《函数的单调性与极值》课件(北师大版选修2-2)

1、函数的单调性和极值 一、函数单调性的判别方法 二、函数极值的判别法 三、函数的最大值、最小值的求法 一、函数单调性的判别方 法 罗尔定理 拉格郎日定理 函数单调性的判别方法 定理定理1 罗尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理 )(xfy 满足: (1) 在区间 a , b 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) ,使. 0)(f x y o a b )(xfy 在( a , b ) 内至少存在一点 注意注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 1,0 10, )( x xx xf x1 y o 1 , 1 )( x xx

2、f 1 ,0 )( x xxf x 1 y o1 x 1 y o 使 2) 定理条件只是充分的.本定理可推广为 )(xfy 在 ( a , b ) 内可导, 且 )(limxf ax )(limxf bx 在( a , b ) 内至少存在一点,. 0)(f 定理定理2 拉格朗日中值定拉格朗日中值定 理理 )( (1) 在区间 a , b 上连续 )(xfy 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点, ),(ba使. )()( )( ab afbf f x y o a b )(xfy 思路思路: 利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 ,)(

3、x在 a , b 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证证: 问题转化为证 )(x)(xfx ab afbf )()( )(a由罗尔定理知至少存在一点 , ),(ba,0)(使即定理结论成立 . , )(b ab bfaafb )()( 0 )()( )( ab afbf f 证毕 推论推论1: 若函数在区间 I 上满足,0)( x f 则)(xf在 I 上必为常数. )(xf 推论推论2：如果函数 在区间(a,b)内可导， 且对于(a,b)中任意 有 则在(a,b)内 ， ， 其中c为常数。 / ( )( )fxgx ( )( )f xg x和 x ( )( )f xg x与仅

4、相差一个常数 ( )( )f xg xc即 函数单调性的判定法函数单调性的判定法 若 定理定理 3. 设函数)(xf0)( x f 则 在 I 内单调递增)(xf, )0)( x f (递减) . 证证: 无妨设,0)(Ixxf 任取)(, 2121 xxIxx 由拉格朗日中值定理得 )()()( 1212 xxfxfxf ),( 21 xxI 0 故. )()( 21 xfxf这说明 在 I 内单调递增.)(xf 在开区间 I 内可导, 例1 求函数 f(x)=x3-3x 的单调区间 解 （1）该函数的定义区间为（- , ） ； （2）f/(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令 f/

5、(x)=0,得 x=-1,x=1 它们将定义区间分为三个子区间： (, 1),( 1,1),(1,) x (, 1) (-1,1) (1,+) f/(x) + - + f(x) 所以单调增加区间为 (, 1)1 和（，） 单调减少区间为（-1，1） 例例2. 确定函数31292)( 23 xxxxf的单调区间. 解解:12186)( 2 xxxf)2)(1(6xx 令,0)( x f得2, 1xx x )(x f )(xf ) 1,( 2 00 1)2,1 (),2( 21 故)(xf的单调增单调增区间为 , ) 1,();,2( )(xf的单调减单调减区间为 ).2,1 ( 1 2 x o

6、y 12 y xo 说明说明: 单调区间的分界点除导数为零的点外, 也可是导数不存在的点. 例如, ),(, 32 xxy 3 3 2 x y 0 x y 32 xy 2) 如果函数在某点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,),(, 3 xxy 2 3xy 0 0 x y y o x 3 xy 确定函数的单调性的一般步骤： 1、确定函数的定义域； 2、求出使函数 并以这些点为分界点，将定义域分成若干 个子区间； 3、确定 在各个子区间的符号，从而 判断出 的单调性。 / ( )0( )fxfx 和不存在的点， / ( )fx ( )f x 例3 讨论函数 2 3 ( )(1)f x

7、xx 的单调性 解 （1）该函数的定义域为( ,) （2） 12 / 33 1 3 / 252 ( )(1) 3 3 2 ( )0,( ) 5 2 0, 5 22 (,0),(0,),(,) 55 x fxxxx x fxxxf x xx 令得显然 =0为的不可导点, 于是分定义区间为三个子区间 （3）列表确定 f(x)的单调性 x (,0) 2 ( 0 ,) 5 2 (,) 5 f/(x) + - + f(x) 即 f(x) 2 (,0)( ,), 5 2 (0, ). 5 在和上单调增加 在上单调减少 例例4. 证明方程015 5 xx , 15)( 5 xxxf . 3) 1 (, 1)

8、0(ff , 0)( 0 xf , ) 1,0( 011 xxx ) 1(5)( 4 xxf),1,0(, 0 x 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证证: 1) 存在性 . 则)(xf在 0 , 1 连续 , 且 由介值定理知存在, ) 1 ,0( 0 x使 即方程有小于 1 的正根. 0 x 2) 唯一性 . 假设另有 , 0)( 1 xf使 在以)(xf 10 , xx 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 之间在 10 , xx 至少存在一点, . 0)(f使 但矛盾, 故假设不真! 设 例例5. 证明等式 . 1, 1, 2 arccosarcsinxxx 证证: 设,arccosar

9、csin)(xxxf上则在) 1, 1( )(xf 由推论可知 Cxxxfarccosarcsin)( (常数) 令 x = 0 , 得. 2 C 又 , 2 ) 1( f故所证等式在定义域 上成立. 1, 1 自证自证:),(x, 2 cotarcarctan xx 2 1 1 x 2 1 1 x 0 经验经验: 欲证Ix时 ,)( 0 Cxf只需证在 I 上, 0)( x f , 0 Ix 且.)( 00 Cxf使 例例6. 证明不等式 证法证法1: 设, )1ln()(ttf上满足拉格朗日在则,0)(xtf 中值定理条件, 即 因为 故 . )0()1ln( 1 xxx x x )0()

10、(fxf )1ln(xx x 0, 1 1 x x x 1 x )0()1ln( 1 xxx x x xxf0, )0)( 因此应有 证法 2 证明不等式 ln(1)(0) 1 x xx x / 22 ( )ln(1), 1 ( )0,),0, 11 ( )0, 1(1)(1) ( )0,),(0)0 ,0,( )(0), ln(1) 1 x f xx x f xx xxx fx xxx f xf xf xf x x x 设函数 因为在上连续 当时 所以在区间内单调增加 又 因此 当时 恒有 即 二、函数的极值函数的极值 定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf, ),( 0 bax ，

11、的一个邻域若存在 0 x 在其中当 0 xx 时, , )()( 0 xfxf(1) 则称 为 的极大点极大点 , 0 x)(xf 称 为函数的极大值极大值 ;)( 0 xf , )()( 0 xfxf(2) 则称 为 的极小点极小点 , 0 x)(xf 称 为函数的极小值极小值 .)( 0 xf 极大点与极小点统称为极值点极值点 . 注意注意: 3 x 1 x 4 x 2 x 5 x x ab o y 41 ,xx 为极大点 52 ,xx 为极小点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. 31292)( 23 x

12、xxxf 例如例如 1x为极大点 , 2) 1 (f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小点 , 1 2 xo y 12 定理 4 如果函数 f(x)在点 x 的一个邻域内有定义， f(x) 在 x 可导，那么 x 是 f(x)的极值点的必要条件 是 f/(x)=0 该定理的几何意义是说，可微函数的图形在极值点 处的切线与 x 轴平行。 定义 使导数 f/(x)为零的点 x,称为函数 f(x)驻点。 注意：函数的极值可能在其导数为零的点，或者在 连续但不可导的点处取得。在可导情况下，极值点 一定是驻点，但驻点不一定是极值点。 定理定理 5 (极值第一判别法极值第一判别法) ,)( 0 的某邻

13、域内连续在设函数xxf 且在空心邻域 内有导数, 0时 由小到大通过当xx (1) )(x f “左正右负左正右负” , ;)( 0 取极小值在则xxf(2) )(x f “左负右正左负右正” , .)( 0 取极大值在则xxf 例例7. 求函数求函数 3 2 ) 1()(xxxf的极值 . 解解:1) 求导数 3 2 )(xxf 3 1 3 2 ) 1( xx 3 5 2 3 5 x x 2) 求极值可疑点 令,0)( x f得; 5 2 1 x令,)( x f得0 2 x 3) 列表判别 x )(x f )(xf 0 5 2 0 033. 0 )0,(),0( 5 2 ),( 5 2 0

14、x是极大点， 其极大值为0)0(f 是极小点， 其极小值为 5 2 x33. 0)( 5 2 f 定理定理6 (极值第二判别法极值第二判别法) 二阶导数 , 且 处具有在点设函数 0 )(xxf ,0)( 0 x f0)( 0 x f ,0)() 1 ( 0 x f若则 在点 取极大值 ;)(xf 0 x ,0)()2( 0 x f若则 在点 取极小值 .)(xf 0 x 求函数极值的一般步骤： 确定定义域，并求出所给函数的全部驻 点 考察函数的二阶导数在驻点处的符号， 确定极值点 求出极值点处的函数值，得到极值 求函数极值的一般步骤： 若函数 定理6失效，应运用定理5，其步骤为： 1、确定定

15、义域并找出所给函数的驻点和导数不 存在的点； 2、考察上述点两侧一阶导数的符号，确定极值 点； 3、求出极值点处函数值，得到极值。 / 0000 ()0()0()0()fxfxfxfx且或但不存在 例例8. 求函数1) 1()( 32 xxf的极值 . 解解: 1) 求导数 ,) 1(6)( 22 xxxf) 15)(1(6)( 22 xxxf 2) 求驻点 令,0)( x f得驻点1,0, 1 321 xxx 3) 判别 因,06)0( f 故 为极小值 ;0)0(f 又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别. ,1)(左右邻域内不变号在由于xxf .1)(没有极值在xxf 1x

16、y 1 定理定理7 (判别法的推广判别法的推广) 阶导点有直到在若函数nxxf 0 )( ,0)()()( 0 )1( 00 xfxfxf n ,0)( 0 )( xf n 则: 数 , 且 1) 当 为偶数时,n ,0)( 0 )( 时xf n 0 x是极小点 ; ,0)( 0 )( 时xf n 0 x是极大点 . 2) 当 为奇数时,n 0 x为极值点 , 且 0 x不是极值点 . )()()( 000 xxxfxfxf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( )( 0 n xxo 例如例如 , 例2中1) 1()( 32 xxf , )35(24)( 2 xxxf0) 1(

17、 f 所以1x不是极值点 . 极值的判别法( 定理5 定理7 ) 都是充分的. 说明说明: 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如例如: )(xf , )sin2(2 1 2 x x ,2 0 x 0 x 2)0(f为极大值 , 但不满足定理1 定理3 的条件. x y 11 例 9 求函数 2 3 ( )(67)f xxx的单调区间和极值 解 f(x)的一阶导数为 /2 3 33 / 1 22 4107 ( )(67) 6767 7 ( )0,. 10 77 ( ) 66 xx fxx xx fxx xf xx 令得驻点 又时，不可导，即是不可导点。 x 7 6 （， -） 7

18、 6 77 610 （，） 7 10 7 10 （，） f/(x) + 不可导 - 0 + f(x) 极大值 极小值 从表中可知： 1 3 2 77 ()0 66 777 ()980 101050 77 610 77 610 xf xf 是极大值点，极大值 是极小值点，极小值 单调增加区间（- ，），（，） 单调减少区间（，）。 三、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 ,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能 在极值点极值点或端点端点处达到 . 求函数最值的方法求函数最值的方法: : (1) 求 在 内的极值可疑点)(xf),(ba m xxx, 21 (2) 最大值 maxM, )(

19、 1 xf, )( 2 xf, )(, m xf, )(af)(bf 最小值 minm, )( 1 xf, )( 2 xf, )(, m xf, )(af)(bf 特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到. 若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 . (小) 例 10 32 1 ( )(1) 1 2 f xxx求在， 上的最大值和最小值 3 12 3 1 2 3 52 ( ),( ) 3 2 (0( 5 234 ( )( )0.3

20、257 5525 ()(0)0 11 )0.3150 24 (0)0, x xf x x xx f xf f xf f / 解 因为f所以的可能极值点为 驻点）和不可导点），相应的函数值 1 区间端点的函数值f(-1)=-2,f( 2 1 比较这四个数的大小得知f(x)在-1， 上 2 最大值为最小值为f(-1)=-2 )1292( 2 xx 1224)9( 2 09681 01292 2 xx )(xxf 0 4 1 x 2 5 0 x 0 4 1 x 2 5 0 x 例例11. 求函 数 xxxxf1292)( 23 在闭区间, 2 5 4 1 上的最大值和最小值 . 解解: 显然, ,)

21、( 2 5 4 1 Cxf且 )(xf , )1292( 23 xxx ,1292 23 xxx )(xf 12186 2 xx 12186 2 xx 内有极值可疑点在,)( 2 5 4 1 xf2, 1,0 321 xxx ,3)( 32 19 4 1 f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f 5)(2 5 f 故函数在0 x取最小值 0 ; 在1x及 2 5 取最大值 5. , )2)(1(6xx , )2)(1(6xx 2 5 1 2 4 1 例12 函数 f(x)=2x3-6x2-18x-7 在区间1， 4上的最小 值 解 f/(x)=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1) 令

22、 f/(x)=0 得驻点 122 3,11xxx 。 不在给 定区间1，4内，故不必讨论 2 1x 的极值情况。 f(3)=2*33-6*32-18*3-7=-61 f(1)=-29 f(4)=2*43-6*42-18*4-7=128-96-72-7=- 47 比较这三个数的大小得知， f(x)在1， 4上的最小值 为 f(3)=-61 ( k 为某一常数 ) 例例13. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货 D 点应如何选取? 20 AB 100 C

23、解解: 设,(km)xAD x 则,20 22 xCD )100(3205 22 xkxky)1000( x , ) 3 400 5 ( 2 x x ky 2 3 )400( 400 5 2 x ky 令,0 y 得 ,15x又,0 15 x y所以 为唯一的15x 极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 . 总运费 物从B 运到工厂C 的运费最省, 从而为最小点 , 问 D Km , 公路, 例例14. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截面 的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为 h b d 2 6 1 hbw

24、 , )( 22 6 1 bdb),0(db 令)3( 22 6 1 bdw0 得db 3 1 从而有 1:2:3:bhd 22 bdhd 3 2 即 由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求 结果就是最好的选择 . 例15 某产品的次品率 y 与日产量 x 之间的关系为 1 ,0100 101 1,100 x yx x 若每件产品的赢利为 A 元， 每件次品造成的损失为 A/3 元，试求赢利最多的日产量。 解 按题意，x 应为正整数，设 x0,100,日产量为 x 时赢利为 T(x),这时次品数为 xy,正品为 x-xy,因此 ( )() 3 (),(0100) 1013

25、101 ( ) A T xA xxyxy xAx A xx xx T x 于是问题就归结为求的最大值。 / 2 ( )1 () () 1013 101 4101 1 3 (101) xAx TxA xx A x 令 T/(x)=0 可得 T(x)的唯一驻点 x=89.4。 因此 x=89.4 是使 T(x)取得最大值的点，因为 x 实 际 上 是 正 整 数 ， 所 以 将T(89)=79.11A与 T(90)=79.09A 相比较，即知每天生产 89 件产品赢 利最多。 用开始移动, F 例例16. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作 P 解解: 克服摩擦的水平分力cos

26、FFx 正压力 sin5FFP y g cosF)sin5(Fg 即, sincos 5 g F, 0 2 令sincos)( 则问题转化为求)(的最大值问题 . F 为多少时才可使力F ,25. 0设摩擦系数 F 问力与水平面夹角 的大小最小? cossin)( sincos)( 令,0)(解得 arctan25. 0arctan214 ,0)( 而,)(214取最大值时 因而 F 取最小值 . 解解: F P 即 令 则问题转化为求的最大值问题 . , sincos 5 g F, 0 2 sincos)( )( 清楚(视角 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m , 例例17. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 x 4 . 1 8 . 1 解解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则 x 8 . 14 . 1 arctan , 8 . 1 arctan x ),0(x 22 2 . 3 2 . 3 x 22 8 . 1 8 . 1 x)8 . 1)(2 . 3( )76. 5(4 . 1 2222 2 xx x 令,0得驻点),0(4 . 2x 根