《复变函数与积分变换》(全集)习题课(总结)

1、 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 2 一、重点与难点一、重点与难点 重点：重点： 难点：难点： 留数的计算与留数定理留数的计算与留数定理 留数定理在定积分计算上的应用留数定理在定积分计算上的应用 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 3 二、内容提要二、内容提要 留数留数 计算方法计算方法 可去奇点可去奇点 孤立奇点孤立奇点极点极点 本性奇点本性奇点 函数的零点与函数的零点与 极点的关系极点的关系 留数定理留数定理 留数在定积留数在定积 分上的应用分上的应用 C dzzf)(计计算算 dxexRdxxf dR aix )(. 3;)(. 2 ;)cos,(sin. 1 2 0

2、 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 4 1）定义定义 如果如果函数函数 )(zf 0 z 在在 不解析不解析, 但但)(zf在在 0 z 的某一去心邻域的某一去心邻域 0 0zz内处处解析内处处解析, 则称则称 0 z)(zf为为 的孤立奇点的孤立奇点. 1. 孤立奇点的概念与分类孤立奇点的概念与分类 孤立奇点孤立奇点奇点奇点 2）孤立奇点的分类孤立奇点的分类 依据依据)(zf在其孤立奇点在其孤立奇点 0 z的去心邻域的去心邻域 0 0zz内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类: i) 可去奇点可去奇点; ii) 极点极点; iii) 本性奇点本性奇点. 复变函数与积分

3、变换(全集)习 题课(总结) 5 定义定义 如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项, 那末那末 0 zz 0 z)(zf 孤立奇点孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点. i) 可去奇点可去奇点 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 6 ii) 极点极点 0 1 01 2 020 )()()()(czzczzczzczf m m 0, 1 m cm )( 01 zzc , )( )( 1 )( 0 zg zz zf m 0 zz 定义定义 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的 1 0) ( zz,)( 0 m zz 负幂项负幂项, 其中关于其中关于的

4、最高幂为的最高幂为 即即 级极点级极点. 0 z)(zfm那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的 或写成或写成 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 7 极点的判定方法极点的判定方法 0 z在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内 m zz zg zf )( )( )( 0 其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析, 且且 )(zg 0 z. 0)( 0 zg )(zf的负幂项为有的负幂项为有 0 zz 的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有 限项限项. (a) 由定义判别由定义判别 (b) 由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别 (c) 利用极限利用极限 )(lim 0 zf zz

5、 判断判断 . 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 8 如果洛朗级数中含有无穷多个如果洛朗级数中含有无穷多个 0 zz 那末孤立奇点那末孤立奇点 0 z称为称为)(zf的本性奇点的本性奇点. 的负幂项的负幂项, 注意注意: 在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内)(lim 0 zf zz 不存在且不不存在且不为为. iii) )本性奇点本性奇点 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 9 i) 零点的定义零点的定义 不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数 )(zf如果如果 能表示成能表示成),()()( 0 zzzzf m )(z 0 z其中其中在在 , 0)( 0 z解析且解析且

6、m为某一正整数为某一正整数, 那末那末 0 z 称为称为 )(zf 的的 m 级零点级零点. 3)函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系 ii)零点与极点的关系零点与极点的关系 如果如果 0 z是是)(zf的的 m 级极点级极点, 那末那末 0 z就是就是 )( 1 zf 的的 m 级零点级零点. 反过来也成立反过来也成立. 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 10 2. 留数留数 记作记作.),(Res 0 zzf 域域内内的的洛洛朗朗级级数数中中负负.)( 1 01 的系数的系数幂项幂项 zzc 为中心的圆环为中心的圆环在在即即 0 )(zzf 定义定义 如果如果)( 0 z

7、fz 为函数为函数的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则沿则沿 Rzzz 00 0的的某某个个去去心心邻邻域域在在内包含内包含 0 z的的 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分 C zzfd)( 的值除的值除 i 2 后所得的数称为后所得的数称为 .)( 0的留数 的留数在在zzf以以 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 11 1)留数定理留数定理 设函数设函数)(zf在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤 n zzz, 21 外处处解析外处处解析, C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线, 那末那末 n k k C zzfizz

8、f 1 ),(Res2d )( 立奇点立奇点 留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数积分转化为求被积函数 在在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数. 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 12 (1) 如果如果 0 z为为)(zf 的可去奇点的可去奇点, 则则 . 0),(Res 0 zzf )()(lim),(Res 000 0 zzfzzzzf zz 如果如果 为为 的一级极点的一级极点, 那末那末 0 z)(zf a) (2) 如果如果 0 z为为的本性奇点的本性奇点, 则需将则需将 成洛朗级数求成洛朗级数求 1 c )(zf)(zf展开展开 (3)

9、如果如果 0 z为为 的极点的极点, 则有如下计算规则则有如下计算规则)(zf 2)留数的计算方法留数的计算方法 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 13 c)设设, )( )( )( zQ zP zf )(zP及及)(zQ在在 0 z 如果如果,0)(,0)(,0)( 000 zQzQzP那末那末 0 z 为一级极点为一级极点, 且有且有 都解析，都解析， . )( )( ),(Res 0 0 0 zQ zP zzf 如果如果 为为 的的 级极点级极点, 那末那末 0 z)(zfm )()( d d lim )!1( 1 ),(Res 01 1 0 0 zfzz zm zzf m m

10、 m zz b) 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 14 .),(Res 1 Czf 也可定义为也可定义为 C zzf i d)( 2 1 记作记作 C zzf i zfd)( 2 1 ),(Res 1.定义定义 设函数设函数)(zf在圆环域在圆环域 z0内解析内解析 C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线 那末积分那末积分 值为值为)(zf在在 的留数的留数. 的值与的值与C无关无关 , 则称此定则称此定 C zzf i d)( 2 1 3)无穷远点的留数无穷远点的留数 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 15 如果函数如果函数)

11、(zf在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只有有限个 孤立奇点孤立奇点, 那末那末在所有各奇点在所有各奇点 (包括包括 点点) 的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零. )(zf 定理定理 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 16 3. 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用 ，令令 i ez )( 2 1 sin ii ee i , 2 1 2 iz z )( 2 1 cos ii ee z z 2 1 2 2 0 d)sin,(cos RI 1）三角函数有理式的积分）三角函数有理式的积分 当当 历经变程历经变程 2,0时时, z 沿单位圆周沿单位圆周1 z的的 正方向

12、绕行一周正方向绕行一周. 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 17 iz z iz z z z RI z d 2 1 , 2 1 1 22 zzf z d )( 1 . ),(Res2 1 n k k zzfi .)(1 ), 2 , 1( 的的孤孤立立奇奇点点内内的的 为为包包含含在在单单位位圆圆周周其其中中 zfz nkzk 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 18 则则为偶函数为偶函数如果如果,)(xR n k k zzRixxR 1 0 .),(Resd)( 则则次次多多项项式式 为为次次多多项项式式为为设设 , 2, )(,)(, )()()( nmm zQnzPzQ

13、zPzR n k k zzRiI 1 .),(Res2 .)(), 2 , 1(在上半平面内的极点在上半平面内的极点为为其中其中zRnkzk . )(, ,)(.d)( 没有孤立奇点没有孤立奇点 在实轴上在实轴上且且数高两次数高两次的次数至少比分子的次的次数至少比分子的次 分母分母的有理函数的有理函数是是其中其中 zR xxRxxRI 2）无穷积分）无穷积分 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 19 则则在实轴上没有孤立奇点在实轴上没有孤立奇点 且且的次数高一次的次数高一次分母的次数至少比分子分母的次数至少比分子函数函数 的有理的有理是是其中其中 , )(, )(),0(d)( zR

14、xxRaxexRI aix n k k aixaix zezRixexR 1 ,)(Res2d)( .)(), 2 , 1(在上半平面内的极点在上半平面内的极点为为其中其中zRnkzk 3）混合型无穷积分）混合型无穷积分 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 20 , 2 d 1 cos 0 2 m ex x mx , 0d 1 sin 2 x x mx ).10( sin d 1 , 2 d sin 0 a a x e e x x x x ax 特别地特别地 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 21 三、典型例题三、典型例题 . ,)( 判别类型判别类型 并并在扩充复平面上的奇

15、点在扩充复平面上的奇点求下列函数求下列函数zf例1例1 ;)2(; sin )1( 1 tan 3 z e z zz 解解:0)()1(内内的的洛洛朗朗展展式式为为在在由由于于 zzf z zzz z zz zz zf !7! 5! 3 1sin )( 753 33 ! 9!7! 5! 3 1 642 zzz .)(,)(0的本性奇点的本性奇点是是的可去奇点的可去奇点是是得得zfzzfz 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 22 ;)2( 1 tan z e 解解 , 1 tan z w 令令 , 0 1 cos z 由由 , 1 tan 的的一一级级极极点点为为 z w 又又且且为为

16、本本性性奇奇点点仅仅有有唯唯一一的的奇奇点点而而, ze w z k zz 1 tanlim ), 1, 0( 2 1 1 k k zk得得 .)( w ezf 则则 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 23 ), 1, 0( 2 1 1 k k zk所以所以 .)(的本性奇点的本性奇点都是都是zf 因因为为时时当当, z z zz ezf 1 tan lim)(lim .)(的的可可去去奇奇点点是是故故知知zfz ,1 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 24 例例2 2 求函数求函数 的奇点，并确的奇点，并确 定类型定类型. 322 )1()1( sin)5( )( zzz

17、 zz zf 解解110 z,z,z是奇点是奇点. z z zz z z zf sin )1()1( 51 )( 32 因因为为),( 1 zg z 是单极点；是单极点；所以所以0 z1 z是二级极点是二级极点; 1 z是三级极点是三级极点. 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 25 例例3 3 证明证明 是是 的六级极点的六级极点.0 z )1( 1 )( 3 3 z ez zf . )1( 1 )(0 3 3 的的六六级级极极点点是是所所以以 z ez zfz 的六级零点，的六级零点，是是因为因为)1( )( 1 0 3 3 z ez zf z 证证)1( )( 1 3 3 z e

18、z zf ! 3! 2 129 6 zz z ,1 ! 2 )( 1 23 33 z zz 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 26 例例4 4 求下列各函数在有限奇点处的留数求下列各函数在有限奇点处的留数. , 1 1 sin)1( z , 1 sin)2( 2 z z, sin 1 )3( zz 解解(1)在在 内内, 10z , )1( ! 3 1 1 1 1 1 sin 3 zzz 1 1 , )1sin( 1 Res C z 所所以以. 1 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 27 , ! 5! 3 sin 53 zz zz因为因为 内内，所所以以在在 z0 53 2

19、2 ! 5 1 ! 3 111 sin zzz z z z 3 ! 5 1 ! 3 1 zz z 1 2 0 , 1 sinRes C z z故故. 6 1 解解 z z 1 sin)2( 2 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 28 zzsin 1 )3( 解解), 2, 1, 0( nnz为奇点为奇点, 0 n当当 时时 为一级极点，为一级极点， n zz nz nz sin 1 )(lim 因因为为 )sin( )1(lim nzz nz n nz , 1 ) 1( n n z z zfz zz sin lim)(lim 0 2 0 由由.0是二级极点是二级极点知知 z, 1 复

20、变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 29 , 1 )1(, sin 1 Res n n zz n 所所以以 zz z zzz z sin 1 d d lim0 , sin 1 Res 2 0 z zzz z 2 0 sin cossin lim . 0 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 30 例例5 5 计算积分计算积分 .d )( )sin( 2 8 z izz iz z 为一级极点，为一级极点， 为七级极点为七级极点. 0 ziz )(lim0),(Res 0 zzfzf z 8 0 )( )sin( lim iz iz z ;sini iiziz iz zf )( 1 )

21、( )sin( )( 8 i iz i iz iz 1 1 )( )sin( 8 2 2 357 )( 1 )( 1 1 )( ! 7 1 )( ! 5 1 )( ! 3 1 )( 1 iz i iz i i iziziziz 解解 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 31 iz i 1 ! 1 1 ! 3 1 ! 5 1 ! 7 1 !7 1 ! 5 1 ! 3 1 1),(Resiizf所所以以 由留数定理得由留数定理得 ),(Res0),(Res2d )( )sin( 2 8 izfzfiz izz iz z . !7 1 ! 5 1 ! 3 1 1sin2 iii 复变函数与积

22、分变换(全集)习 题课(总结) 32 例例6 6 .d )1()5( 3 2432 13 z zz z z 解解 2 4 8 3 2 6 13 1 1 5 1 )( z z z z z zf 2 4 3 2 1 1 1 5 1 11 zz z 2 84 3 42 11 1 255 1 1 zzzzz 在在 内内, z3 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 33 )1(2d )1()5( 3 2432 13 iz zz z z 故故 .2 i 1 ),(Res Czf所所以以, 1 42 2 1 15 1 1 zzz , 1 z 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 34 5 1

23、2 5 5 ),(Res2d )1)(3( 1 k k z zzfiz zz 解解 例例7 7 计算计算 .d )1)(3( 1 2 5 5 z zz z ),(Res3),(Res),(Res 5 1 zfzfzzf k k )1)(3( 1 )3(lim3),(Res 5 3 zz zzf z , 242 1 复变函数与积分变换(全集)习 题课(总结) 35 5 5 5 1 1 3 1 1 ) 1)(3( 1 z z z z zz , 1 1 3 1 1 56 zzz , 0),(Res zf所所以以 5 1 2 5 5 ),(Res2d )1)(3( 1 k k z zzfiz zz 242 1 2 i. 121 i 复变函数与积分变换(全集)习 题课(