生活中的优化问题举例

1、3.4生活中的优化问题举例i敖挈效法分析 明谯标分皋解津魂做法亶gy（教师用书独具）三维目标1 .知识与技能通过用料最省，利润最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，并且会利用导数解决简单的实际生活优化问题.2 .过程与方法让学生参与问题的分析， 探究解决过程，体会数学建模，从而掌握用导数法解决优化问 题的方法.3 .情感、态度与价值观形成数学建模思想，培养学生应用数学意识， 进一步体会导数作为解决函数问题的工具性.激发学生学习热情，培养学生解决问题的能力和创新能力. 重点、难点重点：利用导数解决生活中的一些优化问题.难点：优化问题的数学建模与求解方法的掌握.敖空方案设h.迨皴素

2、汰枉细解导”学熊“目+（教师用书独具） 教学建议教学中，先给出一些有背景的问题，让学生从生活经验角度思考问题，在此基础上，逐步引入的数学问题， 按照学生的思维过程，逐步展开问题、解决问题，然后再给出一些有思维价值的题目，让学生在分析问题、解决问题的过程中，体会数学建模的过程，培养应用数 学的意识和能力，同时化解了本节的重点，突破了难点. 教学流程课标解读1 .掌握应用导数解决实际问题的基本思路.(重点)2 .灵活用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题， 解决问题的能力.(难点)导数在实际问题中的应用生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,一这些问题通常称为优化问 题.【问题导

3、思】优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略，而实际问题中的利润、 用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函数的什么性质联系密切？【提示】函数的最大、最小值.|面积体积的最值问题用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90。，再焊接而成.则该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【思路探究】设自变量(局)为x 错误！错误！一错误！【自主解答】 设容器的高为x cm,容器的容积为 v(x)cm3,则v(x) = x(90 2x)(48 2x)=4x3- 276x2 + 4 320x(0 v xv 2

4、4).所以 v(x)= 12x2- 552x + 4 320= 12(x246x+360)= 12(x-10)(x- 36).令 v (x)=0,得 x=10 或 x=36(舍去).当0vxv 10时,v (x)0,即v(x)是增加的；当10vxv24时，v (x)0,即v(x)是减少的.因此，在定义域(0,24)内，函数v(x)只有当x= 10时取得最大值，其最大值为 v(10)=19600(cm 3).因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.ii规律方法i1 .求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积

5、的函数，然后再用导数求最值.2 .实际问题中函数定义域确定的方法：(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长宽、高都大于零.(2)根据问题的实际意义确定定义域.如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则如何截可使正方形与圆的面积之和最小?【解】设弯成圆的一段铁丝长为x cm,则另一段长为(100 x) cm,正方形的边长为100 xx4 cm,圆的半径=互cm.记正方形与圆的面积之和为s,x 100 一 x 4+ 兀 25-s=兀身2+ (-)2 = 76x2-初+ 625(0 v xv 100).又s4+、2587tx 2

6、，令 s =0,则 x=100兀.4+兀17.s是关于x的二次函数，由其性质可知当x= 詈一cm时，面积之和最小.娶啮二用料最省、费用最低问题图 341某单位用木料制作如图 3-4-1所示的框架，框架的下部是边长分别为 x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2,问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001 m）【思路探究】（1）根据题意，你能找出 x、y之间的关系式吗？能把框架的周长表示成 x的函数吗？ （2）你能确定上函数的定义域并用导数求出最小值吗?【自主解答】依题意，有1 xxy+万 x 5= 8,8 x2所以 y=_x=8_4（0x 4v2）,

7、于是框架用料长度为16xl = 2x+ 2y+ 2（专）=（|+ v2）x+316令 i =0,即 |+镜一16=0,解得 x1= 8-42, x2=4j28（舍去）.当 0vxv 8 4也时，l v0;当 8-4z2x0, 所以当x=8 4亚时，i取得最小值.此时，x= 8-45/22.343 m, y2.828 m.即当x为2.343 m, y为2.828 m时，用料最省.ii规律方法i1 .本题是用料最省问题，此种类型也可以用不等式解决，但有时运算量较大，用导数 解决较为合理.2 .用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省（往往要从几何体的面积、体

8、积入手），将这一指标表示为自变量 x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围. -.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为560 +48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平购地总费用均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=:肾制 )【解】设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则2 160x 10 000 f(x)= (560 + 48x) + 2-000x=560+ 48x+10 80

9、0x(x 10,xc n*),f (x) = 48 10 800令 f (x)=0 得 x=15,当 x15 时,f (x)0;当 0vxv 15 时，f (x)0),已知生产此产品的年固定投 x+ 1入为3万元，每生产1万件此产品需再投入 32万元.若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费收入100万元，企业 是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？【思路探究】(1)在本例中如何求企业的年利润？怎样判断企业是亏损还是盈利？(2)如何用导数法求最大利润？【自主解答

10、】(1)由题意，每年产销 q万件，共计成本为(32q+3)万元.销售收入是(32q+3) 150% + x 50%,，年利润y =年收入一年成本年广告费=112(32q+3-x)=(32x3x+ 1+ 3 x)= x+ 1-x2+98x+ 352 x+ 1(x0),-x2 + 98x+35.所求的函数关系式为 y =(x0).当x= 100时，y0)可得2 x+ 1-2x+ 98 x+1 x2+98x+ 352;r-x2-2x+ 632 x+ 1 2令 f (x)=0,则 x2+2x 63=0.x= 9(舍去)或 x=7.又. .xc (0,7)时，f (x)0; xc (7, + 8)时，f

11、(x)0, .f(x)极大值=f(7) = 42.又二.在(0, +8)上只有一个极值点，. f(x)max= f(x)极大值=f(7)= 42.故当年广告费投入 7万元时，企业年利润最大.ii规律方法i1 .利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润=收入一成本”建立函数 关系式，再用导数求最大值.商品的价格要高于生产商品的成本，否则会亏本.2 .解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误.变式sls已知某商品生产成本 c与产量q的函数关系式为 c=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为p=25-8q,求产量q为何

12、值时，利润l最大?收入 r= q p= q(25 8q)=25q 8q2.禾ij润 l = r c = (25q 1q2) (100 + 4q) = 1q2 + 21q 100(0q0;当 84q200 时，l 0,所以当q=84时，l取得最大值，最大值为 782.答：当产量为84时，利润取得最大值 782.分类讨论的思想在优化问题中的应用卜典例i （12分）工厂生产某种产品，次品率 p与日产量x（万件）间的关系为1 c-， 0xc,3已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.（1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数;次品数（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少

13、万件？（注：次品率=产品总数x100%）【思路点拨】【规范解答】(1)当x c时，p=|,3y=(13)x 33x3=0; 2 分 33 2当 0 v xw c 时，p=,6-x y=(1 1)x 3- 6-x16-x3 9x9x22 6-x.4分日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系为3 9x 2x,0v xw c, y=2 6-x（c 为常数，且 0vcv 6）.5 分0, xc,（2）由知,当xc时,日盈利额为 0.6分当0vxwc时，3 9x2x2y=7r，,3 9-4x 6-x+9x-2x2 y 2作 22 6-x23 x-3 x-9=-2 ，8 分6-x 2令y =0,得x

14、=3或x=9（舍去）.当0vcv 3时，y 0, . .y在区间（0, c上单调递增,3 9c 2c2. y最大值=f（c）=.9分2 6-c当 3wcv 6 时，在（0,3）上，y 0,在（3, c）上，y 0;当 x9 时，y 0.故当x= 9时函数有极大值，也是最大值. 【答案】 c2.某箱子的容积与底面边长x的关系为v(x) = x2 -02=2 (0x60),则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为()a. 30 b. 40 c. 50 d. 35 x33 c【解析】v (x)= 30x2-2- =60x-3x2, x (0,60).令 v (x)= 0,得 x= 40.当x=40,箱子

15、的容积有最大值. 【答案】 b3 .把长60 cm的铁丝围成矩形，当长为 cm,宽为 cm时，矩形面积最大.【解析】设长为x cm,则宽为(30 x)cm,所以面积s= x(30- x)= - x2+ 30x,由s=2x+ 30= 0,得 x= 15.【答案】15,154 .做一个无盖的圆柱形水桶，若需其体积是270且用料最省，求此时圆柱的底面半径为多少？【解】设底面半径为r,则高h=2ir2. s= 2 巾 h+ 2= 2 4穹+ 巾2=4 2 r2rs = 2 tf- 2,令 s =0,得 r=3. r经验证，当r=3时，s最小.答：圆柱的底面半径为3时用料最省、选择题1 .甲工厂八年来某

16、种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图3 4 2所示.(图 3-4-2现有下列四种说法：前四年该产品产量增长速度越来越快；前四年该产品产量增长速度越来越慢；第四年后该产品停止生产；第四年后该产品年产量保持不变.其中说法正确的有()a.b.c.d.【解析】 由图象可知，是正确的.【答案】b2.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相 等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去 的正方形的边长为()a . 6 cmb. 8 cmc. 10 cmd . 12 cm【解析】设截去小正方形的边长为 x cm,铁盒的容积为 v

17、 cm3.所以 v=x(482x)2(0vx0), lx 、512=2 一三令 l =0,得 x= 16 或 x= 16（舍去）.l在(0, + 8)上只有一个极值点，它必是最小值点.x= 16,512= 32.故当堆料场的宽为16 m,长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省.【答案】b5 .某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比 例系数为k(k0).已知贷款的利率为 0.048 6,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设 存款利率为x, xc (0,0.048 6),若使银行获得最大效益，则x的取值为()b. 0.032 4a. 0.016 2c. 0.02

18、4 3d. 0.048 6【解析】依题意，存款量是kx2,银行支付的利息是 kx3,贷款的收益是0.048 6kx2,其中 xc (0,0.048 6).所以银行的收益是 y= 0.048 6kx2-kx3(0 x0;当 0.032 4vxv 0.048 6 时，y 0）, x 5 y =一岑+5,令 y =0，得x= 5或x= 5（舍去）.当 0vxv 5 时，v, 5 时，y 0.当x= 5时，y取得极小值，也是最小值.，当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小.【答案】5三、解答题9 .某工厂有一段旧墙长 14 m,现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积 为126 m 2的

19、厂房，工程条件是：a 一（1）建1 m新墙的费用为a元；（2）修1 m旧墙的费用为4兀；（3）拆去1 m旧墙，用可得的建材建1 m新墙的费用为a元，经讨论有两种方案：利用旧墙一段x m（0x 14,问如何利用旧墙建墙费用最省？试比较，两种方案哪个更好.【解】 方案：修旧墙费用x 1,拆旧墙造新墙费用为（14 x）其余新墙费用为（2x+- 14）a,x，总费用 y=7a(4+36-1)(0x 14) x 2“14 时，(x+十):1一季0函数x+126在14, +8)上递增x.当 x= 14 时,ymin= 35.5a故采用方案更好些.10 .请您设计一个帐篷， 它下部的形状是高为 1 m的正六

20、棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥.试问当帐篷的顶点。到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？最大体积是多少？【解】 如图，设oo1为x m,则1vxv4.由题设可得正六棱锥底面边长为32- x - 1 2 = 7 8+ 2x- x2.于是底面正六边形的面积为33 596 4( y8+ 2x-x2)2 = 2(8 + 2x-x2).帐篷的体积为v(x) = 323(8 +2x-x2)3(x-1)+1,33=(16 + 2x-x3).求导数，得 v (x) = (12 3x2).令v (x)=0,解得x= 2(不合题意，舍去)，x= 2.当 1vxv 2 时，v (x)0, v(x

21、)为增函数;当 2vxv 4 时，v (x)0, v(x)为减函数,所以当x=2时，v(x)最大.所以当ooi为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为16/3 m3.11.某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率p与4 200 x2每日生厂量x(xc n*)件之间的关系为 p=4x，每生厂一件正品盈利4 000兀，每出现4 500一件次品亏损2 000元.(注：正品率=产品中的正品件数干品总彳数x 100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值.4 200-x24 200-x2【解】(1) -y=4 000 * 4 500 x-2 皿。4 500 )x=3 600x-4x3, 3所求的函数关系式是y= 4x3+3 600x(x c n*,1 w x0;当 30vxw40 时，y 0.，函数y= -4x3+3 600(xc n*,1x4