第五章 数控装置的轨迹控制原理

1、 0 eije yxyx 0 eije yxyx e e i j x y x y 0 eije yxyx e e i j x y x y eijei yxyxF e e i j x y x y 点在直线下方点在直线下方 点在直线上方点在直线上方 点在直线上点在直线上 0 0 0 0 ij F 0 ij F 0 ij F 1i F 1i F eije yxyx)1( eeije yyxyx ei yF eije yxyx)1( eeije xyxyx ei xF 0 i F 0 i F eii yFF 1 eii xFF 1 1 终终 EE ji eijei yxyxF x y 0)()( 2

2、0 22 0 2 yyxx ji 0)()( 2 0 22 0 2 yyxx ji 2 0 2 0 22 yxyx ji 0)()( 2 0 22 0 2 yyxx ji 2 0 2 0 22 yxyx ji )()( 2 0 22 0 2 yyxxF jii 2 0 2 0 22 yxyx ji 点点在在圆圆弧弧内内 点点在在圆圆弧弧外外 点点在在圆圆弧弧上上 0 0 0 1i F 1i F 1 1 ii xx 1 1 jj yy jj yy ii xx 0 i F 0 i F 0 i F 2 0 22 0 2 ) 1(yyxx ji 12 ii xF 2 0 22 0 2 ) 1(yyxx

3、 ji 12 ji yF 0 i F 0 i F 12 1 iii xFF 12 1 iii yFF 1 终终 EE ji 1 1 ii xxii yy 1 1 1 ii yy ii xx ）（）（ 2 0 22 0 2 yyxxF jii x y 0 i F 0 i F 12 1 iii xFF 12 1 jii yFF eii yFF 1 eii xFF 1 0 i F 0 i F x y y x F0: 应往应往X轴绝对值增大方向走轴绝对值增大方向走 步步; F0: 应往应往Y轴绝对值增大方向走步。轴绝对值增大方向走步。 逐点比较法插补的象限处理应遵循以下逐点比较法插补的象限处理应遵循以

4、下 原则：原则： 一、是靠近待加工轨迹。 二、是跟踪待加工轨迹走向。 5.3数字积分法数字积分法 数字积分法：数字微分分析器（数字积分法：数字微分分析器（Digital Differential Analyzer，简称，简称DDA）。）。 优点：优点： 运算速度快、脉冲分配均匀、运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现多坐易于实现多坐 标联动标联动或多坐标空间曲线的插补。或多坐标空间曲线的插补。 求函数求函数y=f（x）对）对x的积分运算，是求函数的积分运算，是求函数 曲线与曲线与X轴在积分区间所包围的面积轴在积分区间所包围的面积 F。 yi+1 yi y=f (x) O xn=b X Y yi x

5、i+1x0=axi 求面积求面积F可转化成可转化成 数字运算时，一般取数字运算时，一般取x为为单位单位“1”，即一个脉，即一个脉 冲当量，则冲当量，则 xyFF n i i n i i 1 0 1 0 1 0 n i i yF 函数的积分运算变成了对变量的求和运算函数的积分运算变成了对变量的求和运算 起点起点O（0,0），终点），终点A（xe , ye），设进给速度），设进给速度V 是均匀的，直线长度是均匀的，直线长度L，则有，则有 k y V x V L V e y e x ey ex kyV kxV XO Y V Vx Vy A(xe、ye) 5.3.1 DDA法直线插补法直线插补 t时间

6、内，时间内，X和和Y方向移动的微小增量方向移动的微小增量x、y ： tkytVy tkxtVx ey ex 动点从原点走向终点，可看作是各坐标每经过一动点从原点走向终点，可看作是各坐标每经过一 个个 t 分别以增量分别以增量 kxe、kye 累加的结果。累加的结果。 设经过设经过 m 次累加次累加X和和Y方向到达方向到达A（xe , ye），则：），则： tmkytkyy tmkxtkxx e m i ee e m i ee )( )( 1 1 取取t1， 则则 ee ee mkyy mkxx e e kyy kxx tmkytkyy tmkxtkxx e m i ee e m i ee )(

7、 )( 1 1 tkytVy tkxtVx ey ex mk=1 k m 1 m 是整数，所以是整数，所以 k为小数。选取为小数。选取 k 时考虑：时考虑： 1 1 e e kyy kxx xe 、ye最大值（寄存器位数最大值（寄存器位数 n）为为2n1，所以，所以 一般取一般取 n k 2 1 说明：说明： DDADDA直线插补整个过程需要直线插补整个过程需要2 2n n次累加能到达终点。次累加能到达终点。 12 1 n k k（2n1）1 1 1 e e kyy kxx ，则：，则： m2n 思考：当思考：当k=1/2n时，对二进制数来说，时，对二进制数来说， kxe与与xe有何不一样有何

8、不一样? ? 只在于小数点的位置不同，将只在于小数点的位置不同，将xe的小数点的小数点 左移左移n位即为位即为kxe。 n 位内存中存放位内存中存放xe 和和kxe的数字是相同的，认的数字是相同的，认 为后者小数点出现在最高位数为后者小数点出现在最高位数 n 的前面。的前面。 对对kxe、kye的累加转变为对的累加转变为对xe 与与ye的累加。的累加。 X XY Y平面的平面的DDADDA直线插补器的示意图：直线插补器的示意图： 0 0 t Y 轴溢出脉冲轴溢出脉冲 X 轴溢出脉冲轴溢出脉冲 + + 被积函数寄存器被积函数寄存器 JVY（ye） Y积分累加器 积分累加器 JRY X积分累加器积

9、分累加器 J RX 被积函数寄存器被积函数寄存器 JVX（ （x e） ） + + 插补迭代插补迭代 控制脉冲控制脉冲 x y y x 直线插补直线插补终点判别终点判别： m =2n 为终点判别依据为终点判别依据 插插 补补 第第 一一 象象 限限 直直 线线 流流 程程 图图 Y N Y N Y N Mm- 1 Xe XeXe Ye YeYe 初 始 化xeXe，yeYe， 累 加 次 数mM， Xe、Ye清 零 M = 0吗 ？ Ye有 溢 出 吗 ？ Xe有 溢 出 吗 ？ +Y向 走 一 步 +X向 走 一 步 结 束 m m2 24 41616。 插补计算过插补计算过 程见表，轨程见

10、表，轨 迹如图示。迹如图示。 A(8,6) 插 补 轨 迹 理 想 轨 迹 87 5 6 123456O 1 2 3 4 Y X 例例5-4 直线起点直线起点O（0，0），终点），终点A（8，6），）， 用四位寄存器，写出直线用四位寄存器，写出直线DDA插补过程并画出插补过程并画出 插补轨迹。插补轨迹。 插补其他象限直线：插补其他象限直线： 把坐标与脉冲进给方向分开；把坐标与脉冲进给方向分开； 取取终点坐标的绝对值存入被积函数寄终点坐标的绝对值存入被积函数寄 存器存器，插补计算公式与插补第一象限直线插补计算公式与插补第一象限直线 时一样；时一样； 脉冲进给方向是直线终点坐标绝对值脉冲进给方向是

11、直线终点坐标绝对值 增加的方向增加的方向。 ? Vy Vx V A R Y O X P(xi,yj) B(xe,ye) k x V y V R V i y j x iy jx kxV kyV 5.3.2 DDA法圆弧插补法圆弧插补 （第一象限逆圆弧）（第一象限逆圆弧） 刀具沿圆弧切线方向匀速进给，可认为比刀具沿圆弧切线方向匀速进给，可认为比 例常数例常数 k 为常数。为常数。 在一个单位时间间隔在一个单位时间间隔 t 内，内，x、y为为 ： tkxtVy tkytVx iy jx 用两个积分用两个积分 器实现圆弧器实现圆弧 插补，插补，k 的的 省略原因和省略原因和 直线时类同。直线时类同。

12、-1-1 +1+1 J VY 插补迭代控制脉冲插补迭代控制脉冲 t Y轴溢出脉冲轴溢出脉冲 X轴溢出脉冲轴溢出脉冲 + + Y积分累加器积分累加器JRY X积分累加器积分累加器JRX JVX + + x y (yi) (xi) DDA第一象限逆第一象限逆圆弧插补与直线插补的区别圆弧插补与直线插补的区别： 1xi，yj 存入存入JVX、JVY的对应关系与直线不同，恰好位的对应关系与直线不同，恰好位 置互调，即置互调，即 yj 存入存入JVX，而，而xi 存入存入JVY 中；中； 2直线插补时直线插补时 JVX、JVY寄存的是常数（寄存的是常数（ xe或或 ye）；圆）；圆 弧插补时寄存的是变量（

13、动点弧插补时寄存的是变量（动点 xi 或或 yj）。）。 起点时起点时JVX、JVY寄存寄存y0、x0； 插补时插补时JRY每溢出一个每溢出一个y脉冲，脉冲，JVX加加“1”；反之，；反之，JRX 溢出一个溢出一个x脉冲时，脉冲时，JVY减减“1”。 减减“1”的原因：刀具作逆圆运动时的原因：刀具作逆圆运动时 x 坐标作负方向进坐标作负方向进 给，动点坐标不断减少给，动点坐标不断减少 3 3圆弧插补终点判别用圆弧插补终点判别用2 2个计数器；直线迭代个计数器；直线迭代2 2n n 次 次 DDADDA法圆弧插补的法圆弧插补的终点判别：终点判别： 各轴各设一个终点判别计数器，当各轴终点各轴各设一

14、个终点判别计数器，当各轴终点 判别计数器都减为判别计数器都减为 0 时，停止插补。时，停止插补。 根据根据JVX、JVY的存数判断是否到达终点，如的存数判断是否到达终点，如 果果JVX中存数是中存数是ye、JVY中存数是中存数是xe，则到终点。，则到终点。 例例5-5 第一象限逆圆弧，第一象限逆圆弧， 起点起点A（5，0），终点），终点 B（0，5），用三位寄），用三位寄 存器，写出存器，写出DDA插补过插补过 程，画出轨迹图。程，画出轨迹图。 E X 5，E Y 5，X和和Y 积分器有溢出时，积分器有溢出时， EX、 EY减减“1”，均为，均为0时结时结 束。束。 插补计算过程见表，轨插补计

15、算过程见表，轨 迹如图。迹如图。 A 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5XO B Y A（0，5） B（5，0） n=3 EX5，EY5 练习：练习： B 5 1 2 3 4 12345XO A Y 其它象限顺、逆圆插补过程基本与第一象限逆圆其它象限顺、逆圆插补过程基本与第一象限逆圆 弧一致，区别是控制弧一致，区别是控制x、y进给方向不同；修进给方向不同；修 改改Jvx、Jvy内容是加内容是加“1”还是减还是减“1”，由，由xi和和yj坐坐 标值的增减而定。标值的增减而定。 A(0,-5) B(5,0) Jvx JRy JRx Jvy Ex Ey 5 0 5500 55 5500 5450

16、0 57 4511 2+1 543 512 52524 56 2537 1+1 +1 51432 47 1446 3+1+1 . 练习：练习： 进给速度受被加工直线长度和圆弧半径影进给速度受被加工直线长度和圆弧半径影 响。（响。（为什么？为什么？） DDA法直线插补，不论法直线插补，不论JVX中存数大小中存数大小( (不不 论行程长短论行程长短) )，完成，完成 m2n 次累加到达终次累加到达终 点；直线短，进给慢，速度低；直线长，点；直线短，进给慢，速度低；直线长， 进给快，速度高。加工短直线生产效率低；进给快，速度高。加工短直线生产效率低； 加工长直线零件表面质量差。加工长直线零件表面质量

17、差。 1 1进给速度均匀化措施进给速度均匀化措施左移规格化左移规格化 5.3.3 提高提高DDA法插补质量的措施法插补质量的措施 DDA法是脉冲源每产生一个脉冲，作一次累加计法是脉冲源每产生一个脉冲，作一次累加计 算，如果脉冲源频率（算，如果脉冲源频率（插补脉冲频率）插补脉冲频率）为为f，插插 补直线的终点坐标为补直线的终点坐标为E（Xe，Ye），则），则X，Y方方 向平均进给频率向平均进给频率fx，fy为为 f m Y f f m X f e y e x m Y ffV m X ffV e yy e xx n yx L f m L fVVV 2 22 n R f m R fV 2 累加次数

18、V与与L或或R成正比成正比 插补脉冲频率插补脉冲频率 脉冲当量 进给速度进给速度 为使溢出脉冲均匀，并提高溢出速度，常采用为使溢出脉冲均匀，并提高溢出速度，常采用 设置进给速率数设置进给速率数FRN（Feed Rate Number）或）或 左移规格化（常用）左移规格化（常用）等措施。等措施。 （1 1）设置进给速率数）设置进给速率数FRNFRN G93 f R V FRN f L V FRN n n 2 1 2 1通过通过FRN调整调整f，使，使 其与其与V V 相协调，消除相协调，消除 L与与R 对对V V 的影响。的影响。 （2）左移规格化）左移规格化 一般规定：寄存器中的数，若最高位为

19、一般规定：寄存器中的数，若最高位为“1”， 称为规格化数；最高位为称为规格化数；最高位为“0”，称为非规格，称为非规格 化数。化数。 对规格化数，累加运算两次必有一次溢出；对规格化数，累加运算两次必有一次溢出； 对非规格化数，作两次甚至多次累加运算才对非规格化数，作两次甚至多次累加运算才 有溢出。有溢出。 1）直线插补的左移规格化）直线插补的左移规格化 直线插补时直线插补时，将，将JVX、JVY中非规格化数中非规格化数xe 、 ye同时左移，直到同时左移，直到JVX、JVY中中至少至少有一个有一个 数是规格化数为止，称为左移规格化。数是规格化数为止，称为左移规格化。 每左移一位，数值增大一倍，

20、即乘每左移一位，数值增大一倍，即乘2，kxe或或 kye的的 k改为改为k=1/2n 1，所以 ，所以 m2n 1次，减 次，减 小一半。若左移小一半。若左移s位，则位，则m=? 左移规格化的同时，终点判别计数器中的数左移规格化的同时，终点判别计数器中的数 相应从最高位输入相应从最高位输入“1”右移，例：右移，例： 左移前左移前 左移一位左移一位 左移三位左移三位 JVX 000011 000110 011000 JVY 000101 001010 101000 E 000000 100000 111000 m2ns 例：第一象限一直线，起点原点，终点例：第一象限一直线，起点原点，终点A（7，

21、5），）， 寄存器寄存器4位。位。 左移规格化前寄存器的数左移规格化前寄存器的数0111及及0101，累加运算，累加运算16次。次。 左移规格化后寄存器的数左移规格化后寄存器的数1110及及1010，需累加运算，需累加运算8次。次。 X Y 12345 5 1 2 3 4 6776 4 3 2 1 5 54321X Y OO A（7，5）A（7，5） 2）圆弧插补的左移规格化）圆弧插补的左移规格化 JVX、JVY中的数，随加工的进行寄存数可能不中的数，随加工的进行寄存数可能不 断增加（加断增加（加“1”修正），如取最高位为修正），如取最高位为“1” 作规格化数，有可能加作规格化数，有可能加“1

22、”修正后溢出。修正后溢出。 圆弧插补的左移规格化圆弧插补的左移规格化使坐标值最大的被积使坐标值最大的被积 函数寄存器的函数寄存器的次高位次高位为为1，将，将JVX、JVY寄存器寄存器 中中次高位次高位为为“1”的数称为规格化数。的数称为规格化数。 规格化数提前一位产生，寄存器的容量规格化数提前一位产生，寄存器的容量2R2R 左移左移s位，位，X、Y方向坐标值扩大方向坐标值扩大2s倍，即倍，即JVX、 JVY中的数分别为中的数分别为 2syj 及及 2sxi，当，当JRY 有溢出有溢出y 时，时，JVX中的数改为中的数改为 2syj 2s（yj1）2syj 2s JVX增加增加 2s，不是加，不

23、是加 1，即，即JVX第第 s1位加位加“l”。 同理，若同理，若JRX溢出一个脉冲时，溢出一个脉冲时，JVY减小减小 2s，即，即 第第 s1位减位减“l”。 直线插补时，规格化后最大坐标值可能为直线插补时，规格化后最大坐标值可能为 111111，每次迭代有溢出；最小值可能为，每次迭代有溢出；最小值可能为 100000，每两次迭代有溢出，可见溢出速，每两次迭代有溢出，可见溢出速 率相差率相差1 1倍；倍； 圆弧插补时，规格化后最大坐标值可能为圆弧插补时，规格化后最大坐标值可能为 011111，可能的最小值为，可能的最小值为010000，其溢，其溢 出速率也相差一倍。出速率也相差一倍。 左移规

24、格化后，不仅提高溢出速度，且使溢左移规格化后，不仅提高溢出速度，且使溢 出脉冲较均匀，加工效率和质量大为提高。出脉冲较均匀，加工效率和质量大为提高。 2提高插补精度的措施提高插补精度的措施余数寄存器预置数余数寄存器预置数 DDA直线插补误差直线插补误差1 1个脉冲当量，但圆弧插个脉冲当量，但圆弧插 补误差可能补误差可能1 1个脉冲当量，原因：个脉冲当量，原因： 一积分器被积函数寄存器中的值接近零一积分器被积函数寄存器中的值接近零 几乎没有溢出，几乎没有溢出， 另一积分器被积函数寄存器中的值接近最大另一积分器被积函数寄存器中的值接近最大 值（圆弧半径）值（圆弧半径）可能连续溢出可能连续溢出 两个

25、积分器的溢出脉冲速率相差很大，致使两个积分器的溢出脉冲速率相差很大，致使 插补轨迹偏离理论曲线插补轨迹偏离理论曲线 措施：增加积分器位数，从而增加迭代次措施：增加积分器位数，从而增加迭代次 数。但进给速度却降低了。数。但进给速度却降低了。 常用常用“余数寄存器预置数余数寄存器预置数” 的方法，即：的方法，即： 插补前，插补前，JRX、JRY预置某一数值（不是零），预置某一数值（不是零）， 可以是可以是2n1（111111），称为，称为全加载全加载， 可可以以是小于最大容量的某个数，如是小于最大容量的某个数，如2 n 2 （100000），），称为称为半加载半加载。 “半加载半加载”可使直线插补

26、的误差减小到半个可使直线插补的误差减小到半个 脉冲当量内。脉冲当量内。 例：对直线例：对直线O OA（15，1）进行插补）进行插补 未 经 半 加 载 半 加 载 后 理 论 曲 线 1 6 1 24681 01 21 4XO Y A 对圆弧插补进行对圆弧插补进行“半加载半加载”、 “全加全加 载载” 未经未经 半加载半加载 半加载半加载 后后 理论曲线理论曲线 Y 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 1 12 23 34 45 5OX 全加载 被积函数值较被积函数值较 小、不能很快小、不能很快 产生溢出脉冲产生溢出脉冲 时，通过时，通过“全全 加载加载”、 “半半 加载加载”，使脉，使脉

27、 冲提前溢出，冲提前溢出， 改变溢出脉冲改变溢出脉冲 的时间分布，的时间分布， 以减少插补误以减少插补误 差。差。 为方便，可通过对方程求导数（全微分）将增为方便，可通过对方程求导数（全微分）将增 量量x、y、t直接写成微分形式直接写成微分形式dx、dy、dt： 标准椭圆标准椭圆方程方程 1 2 2 2 2 b y a x xdtbdy ydtadx 2 2 双曲线双曲线标准方程标准方程 1 2 2 2 2 b y a x 抛物线抛物线标准方程标准方程 2 2 a x y xdtdy dtadx 2 2 xdtbdy ydtadx 2 2 5.3.4其它函数的其它函数的DDA插补运算插补运算

28、设设X和和Y轴位移增量分别为轴位移增量分别为x、y。插补时，。插补时， 取增量大的作长轴，增量小的为短轴，要求取增量大的作长轴，增量小的为短轴，要求X 和和Y轴的速度保持一定比例，且同时到达终点。轴的速度保持一定比例，且同时到达终点。 5.4.1 直线函数法（弦线法）直线插补直线函数法（弦线法）直线插补 yyy xxx x y xy x L l x ii iii e e ii ei 1 1 X Y E（xe, ye) P l 5.4.2 直线函数法圆弧插补直线函数法圆弧插补 以以内接弦进给代替弧线内接弦进给代替弧线进给，进给， 提高了圆弧插补的精度。提高了圆弧插补的精度。 O B (X i+

29、1,Yi+ 1) E A (Xi,Yi) G D Y Y x C M H i+1 i X P CDOC HMDH OD DM tg i 2 1 sin 2 cos 2 l y l x tg i i 采用采用sin45和和cos45来取代来取代sin和和cos近似求近似求 解解tg，这样造成的，这样造成的tg的偏差最小，即的偏差最小，即 45sin 2 45cos 2 l y l x tg i i 再由关系式再由关系式 2 1 1 cos tg 进而求得：进而求得： coslx 为使偏差不造成插补点离开圆弧轨迹，为使偏差不造成插补点离开圆弧轨迹，y的计算的计算 不能采用不能采用 lsin，而由下

30、式计算：，而由下式计算： yy xxx y i i 2 1 ) 2 1 ( 的插补点坐标的插补点坐标 ： yyy xxx ii ii 1 1 采用近似计算引起的偏差能够保证圆弧插补的每一插补采用近似计算引起的偏差能够保证圆弧插补的每一插补 点位于圆弧轨迹上，仅造成每次插补轮廓步长点位于圆弧轨迹上，仅造成每次插补轮廓步长 l 的微小的微小 变化，所造成的进给速度误差变化，所造成的进给速度误差指令速度的指令速度的1，在加，在加 工中是允许的，可认为插补速度仍是均匀的。工中是允许的，可认为插补速度仍是均匀的。 2222 yyxxyx iiii 在数字积分原理的基础上，将用切线逼近在数字积分原理的基础

31、上，将用切线逼近 圆弧的方法改进为圆弧的方法改进为用割线逼近用割线逼近，减小了逼，减小了逼 近误差，提高了圆弧插补精度。近误差，提高了圆弧插补精度。 5.5 扩展数字积分法（进给速率法）扩展数字积分法（进给速率法） 5.5.1 扩展扩展DDA直线插补直线插补 5.5 扩展数字积分法（进给速率法）扩展数字积分法（进给速率法） V YX Y V V YX X V ee e y ee e x 22 22 ed ed yy xx yyy xxx ii ii 1 1 etet ee t ee e ty etet ee t ee e tx yFRNy yx V V yx y Vy xFRNx yx V V

32、 yx x Vx 2222 2222 采样周期 5.5.1 扩展扩展DDA圆弧插补圆弧插补 5.5 扩展数字积分法（进给速率法）扩展数字积分法（进给速率法） x y 2 2 2 1 sin 2 1 Rl ly l x i 2 2 2 1 2 1 Rl R x lyl x i i 5.5 扩展数字积分法（进给速率法）扩展数字积分法（进给速率法） ttd FRN R V idid xyx 2 1 其中其中 idid yxy 2 1 同理 5.6曲面直接插补曲面直接插补 多数多数CNC系统只有直线、圆弧轨迹控制功能，曲面系统只有直线、圆弧轨迹控制功能，曲面 加工时，要将其离散成庞大的微小直线段、由外部加工时，要将其离散成庞大的微小直线段、由外部 编程，程序制作、校验时间是加工时间的数倍；编程，程序制作、校验时间是加工时间的数倍； 零件程序是外部编制，一经确定无法修改，当加工零件程序是外部编制，一经确定无法修改，当加工 余量或刀具尺寸改变时，只有重新编程；余量或刀具尺寸改变时，只有重新编程； CNC内存有限，零件程序不能一次装入，高速加工内存有限，零件程序不能一次装入，高速加工 时普通外设（磁盘和普通时普通外设（磁盘