驾驶条件下正常驾驶条件下, 车速每增车速每增10英里英里/小时，小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。后面与前车的距离应增一个车身的长度。 实现这个规则的简便办法是实现这个规则的简便办法是 “2秒准则秒准则” ： 后车司机从前车经过某一标志开始默数后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 判断判断 “2秒准则秒准则” 与与 “车身车身”规则是否一规则是否一 样；样； 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。 3 3 汽车刹车距离汽车刹车距离 问问 题题 分分 析

38、析 常识：刹车距离与车速有关常识：刹车距离与车速有关 10英里英里/小时小时( 16公里公里/小时小时)车速下车速下2秒钟行驶秒钟行驶 29英尺英尺( 9米米) 车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺(=4.6米米) “2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则规则 不同不同 刹刹 车车 距距 离离 反应时间反应时间 司机司机 状况状况 制动系统制动系统 灵活性灵活性 制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，最大制动力与车质量成正比， 使汽车作匀减速运动。使汽车作匀减速运动。 车速车速 常数常数 反反 应应

39、距距 离离 制制 动动 距距 离离 常数常数 假假 设设 与与 建建 模模 1. 刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和 2. 反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比 3. 刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F， F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变; vtd 11 F d2= m v2/2F m 2 1 kvvtd t1为反应时间为反应时间 21 ddd 且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比 2 2 kvd 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒 参数估计参数估计 利用交通部门提供的一

40、组实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k 2 1 kvvtd模模 型型 最小二乘法最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间 车速车速 (英里英里/小时小时) (英尺英尺/秒秒) 实际刹车距离实际刹车距离 （英尺）（英尺） 计算刹车距离计算刹车距离 （英尺）（英尺） 刹车时间刹车时间 （秒）（秒） 2029.342（44）39.01.5 3044.073.5（78）76.61.8 4058.7116（124）126.22.1 5073.3173（186）187.82.5 6088.0248（268）261.43.0 70102.7343（372）347.1

41、3.6 80117.3464（506）444.84.3 “2秒准则秒准则”应修正为应修正为 “t 秒准秒准 则则” 22 1 06. 075. 0vvkvvtd模模 型型 车速车速 (英里英里/小时小时) 刹车时间刹车时间 （秒）（秒） 201.5 301.8 402.1 502.5 603.0 703.6 804.3 车速（英里车速（英里/小时）小时）010104040606080 t（秒）（秒）1234 系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0 总和总和 200 100.0

42、20.0 20 21席的分配席的分配 比例比例 结果结果 10.815 6.615 3.570 21.000 21 问问 题题 三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表 会议共会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席。 现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103, 63, 34, 问问20席如何分配。席如何分配。 若增加为若增加为21席，又如何分配。席，又如何分配。 比比 例例 加加 惯惯 例例 对对 丙丙 系系 公公 平平 吗吗 系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分

43、配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20 系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4 总和总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配席的分配 比例比例 结果结果 10.815 11 6.615 7 3.570 3 21.000 21 “公平公平”分配方分配方 法法 衡量公平分配的数量指标衡量公

44、平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1 B方方 p2 n2 当当p1/n1= p2/n2 时，分配公平时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的绝对不公平度的绝对不公平度 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1 p2/n2=5 但后者对但后者对A的不公平的不公平 程度已大大降低程度已大大降低! ! 虽二者的绝对虽二者的绝对 不公平度相同不公平度相同 若若 p1/n1 p2/n2 ，对，对 不公平不公平A

45、 p1/n1 p2/n2=5 公平分配方案应公平分配方案应 使使 rA , rB 尽量小尽量小 设设A, B已分别有已分别有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A, 还是还是B 不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对，即对A不公平不公平 ),( / / 21 22 2211 nnr np npnp A 对对A的相对不公平度的相对不公平度 将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量 类似地定义类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即即 “公平公平”分配方分配方 法法 若若

46、 p1/n1 p2/n2 ，定义，定义 1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给则这席应给 A 2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)， 应计算应计算rB(n1+1, n2) 应计算应计算rA(n1, n2+1) 若若rB(n1+1, n2) p2/n2 问：问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给则这席应给 B 当当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给该席给A rA, rB的定义的定义 )1()1( 11 2 1 22 2 2 nn p nn p 该席给该席给A 否则否则, 该席给该席给B , 2 , 1, )1( 2 i

47、 nn p Q ii i i 定义定义该席给该席给Q值较大的一方值较大的一方 推广到推广到m方方 分配席位分配席位 该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法 mi nn p Q ii i i ,2 , 1, )1( 2 计算， 三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21个席位个席位 按人数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席分配完毕席分配完毕 甲系：甲系：p1=103, n1=10 乙系：乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：丙系：p3= 34, n3= 3 用用Q值方法分配值方法分配 第第20席和第席和第21席席 第第20席席3 .96 43 34 , 5

48、.94 76 63 , 4 .96 1110 103 2 3 2 2 2 1 QQQ 第第21席席 32 2 1 , 4 .80 1211 103 QQQ 同上同上 Q3最大，第最大，第 21席给丙系席给丙系 甲系甲系1111席，乙系席，乙系6 6席，丙系席，丙系4 4席席 Q值方法值方法 分配结果分配结果 公平吗？公平吗？ Q1最大，第最大，第20席给甲系席给甲系 构造数学模型，说明为什么不能用一级火箭而必须用多级构造数学模型，说明为什么不能用一级火箭而必须用多级 火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？ 1 1、为什么不能用一级火

49、箭发射人造卫星、为什么不能用一级火箭发射人造卫星? ? （1 1）卫星能在轨道上运动的最低速度）卫星能在轨道上运动的最低速度 假设：假设： （i i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星 在此轨道上作匀速圆周运动。在此轨道上作匀速圆周运动。 （iiii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫 星的引力忽略不计。星的引力忽略不计。 分析：分析： 根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: 2 km F r 在地面有在地面有: : 2 km mg R 得得: : k=g

50、R2 R R为地球半径，为地球半径， 约为约为64006400公里公里 故引力故引力: : 2 R Fmg r 假设(ii) 5 5 为什么要用三级火箭发射人造卫星为什么要用三级火箭发射人造卫星 dm m-dm v u-v 假设(i) 卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 故又有故又有: : 2 m F r 从而从而: : g R r 设设g=9.81g=9.81米米/ /秒秒2 2，得，得: : 卫星离地面高度卫星离地面高度 ( (公里公里) ) 卫星速度卫星速度 ( (公里公里/ /秒秒) ) 100100 200200 400400

51、 600600 800800 10001000 7.807.80 7.697.69 7.587.58 7.477.47 7.377.37 7.867.86 （2 2）火箭推进力及速度的分析）火箭推进力及速度的分析 假设：假设：火箭重力及空气阻力均不计火箭重力及空气阻力均不计 分析：分析：记火箭在时刻记火箭在时刻t的质量和速度分别为的质量和速度分别为m(t)和和(t) 2 ()( )() dm m ttm ttOt dt 有：有： 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数），（常数）， 由动量守恒定理：由动量守恒定理： 2 ( ) ( )() ()()( (

52、) dm m ttm tttttOttu dt 0 0和和m m0 0一定的情况下，一定的情况下， 火箭速度火箭速度(t)(t)由喷发由喷发 速度速度u u及质量比决定。及质量比决定。 ddm mu dtdt 故：故：由此解得：由此解得： 0 0 ( )ln ( ) m tu m t ( (3.11) ) （2 2）火箭推进力及速度的分析）火箭推进力及速度的分析 现将火箭现将火箭卫星系统的质量分成三部分：卫星系统的质量分成三部分： （i）mP（有效负载，如卫星）（有效负载，如卫星） （ii）mF（燃料质量）（燃料质量） （iii）mS（结构质量（结构质量如外壳、燃料容器及推进器）。如外壳、燃料

53、容器及推进器）。 最终质量为最终质量为mP + mS ，初始速度为，初始速度为0， 所以末速度：所以末速度： ln O PS m u mm 根据目前的技术条件和燃料性根据目前的技术条件和燃料性 能，能，u只能达到只能达到3公里公里/秒，即使秒，即使 发射空壳火箭，其末速度也不发射空壳火箭，其末速度也不 超过超过6.6公里公里/秒。秒。 目前根本不目前根本不 可能用一级火箭发射人造卫星可能用一级火箭发射人造卫星 火箭推进力在加速整个火箭时，其火箭推进力在加速整个火箭时，其 实际效益越来越低。如果将结构质实际效益越来越低。如果将结构质 量在燃料燃烧过程中量在燃料燃烧过程中不断减少，那不断减少，那

54、么末速度能达到要求吗？么末速度能达到要求吗？ 2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 假设：假设： 记结构质量记结构质量mS在在mS + mF中占的比例为中占的比例为，假设火，假设火 箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量 与燃料质量以与燃料质量以与（与（1-）的比例同时减少。）的比例同时减少。 建模建模: : 由由 2 ( ) ( )()( )(1)( ( )() dmdm m ttm tttttutOt dtdt 得到：得到： (1) dmdm mu dtdt 解得：解得： 0 ( )(1)ln ( ) m tu m t 理想火箭与一级火箭

55、最大的区别在于，当火箭燃料理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料 耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP， 所以最终速度为：所以最终速度为： 0 (1)ln P m u m 只要只要m0足够大，我们可以足够大，我们可以 使卫星达到我们希望它具使卫星达到我们希望它具 有的任意速度。有的任意速度。 考虑到空气阻力和重力等因素，估考虑到空气阻力和重力等因素，估 计（按比例的粗略估计）发射卫星计（按比例的粗略估计）发射卫星 要使要使=10.5公里公里/秒才行，则可推秒才行，则可推 算出算出m0/ mp约为约为51,即发射一吨重的即发射一吨重的 卫

56、星大约需要卫星大约需要50吨重的理想火箭吨重的理想火箭 哈哈，我还是有可能哈哈，我还是有可能 上天的！上天的！ 3 3、理想过程的实际逼近、理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统多级火箭卫星系统 记火箭级数为记火箭级数为n，当第，当第i级火箭的燃料烧尽时，第级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火级火 箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用级火箭。用mi表示第表示第 i级火箭的质量，级火箭的质量，mP表示有效负载。表示有效负载。 为简单起见，先作如下假设：为简单起见，先作如下假设： （i）设各级火箭具有相同的）设各级火箭具有相同的 ,即即i级火箭中级火箭中mi为结构为结构 质量，（质量，（1-）mi为燃料质量。为燃料质量。 （ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，设