第五章(4) 线性系统的频域分析法

1、1.相对稳定性 2.稳定裕度（幅值裕度、相角裕度） 3.时域指标与开环频域指标的关系 4.三段频理论（初步认识） 5-4 稳定裕度( (考试、考研考试、考研) ) 时域（时域（t t） 系统动态性能系统动态性能 稳定边界稳定边界 稳定程度稳定程度 频域（频域（w w） 稳定程度稳定程度 虚轴虚轴 阻尼比阻尼比 x x 到到(-1,j0)(-1,j0)的距离的距离(-1,j0)(-1,j0) 稳定裕度稳定裕度 ( (开环频率指标开环频率指标) ) 、相对稳定性、相对稳定性 相对稳定性就是在稳定系统中，研究那个系 统更稳定。 b a -110 j r 1/h 若系统的开环幅相曲线如图： 考虑a点：

2、 o jG jG 180)( 1| )(| w w 但 再考虑b点： 1| )(| 180)( w w jG jG o 但 若a点沿着单位圆顺时针转过r角，则 同时成立。 若b点沿着负实轴向左移动到(-1,j0)点，则 同时成立。 o jGjG180)(, 1| )(|ww 频率域内，稳定系统 有2条途径滑向临界 稳定，因此，有2个 稳定裕度指标。幅值 裕度和相角裕度衡量 系统相对稳定性。 o jGjG180)(, 1| )(|ww 稳定裕度稳定裕度 c 截止频率截止频率 相角裕度相角裕度)(180 c jGw w 1)( c jG g 相角交界频率相角交界频率 h 幅值裕度幅值裕度 )( 1

3、 g jG h w w 180)( g jG 系统在系统在 方面的稳定储备量方面的稳定储备量 h 幅值幅值 相角相角 一般要求一般要求 40 2 h （穿越频率，教材用（穿越频率，教材用 表示）表示） x w n 系统稳定，则系统稳定，则 h1、 0 。 闭环稳定系统的增益裕量和相位裕量 闭环不稳定系统的增益裕量和相位裕量 0P 0P 和和 h(dB)h(dB)在对数在对数频率特性上的正负示意频率特性上的正负示意 )(180 c jGw w 解法解法I：由幅相曲线求：由幅相曲线求。h, 例例 )10)(2( 100 )1 10 )(1 2 ( 5 )( sss ss s sG ，求，求。h,

4、(1)(1)令令1)( c jG 2222 102 100 ccc w ww ww w 1000400104 242 ccc w ww ww w 9 . 2 c w w试根得试根得 )9 . 2(180 10 9 . 2 arctan 2 9 . 2 arctan90180 5 .181 .164 .5590 )( 1 g jG h w w 180)( g w w 10 arctan 2 arctan90 gg w ww w 90tan 20 1 102 2 g gg w w w ww w 可得可得 90 10 arctan 2 arctan gg w ww w 20 2 g w w 47.

5、4 g w w )dB6 . 7(4 . 2 100 102 47. 4 2222 g ggg w w w ww ww w )( 1 g jG h w w 将将G(jw w)分解为实部、虚部形式分解为实部、虚部形式 )10)(2( 100 )( w ww ww w w w jjj jG 令令0)(Im Y GjGw w )100)(4( )20(1001200 22 2 w ww ww w w ww w j YX jGG 47. 420 g w w得得 4167. 0)( gX Gw w代入实部代入实部 4 . 2 4167. 0 1 4167. 0)( g Gw w )47. 4( 1 jG

6、 h )1 10 )(1 2 ( 5 )( ss s sG 由由L(w w):1)( c jGw w 16. 310 c w w得得 4 . 2 4167. 0 1 解法解法II：由：由BodeBode图求图求。h, 2 10 1 2 5 c c c w w w w w w )(180 c jGw w )16. 3(180 10 16. 3 arctan 2 16. 3 arctan90180 8 .14541.1767.5790 9 . 2 5 .18 47. 4102 g w w 例例5-12 5-12 已知单位反馈系统 设 分别为4和10时，试确定系统的稳定裕度。 3 ( ) (1) K

7、 G s s K 解：系统开环频率特性 22 32 3 2 2 (1 3)(3) ()3arctan (1) (1) KKj G j www ww w w 按 ,gc w w定义可得3 g w 4K 1 3 ()0.5,2 1611.233,()152.9 ,27.1 gg oo cc G jK G j w ww 时 10K 时 ()1.25,0.8 1.908,()187.0 ,7.1 gg oo cc G jK G j w ww 分别作出 和 的开环幅相曲线Nyquist图，由奈氏判据知： 4K 10K 时，系统闭环稳定， 时，系统闭环不稳定， 4K 10K 1,0h 1,0h 仅用增益裕

8、量或相位裕量，甚至在某些情形下，同时应用增益裕 量或相位裕量都不足以说明系统的稳定程度。 这个问题在用劳斯相对稳定判据判断时不存在。 1 2 v K n x xw w (1) (1) 二阶系统二阶系统 )2( )( 2 n n ss sG xwxw w w 22 2 )2( )( n n jG xwxww ww w w w w w n jG x xw w w w w w 2 arctan90)( 1 )2( )( 2 2 2 ncc n c jG x xw ww ww w w w w w nc w wx xx xw w 24 214 )(180 c w w 2 2 2 2 )( nn n ss

9、 s w wx xw w w w n c xwxw w w 2 arctan90 c n w w x xw w2 arctan 3 3 时域指标与开环频域指标的关系时域指标与开环频域指标的关系 nc w wx xx xw w 24 214 )(180 c w w n c xwxw w w 2 arctan90 c n w w x xw w2 arctan 24 214 2 arctan x xx x x x )2( )( 2 n n ss sG xwxw w w 2 1/ % x x x x e % x x n s t x xw w 5 . 3 24 214 5 . 3 x xx x x x

10、w w cs t tan 7 x x x xx x 2 214 7 24 越越大大越越大大 ,) 214 1 (2 2 1 24 arctg s t n w w % (2) (2) 高阶系统高阶系统 %100)1 sin 1 (4 . 016. 0% 2 1 sin 1 5 . 21 sin 1 5 . 12 w w c s t )9035( 用频域法估算高阶系统动态性能用频域法估算高阶系统动态性能 c w w c s a t w w 0 0 )(w wL g 例例5-145-14 52.236 稳定裕度的稳定裕度的概念概念 ( (开环频率指标开环频率指标) ) 稳定裕度的稳定裕度的定义定义

11、稳定裕度稳定裕度计算方法计算方法 c 截止频率截止频率 相角裕度相角裕度)(180 c jGw w 1)( c jG g 相角交界频率相角交界频率 h 幅值裕度幅值裕度 )( 1 g jG h w w 180)( g jG )(180)( cc Lw w w ww w )( 1 180)( g g jG h w w w ww w 4 4三频段理论三频段理论 v s K sG )( 0 dB/dec20 1. 1. L(w w)低频段低频段 系统稳态误差系统稳态误差ess 2. 2. L(w w)中频段中频段 系统动态性能系统动态性能( , , ts) 3. 3. L(w w)高频段高频段 系统

12、抗高频噪声能力系统抗高频噪声能力 w wlg20lg20lg20 0 vKG 90 0 vG 最小相角系统最小相角系统 L(w w) 曲线斜率与曲线斜率与(w)(w)的对应关系的对应关系 90 90 dB/dec40 180 0 dB/dec60 270 90 )(1 )( )( sG sG s 1)()( sGs 1)( sG 希望希望 L(w w) 以以-20dB/dec斜率穿越斜率穿越 0dB线，并保持较宽的频段线，并保持较宽的频段 关于三频段理论的说明：关于三频段理论的说明： 各频段分界线没有明确的划分标准各频段分界线没有明确的划分标准 与无线电学科中的与无线电学科中的“低低”、“中中”、“高高”频频 概念不同概念不同 不能用是否以不能用是否以-20dB/dec过过0dB线作为判定线作为判定 闭环系统是否稳定的标准闭环系统是否稳定的标准 只适用于单位反馈的最小相角系统只适用于单位反馈的最小相角系统 )(w wL )(sG )(1 )( )( sG sG s 中频段中频段 三频段理论三频段理论 高频段高频段 低频段低频段 对应性能对应性能希望形状希望形状 L(w w) 系统抗高频干扰的能力系统抗高频干扰的能力 开环增益开环增益 K 系统型别系统型别 v 稳态误差稳态误差 ess 截止频率截止频率 w wc 相角裕度相角裕度 动