自动控制原理04(拉氏变换)[教育类别]

1、2-12-1动态微分方程式的编写动态微分方程式的编写 机械运动系统 例：弹簧-质量-阻尼系统 输入外力输出位移 )(tF)(ty kf FFtF dt tyd m)( )( 2 2 dt tdy fF f )( )(tkyF k 阻尼系数，与运动方向相反 f )( 2 2 tFky dt dy f dt yd m )(tFK m f )(ty 1培训类 2-22-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 2-2 非线性数学模型的线性化 2培训类 2-22-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 )(tx )(ty )()(xfty 0 x 0 y 3培训类 2-22-2非线性数学

2、模型的线性化非线性数学模型的线性化 . ! 2 )( )( )( )()( 2 0 2 2 00 00 xx dx xfd xx dx xdf xfxf xxxx . 2 )( )()()( 2 0 0 00 0 ！ xx xfxxxfxf 当|x-xo|很小时，忽略其二阶以上各项，得： )()()( 00 0 xxxfxfxf 即：xxfyy)( 0 0 4培训类 xxfy)( 0 )(xfy 也即： 是 线性化模型 例：例：将上例流体运动非线性方程线性化如： 1 QhC dt dh A v 可将非线性特性 在 处线性化 hhf)( 0 h h h hhhhfhfhf 0 000 0 2 1

3、 )()()( 2-22-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 5培训类 即有： 1 0 2 Qh h C dt hd A v 去掉 即为线性化方程。 不难看出线性化方程与工作点有关，工作点 不同，方程就不同。 110 0 0 0 ) 2 1 ( )( QQh h hC dt hhd A v 代入原方程得： 2-22-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 h 6培训类 为了对系统性能进行分析、比较，给出了几 种典型输入信号 定义如下 0 00 )( tA t txr A=1时称为单位阶跃信号 对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化 的扰动量；对于随动系统，相当于加一

4、突变的给定位 置信号。 7培训类 0 t 0 00 )( tAt t txr 相当于随动系统加入一按恒速变化的位置信号， 该恒速度为A。 8培训类 0 t 0 00 )( 2 tAt t txr 相当于随动系统加入一按恒加速度变化的位置 信号，该恒加速度为A。 9培训类 1 tt t A txr , 00 0 )( 用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频 率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判 断系统的性能。 10培训类 拉普拉斯变换拉普拉斯变换(Laplace变换变换) l拉普拉斯变换 l拉普拉斯变换的基本性质 l拉普拉斯逆变换 l拉普拉斯变换的应用 11培训类 在数学中，为了把较复

5、杂的运算转 化为较简单的运算，常常采用一种变换 手段，所谓积分变换，就是通过积分运 算把一个函数变成另一个函数的变换。 积分变换包括拉普拉斯（Laplace）变 换和傅立叶（Fourier）变换。这里只 研究Laplace变换，讨论他的定义、性 质及其应用。 12培训类 在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确 定的函数可写为 设函数 当 有意义,而且积分( )f t0t （ 是一个复参量） s 0 ( )( ) st F sf t edt 称上式为函数 的拉普拉斯变换式 ( )f t ( )F s ( )f t叫做( )f t的拉氏变换,象函数. ( )F s 叫做的拉氏逆变换,象原函数,(

6、 )f t ( )F s 一、拉普拉斯变换的概念 0 )(dtetf st s ( )f t = )( 1 sF 13培训类 二、一些常用函数的拉普拉斯变换二、一些常用函数的拉普拉斯变换 例2 求单位阶跃函数求单位阶跃函数 的拉氏变换的拉氏变换 u t 解解 0 ( )( )1 st tt edt 例1 求单位脉冲函数求单位脉冲函数 的拉氏变换的拉氏变换 t 解解 0 11 ( )0 0 sts t u tedteRe s ss 1 u t s 14培训类 例3 求函数求函数 的拉氏变换的拉氏变换 ( ) k t f te.kR 解解 () 00 1 ( ) ktsts k t f te ed

7、tedtRe sk sk 1 kt e sk 例4 求单位斜坡函数求单位斜坡函数 的拉氏变换的拉氏变换 00 0 t tt u t tt 解解 2 00 111 ( )0 0 sts tst ttedtteedtRe s sss 2 1 ( )( )ttu t s 15培训类 例例5 5正弦函数正弦函数 0sin 00 t t t f(t) dteee j dtetf(t)L sttjtjst 00 2 1 sin dtee j )tj(s)t-(s-j 0 2 1 00 11 2 1 )tj(s)tj(s e js e jsj 2222 2 2 111 2 1 ss j jjsjsj 16培

8、训类 是周期为 当 在一个周期上连续或分段连续时,则有 周期函数的拉普拉斯变换周期函数的拉普拉斯变换 这是求周期函数拉氏变换公式 ( )f t T的周期函数,即 ()f tT( )(0)f tt ( )f t 可以证明:若 0 1 ( ) 1 t T s s T f t edt e ( )f t 17培训类 （1 1）线性性质）线性性质 三三 拉氏变换的几个重要定理拉氏变换的几个重要定理 （2 2）微分定理）微分定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL 2121 0fsFstfL （3 3）积分定理）积分定理 0 11 1- f s sF s dttfL （4 4）实位移定理）实位移定

9、理 )()( 0 0 sFetfL s （5 5）复位移定理）复位移定理 )()(AsFtfeL tA （6 6）初值定理）初值定理 )(lim)(lim 0 sFstf st （7 7）终值定理）终值定理 )(lim)(lim 0 sFstf st （终值确实存在时）（终值确实存在时） ( )12(1) ( )( )(0)(0)(0) nnnnn fts F ssfsff 18培训类 自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 19 应用拉氏变换的终值定理求应用拉氏变换的终值定理求 注意拉氏变换终值定理的适用条件：注意拉氏变换终值定理的适用条件： 事实上：事实上： ( )sY s 的

10、极点均处在复平面的左半边。的极点均处在复平面的左半边。 ( )y 不满足终值定理的条件。不满足终值定理的条件。 19培训类 四四 拉氏反变换拉氏反变换 j j st dsesF j tf )( 2 1 )(（1 1）反演公式）反演公式 （2 2）查表法（分解部分分式法）查表法（分解部分分式法） a)s(s a)-s(s a F(s) 1 a)s(s F(s) 1 例例1 1 已知已知，求，求?)( tf 解解. . at e a f(t) 1 1 assa 111 20培训类 1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 一些常用函数的 拉氏变换 21培

11、训类 自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 22 典型信号的拉氏变换（典型信号的拉氏变换（2 2） 22培训类 2.2.用留数法分解部分分式用留数法分解部分分式 一般有一般有 其中：其中： )( . . )( )( )( 0 1 1 0 1 1 mn asasa bsbsb sA sB sF n n n n m m m m 设设)()(.)( 210 1 1n n n n n pspspsasasasA 0)( sAI. 当当 无重根时无重根时 n i i i n n ps C ps C ps C ps C F(s) 1 2 2 1 1 n i tp i tp n tptp in

12、 eCeCeCeCtf 1 21 21 )( ).F(s)p(sC i ps i i lim i psi (s)A B(s) C 23培训类 34 2 )( 2 ss s sF例例2 2 已知已知，求，求 ?)( tf 解解. . 3131 2 21 s C s C )(s(s s F(s) 2 1 31 21 31 2 1lim 1 1 )(s(s s )(sC s 2 1 13 23 31 2 3lim 3 2 )(s(s s )(sC s 3 21 1 21 ss F(s) tt eef(t) 3 2 1 2 1 34 55 )( 2 2 ss ss sF例例3 3 已知已知，求，求 ?

13、)( tf 解解. . 34 )2()34( 2 2 ss sss F(s) )3)(1( 2 1 ss s tt eetf(t) 3 2 1 2 1 )( 24培训类 0)()()( 1 n pspssAII. 当当 有重根时有重根时 n n m m m- m- m m s-p C s-p C s-p C )(s-p C )(s-p C F(s) 1 1 1 1 1 1 1 1 ( (设设 为为m m重根，其余为单根重根，其余为单根) ) 1 p 1 1 1 1 1 1 1 s-p C )(s-p C )(s-p C Lf(t) m- m- m m .F(s)p(s ds d )(m- C

14、.F(s)p(s ds d j C .F(s)p(s ds d C .F(s)p(sC m m m ps m j j ps m-j m ps m- m ps m 1 1 )1( 1 1 )( 11 1 1 1 1 1 lim !1 1 lim ! 1 lim ! 1 1 lim 1 1 n n m m s-p C s-p C tpm m-mm .eCtCt )(m C t )(m C 1 !2!1 12 211 tp n mi i i eC 1 25培训类 )3()1( 2 )( 2 sss s sF例例5 5 已知已知，求，求?)( tf 解解. . 311 431 2 2 s c s c

15、s c )(s c F(s) )(s)s(s s )(sC s 31 2 1lim 2 2 1 2 )(s)s(s s )(s ds d C s 31 2 1lim ! 1 1 2 2 1 1 )(s)s(s s s.C s 31 2 lim 2 0 3 3 1 12 11 3 2 1 1 4 3 1 1 2 1 2 s . s . s . )(s .F(s) ttt eetef(t) 3 12 1 3 2 4 3 2 1 )(s)s(s s sC s 31 2 )3(lim 2 3 4 2 1 311 21 )( 22 1 )3( 3)2()3( lim ss sssss s4 3 3 2

16、12 1 26培训类 常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其 基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性 性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉 斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分 方程（或方程组）的解. 27培训类 例例17 求微分方程 23 t yyye 满足初始条件 00y 01 y 的解 解解 设 ( )y tY s 对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则 得 2 1 123 1 s Y ssY sY s s 311 2 884 ( ) 113113 s Y s ssssss 解得 所以 3 131 488 ttt y teee 28培训类 cacacaca n n n n01 )1( 1 )( . 用用L变换方法解线性常微分方程变换方法解线性常微分方程 0 0 初条件初条件 nm :L)().( 01 1 1 sCasasasa n n n n )( . . )( 01 1 1 01 1 1 sR asasasa bsbsbsb sC n n n n m m m m 0 1 1 0 1 1 )()( .