导学案：正多边形和圆

1、24.3正多边形与圆学习目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形;3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。学习过程：一、情境创设观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗?提问：1.等边三角形的边、角各有什么性质?2 正方形的边、角各有什么性质？二、探索活动活动一观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念概念：叫做正多边形。(注：各边相等与各角相等必须同时成立)提问：矩

2、形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有n(n 3)条边，就叫正n边形等边三角形有三条边叫 正三角形，正方形有四条边叫正四边形.活动二用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系1用量角器将一个圆n （n3）等分，依次连接各等分点所得的 n边形是 这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。活动三探索正多边形的对称性问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴 对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中

3、心。问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆， 并且为同心圆圆心就是正多边 形的中心。分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分要将圆五 等分，把等分点顺次连结，可得正五边形要将圆六等分呢？你知道为什 么吗？思考：任何一个正多边形既是轴对称图形， 又是中心对称图形吗？跟边数有何关 系？结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有_条对称轴，每条对称轴都通 过正n边形的; 一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对_称图形，又是中心对称图形。活动四利用直尺与圆规作特殊的正多边形问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。 思

4、考：如何作正八边形正三角形、正十二边形? 拓展1:已知：如图，五边形 ABCD内接于。0, AB=BC=CD=DE=EA求证：五边形ABCD是正五边形.拓展2:各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形?三、典型例题例1 已知正六边形ABCDE,如图所示，其外接圆的半径是 a, ?求正六边形的 周长和面积.（分析：要求正六边形的周长，只要求 AB的长，已知条件是外接圆半径，因此 自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接 OA过0点作OMLAB垂于M, 在Rt AOM中便可求得AM又应用垂径定理可求得 AB的长.正六边形的面积是 由六块正三角形面积组成的 ）EDM BA例2.利用你手中的工具画一

5、个边长为 3cm的正五边形.四、课堂练习1、 正方形 ABCD勺外接圆圆心 0叫做正方形 ABCD勺.2、正方形ABCD勺内切圆O 0的半径0E叫做正方形ABCD勺3、 若正六边形的边长为 1那么正六边形的中心角是 ，半径是，边心距是，它的每一个内角是 .4、 正n边形的一个外角度数与它的 角的度数相等.5、P106 练习 1 、2五、课堂小结1、正多边形的概念、正多边形与圆的关系以及正多边形的对称性；2、利用直尺与圆规作一些特殊的正多边形。正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径 叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 正多边形各边所对 的外接圆的圆

6、心角都相等.正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形 的中心角正n边形的每个中心角都等于.六、课堂作业一、填空题（每题3分，共30分）1 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30，再沿 直线前进10米，又向左转30，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米.2 如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点 O （ A与O点重合）假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点 A恰好与数轴上点A重合，则点A对应的实数是3如图，将边长为8cm的正方形ABCD勺四边沿直线I想右滚动（不滑动），当正 方形滚动两周时，正方形的顶点 A所经过的路线的长是cm

7、.4如图，OA、OE、OC、OD相互外离，它们的半径都是 1顺次连结四个圆心得到四边形 ABCD，则图中四个扇形（阴影部分）的面积之和等于ADBC(第 4 题):（结果保留 n）AD (B) (A)ADiBC (D)BC(第3题)5. 中央电视台大风车栏目图标如图甲，其中心为O，半圆ACB固定，其半径为2r , 车轮为中心对称图形，轮片也是半圆形，小红通过观察发现车轮旋转过程中 留在半圆 ACB内的轮片面积是不变的（如图乙），这个不变的面积值是（第 5题）（第8题）6已知圆锥的侧面展开图是一个半园，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是.7学生小颖自制一个无底圆锥形纸帽，圆锥底面圆的半径为5cm

8、，母线长为16cm，那么围成这个纸帽的面积（不计接缝）是cm2 （结果保留三个有效数字）.8图（1）、图（2）是两种方法把6根圆形钢管用钢丝捆扎的截面图.设图（1）、图（2）两种方法捆扎所需钢丝绳的长度是a、b （不记接头部分），则a b的大小关系为：ab （填“S2D.无法确定16. 将如右图所示的圆心角为 90的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径0A与0B重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是( )論B IBAC17. 如图，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm底面圆的直径为10cm,那么小丽要制作的这个圆锥的侧面展开扇形的纸片的圆心角度数是( )A.

9、150B. 200C. 180D. 24018. 如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是( )A. p2)nR B . (-)nR C . (-)nJR D . e_2)nR2 2 2 2（第 18 题）（第 19 题）三、解答题(共46分)19. (8分)右图的花环状图案中，ABCDE和A1B1C1DE1F1都是正六边形.(1) 求证：/仁/ 2;(2) 找出一对全等的三角形并给予证明.20. (10 分)如图 1、2、3、n, M N分别是。O的内接正三角形ABC正方形ABCD正五边形 ABCDE、正

10、n边形ABCDE的边ABBC上的点，且BM=CN 连结 OM ON图1图2DNM图3FB图n(1) 求图1中/ MON勺度数；(2) 图2中/ MON勺度数是 图3中/MON勺度数是;(3) 试探究/ MON勺度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).21. (10分)如图1, M , N分别表示边长为a的等边三角形和正方形，P表示直径为a的圆.图2是选择基本图形M, P用尺规画出的图案，3 2 二 2S阴影aa .48(1) 请你从图1中任意选择两种基本图形，按给定图形的大小设计一个新图案，还要选择恰当的图形部分涂上阴影，并计算阴影的面积；(尺规作图，不写作法，保留痕迹，作直角时可以使用三

11、角板)(2) 请你写一句在完成本题的过程中感受较深且与数学有关的话.22. （8分）如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦关与小半 圆相切，且AB=24 问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若 不能，试说明理由.23. （10分）如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB= 12cm，高BC =8cm，求这个零件的表面积.（结果保留二）Ion、填空题1.120 2 .二 3 .(16 8 2)二4 .二5 .二r2 6.2: 17 .251 8 .=9 .210.相等二、选择题11. B 12 .C 13.D 14 . D15 .A 16 . B17