一阶微分方程的解法及应用

1、一阶微分方程的解法及应用 一阶微分方程的一阶微分方程的 解法及应用解法及应用 第十二章第十二章 一阶微分方程的解法及应用 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型辨别方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解 变量代换法变量代换法 代换自变量代换自变量 代换因变量代换因变量 代换某组合式代换某组合式 三个标准类型三个标准类型: 可分离变量方程可分离变量方程, 齐次方程齐次方程, 线性方程线性方程, 一阶微分方程的解法及应用 1. 求下列方程的通解求下列方程的通解 ; 0 1

2、 ) 1 ( 3 2 xy e y y 提示提示: (1), 33 xyxy eee 因故为分离变量方程故为分离变量方程: 通解通解 ;)2( 22 yyxyx ; 2 1 )3( 2 yx y . 23 36 )4( 32 23 yyx yxx y xeyey xy dd 3 2 Cee xy 3 3 1 一阶微分方程的解法及应用 方程两边同除以方程两边同除以 x 即为齐次方程即为齐次方程 , ,0时x yyxyx 22 )2( 时，0 x 2 1uux 2 1uux x y x y y 2 1 x y x y y 2 1 令令 y = u x ,化为分化为分 离变量方程离变量方程. 调换自

3、变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位 , 2 2 1 )3( yx y ,2 d d 2 yx y x 用线性方程通解公式求解用线性方程通解公式求解 . 化为化为 一阶微分方程的解法及应用 32 23 23 36 )4( yyx yxx y 齐次方程齐次方程 . x y u 令 一阶微分方程的解法及应用 2. 求下列方程的通解求下列方程的通解: )lnln() 1(yxyyyx 提示提示: (1) 令令 u = x y , 得得 (2) 将方程改写为将方程改写为 0d)1ln(dln2)2( 2 xxyyyxx yyx xyx y 22 363 )3( 22 u x u x u ln d

4、 d )(ln)(yxyyx x y y xxx y 2ln2 1 d d 3 (伯努里方程伯努里方程) 2 yz令 (分离变量方程分离变量方程) 原方程化为原方程化为 一阶微分方程的解法及应用 令令 y = u t yyx xyx y 22 363 )3( 22 ) 1(2 ) 1(3 d d 22 xy yx x y (齐次方程齐次方程) yt yt t y 2 3 d d 22 令令 t = x 1 , 则则 t y x t t y x y d d d d d d d d 可分离变量方程求解可分离变量方程求解 化方程为化方程为 一阶微分方程的解法及应用 3.设设F(x)f (x) g(x

5、), 其中函数其中函数 f(x), g(x) 在在(,+) 内满足以下条件内满足以下条件:, 0)0(),()(),()( fxfxgxgxf且 (1) 求求F(x) 所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出求出F(x) 的表达式的表达式 . 解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF )()( 22 xfxg )()(2)()( 2 xgxfxfxg )(2)2( 2 xFe x 所以所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非齐次微分方程: .2)()( x exgxf 一阶微分方程的解法及应用 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微

6、分方程解的公式得 CxeeexF x x x d4)( d2 2 d2 Cxee xx d4 42 代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得 于是于是 xx eexF 22 )( x exFxF 2 4)(2)( xx Cee 22 一阶微分方程的解法及应用 总习题总习题: (题3只考虑方法及步骤) P353题2 求以1)( 22 yCx为通解的微分方程. 提示提示: 1)( 22 yCx 02)(2yyCx 消去 C 得 1) 1( 22 y y P353 题3 求下列微分方程的通解: xyyyx2) 1 ( 提示提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : uu2 ) 1ln

7、(ln)2(xxayxyx 提示提示: 这是一阶线性方程 , 其中 , ln 1 )( xx xP) ln 1 1()( x axQ P353 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (9), (10) 一阶微分方程的解法及应用 )ln(2d d )3( xy y x y 提示提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程 y y x yy xln22 d d 0 d d )4( 33 yxyx x y 提示提示: 为伯努里方程 , 令 2 yz 0dd)3()9( 24 xyxyxy 提示提示: 可化为贝努里方程 x y x y x y 4 3 d d 令 2 xz 一阶微分方程的解法及

8、应用 原方程化为 yxxy 2 )10( xyxu 2 , 即,2 2 uuxy 则 x y d d u x u uxu d d )(22 故原方程通解 Cyxxyx 2 3 )( 332 2 2 d d x uu x u u ex d 2 Cue u u d2 d 2 Cuu u d2 1 2 22 2 3 2 u C u u2 x u x d d 2 x u u d d 2 提示提示: 令 一阶微分方程的解法及应用 例例4. 设河边点设河边点 O 的正对岸为点的正对岸为点 A , 河宽河宽 OA = h, 一鸭子从点一鸭子从点 A 游向点游向点 二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题

9、 利用共性建立微分方程利用共性建立微分方程 ,利用个性确定定解条件利用个性确定定解条件. 为平行直线为平行直线, 且鸭子游动方向始终朝着点且鸭子游动方向始终朝着点O , h 提示提示: 如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系. 设时刻设时刻t 鸭子位于点鸭子位于点P (x, y) , 设鸭子设鸭子(在静水中在静水中)的游速大小为的游速大小为b P 求鸭子游动的轨迹方程求鸭子游动的轨迹方程 . O , 水流速度大小为水流速度大小为 a , 两岸两岸 ),(ab )0,(aa a b y x A o 则则 关键问题是正确建立数学模型关键问题是正确建立数学模型, 要点要点: 则鸭子游速则鸭子游速 b

10、为为 一阶微分方程的解法及应用 定解条件定解条件 a 由此得微分方程由此得微分方程 y x v v y x d d y x yb yxa 22 即即 v 鸭子的实际运动速度为鸭子的实际运动速度为 .0 hy x y x d d y x y x b a 1 2 ( 齐次方程齐次方程 ) b 0 PObb , d d , d d t y t x v bav h P a b y x A o 2222 , yx yb yx xb 2222 , yx y yx x 一阶微分方程的解法及应用 ),(yxM y xo 练习题练习题:P354 题题 5 , 6 P354 题题5 . 已知某曲线经过点已知某曲线

11、经过点( 1 , 1 ), 轴上的截距等于切点的横坐标轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程求它的方程 . 提示提示: 设曲线上的动点为设曲线上的动点为 M (x,y), )(xXyyY 令令 X = 0, 得截距得截距, xyyY由题意知微分方程为由题意知微分方程为 xxyy 即即1 1 y x y 定解条件为定解条件为.1 1 x y yxxtan x 此点处切线方程为此点处切线方程为 它的切线在纵它的切线在纵 一阶微分方程的解法及应用 P354 题题6. 已知某车间的容积为已知某车间的容积为,m63030 3 ,CO%12. 0 2 的其中含的新鲜空气的新鲜空气 问每分钟应输入多少才

12、能在问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空分钟后使车间空 2 CO气中的含量不超过的含量不超过 0.06 % ? 提示提示: 设每分钟应输入设每分钟应输入,m3k t 时刻车间空气中含时刻车间空气中含 2 CO ,m3x为则在则在,ttt 内车间内内车间内 2 CO x 两端除以两端除以 ,t 并令并令0t 25005400d dk x k t x 与原有空气很快混合均匀后与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出以相同的流量排出 ) 得微分方程得微分方程 tk 100 04. 0 t x k 5400 5400 ( 假定输入的新鲜空气假定输入的新鲜空气 2 CO%04. 0现以含

13、输入输入 , 的改变量为的改变量为 一阶微分方程的解法及应用 t = 30 时时5406. 05400 100 06. 0 x 2504ln180k 25005400d dk x k t x 5412. 0 0 t x 解定解问题解定解问题 )04. 008. 0(54 5400 t k ex 因此每分钟应至少输入因此每分钟应至少输入 250 3 m新鲜空气新鲜空气 . 初始条件初始条件5400 100 12. 0 0 t x5412. 0 得得 k = ? 一阶微分方程的解法及应用 二阶微分方程的二阶微分方程的 解法及应用解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第十

14、二章第十二章 一阶微分方程的解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法 )( d d 2 2 xf x y ) d d ,( d d 2 2 x y xf x y 令令 x y xp d d )( ),( d d pxf x p ) d d ,( d d 2 2 x y yf x y 令令 x y yp d d )( ),( d d pyf y p p 逐次积分求解逐次积分求解 一阶微分方程的解法及应用 2. 二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数情形常系数情形 齐次齐次 非齐次非齐次 代数法代数

15、法 * 欧拉方程欧拉方程 yx 2 yxpyq)(xf t Dex t d d ,令 qpDDD ) 1(y)( t ef 练习题练习题: P353 题题 2（2）; 3 (6) ,(7) ; 4(2)。 一阶微分方程的解法及应用 解答提示解答提示 P353 题题2 求以求以 xx eCeCy 2 21 为通解的微分方程为通解的微分方程 . 提示提示: 由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为,2,1 21 rr 故特征方程为故特征方程为,0)2)(1(rr 023 2 rr即 因此微分方程为因此微分方程为023 yyy P353 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解

16、, 01)6( 2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令令, )(ypy 则方程变为则方程变为 ,01 d d 2 p y p py y y p ppd 1 d 2 即 一阶微分方程的解法及应用 特征根特征根: xyyy2sin52)7( ,21 2, 1 ir 齐次方程通解齐次方程通解: )2sin2cos( 21 xCxCeY x 令非齐次方程特解为令非齐次方程特解为xBxAy2sin2cos* 代入方程可得代入方程可得 17 4 17 1 , BA 思思 考考 若若 (7) 中非齐次项改为中非齐次项改为,sin2x 提示提示:,sin 2 2cos12x x xBx

17、Ay2sin2cos*故D 原方程通解为原方程通解为 xx2sin2cos 17 4 17 1 )2sin2cos( 21 xCxCey x 特解设法有何变化特解设法有何变化 ? 一阶微分方程的解法及应用 P354 题题4(2) 求解求解 0 2 yay ,0 0 x y 1 0 x y 提示提示: 令令),(xpy 则方程变为则方程变为 2 d d pa x p 积分得积分得, 1 1 Cxa p 利用利用1 00 xx yp1 1 C得 再解再解, 1 1 d d xax y 并利用并利用,0 0 x y 定常数定常数 . 2 C 思考思考若问题改为求解若问题改为求解 0 3 2 1 yy

18、 ,0 0 x y1 0 x y 则求解过程中得则求解过程中得, 1 1 2 x p 问开方时正负号如何确定问开方时正负号如何确定? 一阶微分方程的解法及应用 xxCxCysincos 21 特征根特征根 :, 2 , 1 ir 例例1. 求微分方程求微分方程 2 , xxyy ,0 0 x y,0 0 x y 提示提示:, 2 时当 x 故通解为故通解为 )(sin 2 xxxy 2 ,04 xyy 满足条件满足条件 2 x在 解满足解满足 xyy ,0 0 x y0 0 x y 处连续且可微的解处连续且可微的解. 设特解设特解 : ,BAxy 代入方程定代入方程定 A, B, 得得xy ,

19、 0, 0 00 xx yy利用得得 一阶微分方程的解法及应用 2 x由处的衔接条件可知处的衔接条件可知, , 2 时当 x 04 yy ,1 2 2 x y1 2 x y 解满足解满足 故所求解为故所求解为 y ,sinxx 222 1 ,2cos)1 (2sin xxx 2 x xCxCy2cos2sin 21 其通解其通解: 定解问题的解定解问题的解: 222 1 ,2cos)1 (2sin xxxy 一阶微分方程的解法及应用 例例2. ( ),f x设设二二阶阶导导数数连连续续 且满足方程且满足方程 0 ( )sin() ( ) x f xxxt f t dt ( ) .f x求求 提

20、示提示: ,)()(sin)( 00 xx tdtfttdtfxxxf则则 xxfcos)( )(sin)(xfxxf x tdtf 0 )()(xfx)(xfx 问题化为解初值问题问题化为解初值问题: xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f 最后求得最后求得x x xxfcos 2 sin 2 1 )( 一阶微分方程的解法及应用 思考思考: 设设, 0)0(,d)()( 0 x x uuxxex ?)(x如何求 提示提示: 对积分换元对积分换元 , ,uxt 令则有则有 x x ttex 0 d)()( )()(xex x 解初值问题解初值问题: x exx )()( ,0)0(

21、1)0( 答案答案: xx exex 4 1 ) 12( 4 1 )( 一阶微分方程的解法及应用 的解的解. 例例3. 设函数设函数),()(在xyy ,)()(, 0的函数是xyyyxxy 内具有连续二阶导内具有连续二阶导 (1) 试将试将 xx( y) 所满足的微分方程所满足的微分方程 变换为变换为 yy(x) 所满足的微分方程所满足的微分方程 ; (2) 求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 0) d d )(sin( d d 3 2 2 y x xy y x , 0)0(y 数数, 且且 2 3 )0( y 解解: , 1 d d yy x , 1 d d y

22、x y即 上式两端对上式两端对 x 求导求导, 得得: (1) 由反函数的导数公式知由反函数的导数公式知 一阶微分方程的解法及应用 0)( d d d d 2 2 2 y y x y x y 22 2 )( d d d d y y x y y x 3 )(y y 代入原微分方程得代入原微分方程得 xyysin (2) 方程的对应齐次方程的通解为方程的对应齐次方程的通解为 xx eCeCY 21 设的特解为设的特解为 ,sincosxBxAy 代入得代入得 A0, , 2 1 B ,sin 2 1 xy 故从而得的通解从而得的通解: 一阶微分方程的解法及应用 xeCeCy xx sin 2 1

23、21 由初始条件由初始条件 , 2 3 )0(, 0)0(yy得得 1, 1 21 CC 故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为 xeey xx sin 2 1 一阶微分方程的解法及应用 二、微分方程的应用二、微分方程的应用 1 . 建立数学模型建立数学模型 列微分方程问题列微分方程问题 建立微分方程建立微分方程 ( 共性共性 ) 利用物理规律利用物理规律 利用几何关系利用几何关系 确定定解条件确定定解条件 ( 个性个性 ) 初始条件初始条件 边界条件边界条件 可能还要衔接条件可能还要衔接条件 2 . 解微分方程问题解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义分析解所包含的实际意义 一阶微

24、分方程的解法及应用 例例4. 解解: 欲向宇宙发射一颗人造卫星欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球为使其摆脱地球 引力引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度试计算此速度. 设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为地球质量为 M , 卫星卫星 的质心到地心的距离为的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得: 22 2 d d h mMG t h m 0 0 d d ,v t h Rh t , 0 v为 (G 为引力系数为引力系数) 则有初值问题则有初值问题: 22 2 d d h MG t h 又设卫星的初速

25、度又设卫星的初速度 ，已知地球半径 5 1063R 一阶微分方程的解法及应用 ),( d d hv t h 设, d d d d 2 2 h v v t h 则 代入原方程代入原方程, 得得 2 d d h MG h v vh h MG vvdd 2 两边积分得两边积分得C h MG v 2 2 1 利用初始条件利用初始条件, 得得 R MG vC 2 0 2 1 因此因此 Rh MGvv 11 2 1 2 1 2 0 2 2 2 1 limv hR MGv 1 2 1 2 0 注意到注意到 一阶微分方程的解法及应用 为使为使,0v应满足 0 v R MG v 2 0 因为当因为当h = R

26、(在地面上在地面上) 时时, 引力引力 = 重力重力, )sm81. 9( 2 2 ggm h mMG 即即 , 2 gRMG故 代入即得代入即得 81. 9106322 5 0 gRv ) s(m102 .11 3 这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 skm2 .11 一阶微分方程的解法及应用 求质点的运动规求质点的运动规 例例5. 上的力上的力 F 所作的功与经过的时间所作的功与经过的时间 t 成正比成正比 ( 比例系数比例系数 00 ,sv初初始始位位移移为为初初始始速速度度为为 ).(tss 律 提示提示:,d 0 tksF s s 由题设两边对两边对 s 求导得求导得: s t

27、 kF d d 牛顿第二定律牛顿第二定律 s t k t s m d d d d 2 2 m k t s t s 2 2 d d d d td d 2 d d t s m k2 2 d d t s 1 2 Ct m k 为为 k), 开方如何定开方如何定 + ? 已知一质量为已知一质量为 m 的质点作直线运动的质点作直线运动, 作用在质点作用在质点 一阶微分方程的解法及应用 例例6. 一链条挂在一钉子上一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子启动时一端离钉子 8 m , 另一端离钉子另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦如不计钉子对链条所产生的摩擦 力力, 求链条滑下来所需的时间求链条滑下来所需的时间 . 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 设在时刻设在时刻 t , 链条较长一段链条较长一段 x