小学奥数《容斥原理》[教育类别]

1、1培训类 【例题分析例题分析】 例例1. 有长有长8厘米，宽厘米，宽6厘米的长方厘米的长方 形与边长形与边长5厘米的正方形。如图放厘米的正方形。如图放 在桌面上，求这两个图形盖住桌在桌面上，求这两个图形盖住桌 面的面积？面的面积？ 2培训类 例例2. 六一班参加无线电小组和航六一班参加无线电小组和航 模小组的共模小组的共26人，其中参加无线人，其中参加无线 电小组的有电小组的有17人，参加航模小组人，参加航模小组 的有的有14人，两组都参加的有多少人，两组都参加的有多少 人？人？ 3培训类 例例3. 六一班有学生六一班有学生46人，其中会人，其中会 骑自行车的有骑自行车的有19人，会游泳的有人

2、，会游泳的有 25人，既会骑车又会游泳的有人，既会骑车又会游泳的有7 人，既不会骑自行车又不会游泳人，既不会骑自行车又不会游泳 的有多少人？的有多少人？ 4培训类 例例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、某年级的课外小组分为美术、音乐、 手工三个小组，参加美术小组有手工三个小组，参加美术小组有20人，人， 参加音乐小组有参加音乐小组有24人，参加手工小组有人，参加手工小组有 31人，同时参加美术和音乐两个小组有人，同时参加美术和音乐两个小组有 5人，同时参加音乐和手工两个小组有人，同时参加音乐和手工两个小组有6 人，同时参加美术和手工两个小组的有人，同时参加美术和手工两个小组的有 7人，三个

3、小组都参加的有人，三个小组都参加的有3人，这个年人，这个年 级参加课外小组的同学共有多少人？级参加课外小组的同学共有多少人？ 5培训类 一次期末考试，某班有一次期末考试，某班有15人数学人数学 得满分，有得满分，有12人语文得满分，并人语文得满分，并 且有且有4人语、数都是满分，那么人语、数都是满分，那么 这个班至少有一门得满分的同学这个班至少有一门得满分的同学 有多少人？有多少人？ 6培训类 容斥原理容斥原理 在计数时，为了使重叠部分不被重在计数时，为了使重叠部分不被重 复计算，人们研究出一种新的计数复计算，人们研究出一种新的计数 方法，这种方法的基本思想是：先方法，这种方法的基本思想是：先

4、 不考虑重叠的情况，把包含于某内不考虑重叠的情况，把包含于某内 容中的所有对象的数目先计算出来，容中的所有对象的数目先计算出来， 然后再把计数时重复计算的数目排然后再把计数时重复计算的数目排 斥出去，使得计算的结果既无遗漏斥出去，使得计算的结果既无遗漏 又无重复，这种计数的方法称为容又无重复，这种计数的方法称为容 斥原理。斥原理。 7培训类 容斥原理容斥原理 一次期末考试，某班有一次期末考试，某班有15人数学得满分，人数学得满分， 有有12人语文得满分，并且有人语文得满分，并且有4人语、数都人语、数都 是满分，那么这个班至少有一门得满分是满分，那么这个班至少有一门得满分 的同学有多少人？的同学

5、有多少人？ 如果被计数的事物有如果被计数的事物有A、B两类，两类， 那么，那么，A类或类或B类元素个数类元素个数= A类元素类元素 个数个数+ B类元素个数类元素个数既是既是A类又是类又是B 类的元素个数。类的元素个数。 8培训类 某班学生每人家里至少有空调和电脑某班学生每人家里至少有空调和电脑 两种电器中的一种，已知家中有空调两种电器中的一种，已知家中有空调 的有的有41人，有电脑的有人，有电脑的有34人，二者都人，二者都 有的有有的有27人，这个班有学生多少人？人，这个班有学生多少人？ 9培训类 一个班有一个班有45名学生，订阅名学生，订阅小学生数小学生数 学报学报的有的有15人，订阅人，

6、订阅今日少年报今日少年报 的有的有10人，两种报纸都订阅的有人，两种报纸都订阅的有6人。人。 （1）订阅报纸的总人数是多少？（）订阅报纸的总人数是多少？（2） 两种报纸都没订阅的有多少人？两种报纸都没订阅的有多少人？ 容斥原理容斥原理 10培训类 在在1到到1000的自然数中，能被的自然数中，能被3 或或5整除的数共有多少个？不能整除的数共有多少个？不能 被被3或或5整除的数共有多少个？整除的数共有多少个？ 11培训类 某校选出某校选出50名学生参加区作文比名学生参加区作文比 赛和数学竞赛，作文比赛获奖的有赛和数学竞赛，作文比赛获奖的有 16人，数学比赛获奖的有人，数学比赛获奖的有12人，人，

7、 有有5人两项比赛都获奖了。人两项比赛都获奖了。 （1）共有多少人获奖？）共有多少人获奖？ （2）两项比赛都没获奖的有多少）两项比赛都没获奖的有多少 人？人？ 12培训类 某校六（某校六（1）班有学生）班有学生54人，每人人，每人 在暑假里都参加体育训练队，其中在暑假里都参加体育训练队，其中 参加足球队的有参加足球队的有25人，参加排球队人，参加排球队 的有的有22人，参加游泳队的有人，参加游泳队的有34人，人， 足球、排球都参加的有足球、排球都参加的有12人，足球、人，足球、 游泳都参加的有游泳都参加的有18人，排球、游泳人，排球、游泳 都参加的有都参加的有14人，问：三项都参加人，问：三项

8、都参加 的有多少人？的有多少人？ 13培训类 如果被计数的事物有如果被计数的事物有A、B、C三类，三类， 那么，那么，A类或类或B类或类或C类元素个数类元素个数= A类元素个数类元素个数+ B类元素个数类元素个数+C类类 元素个数元素个数既是既是A类又是类又是B类的元类的元 素个数素个数既是既是A类又是类又是C类的元素类的元素 个数个数既是既是B类又是类又是C类的元素个类的元素个 数数+既是既是A类又是类又是B类而且是类而且是C类的类的 元素个数。元素个数。 14培训类 1、四（、四（1）班有）班有40个学生，其中个学生，其中25 人参加数学小组，人参加数学小组，23人参加航模小组，人参加航模

9、小组， 有有19个人两个小组都参加了，那么，个人两个小组都参加了，那么， 有多少人两个小组都没有参加？有多少人两个小组都没有参加？ 2、有、有100位旅客，其中有位旅客，其中有10人既不人既不 懂英语又不懂俄语，有懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，人懂英语， 83人懂俄语，问既懂英语又懂俄语的人懂俄语，问既懂英语又懂俄语的 有多少人？有多少人？ 3、求不超过、求不超过100的自然数中，不能被的自然数中，不能被 3、5中任何一数整除的数的个数。中任何一数整除的数的个数。 15培训类 4、在一次数学测验中，所有同学都答、在一次数学测验中，所有同学都答 了第了第1、2两题，其中答对第两题，其中答对第

10、1题的有题的有35 人，答对第人，答对第2题的有题的有28人，这两题都答人，这两题都答 对的有对的有20人，没有人两题都答错。一共人，没有人两题都答错。一共 有多少人参加了这次数学测验？有多少人参加了这次数学测验？ 5、一个俱乐部里，会下中国象棋的有、一个俱乐部里，会下中国象棋的有 69人，会下国际象棋的有人，会下国际象棋的有52人，这两种人，这两种 棋都不会下的有棋都不会下的有12人，都会下的有人，都会下的有30人。人。 这个俱乐部里有多少人？这个俱乐部里有多少人？ 16培训类 6、全班有、全班有50人，不会骑车的有人，不会骑车的有23 人，不会滑旱冰的有人，不会滑旱冰的有35人，两样人，两样 都会的有都会的有5人。问：两样都不会的人。问：两样都不会的 有多少