第四章 向量与矩阵的秩

1、第四章 向量与矩阵的秩 本章介绍了向量，向量空间概念，讨论了向量的线性相关 性，最大无关组，向量组的秩，矩阵的秩等概念和问题，并 给出了用初等变换求向量组秩，矩阵秩的一种有效方法。 4.1 向量的概念 定义1 如果数的集合F包含0和1，则数的加法 和乘法满足交换律，结合律及分配律，并且F中任 何两个数的和，差，积，商（除数不为0）仍在F 中，那么称F是一个数域。 可以验证，全体有理数集Q Q构成数域，通常称 为有理数域Q；同样，全体实数R R构成实数域R，全 体复数集C C构成复数域C。再如， 构成数域。 但自然数集N N，整数集Z Z不能构成数域。 2 | ,Faba bQ 向量 定义定义2

2、 2：数域：数域F F上上n n 个数个数 所组成的有所组成的有 序数组序数组 叫做数域叫做数域F F上上n n维向量。维向量。 12 , n a aa 12 , n a aa (1,2,., ) i a in 叫做向量 的第i个分量（或坐标）。 注意：无特别说明，本章数域中的数均指实数。 在空间解析几何中，以坐标原点O（0,0,0)为起点，以点P（x,y,z)为终点 的有向线段所表示的向量 就是一个3维向量，这里点（x,y,z) 与向量x,y,z用两种不同的括弧以示点与向量之区别，而在代数中，向量常用 圆括弧表示，在不致混淆的情况下，可用（x,y,z）表示 。 又比如工程上研究导弹飞行状态，

3、用导弹的质量m，空间坐标（x,y,z)和 速度分量 等7个分量组成的一个7维向量 来表示。 , , opx y z op , () xyz v v v , (, , , ,) xyz m x y z v v v 例一 线性方程组 中第i个方程 可用n+1维向量 与其对应表示。 1 122 . iiinni a xa xa xb 12 (,.,) iiini aaab 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 矩阵 12 , iiiin aaa 称为矩阵A的第i（i1,2,m)个行向量，它是一个n维

4、 向量。 的第i行 矩阵A的第j列 1 2 1 ,2 ,., () (1,2,., ) j j T jjjmj mj a a a aajn a 称为矩阵A的第j列向量，它是一个m维向量。 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 就称这两个向量相等，记为 12 , n b bb 12 , n a aa 定义3 向量相等：设向量 如果它们各个对应分量相等，即 1,2, ii abin 0,0,0 零向量：分量全为零的向量 称为零向量。 负向量：向量 12 , n aaa 12 , n a aa 的负向量是指 记作 向量运算及性质 定义4（向量加法）设n维向量 ，

5、 定义向量与的加法为 为 向量与之和。 由向量加法和负向量定义可得向量减法 12 , n a aa 12 , n b bb 1122 , nn ab abab 1122 (), nn ab abab 定义5 （数乘向量）设设为数域为数域F F中的数，向量中的数，向量 为数域为数域F F上的上的n n维向量，那么数维向量，那么数与向量与向量的乘积定义为的乘积定义为 12 , n a aa 12 , n aaa 记作 或 。 123 (2,3,1, 2),(10,2,3, 1),(2,1,3, 2) 123 111 236 解解根据定义及运算性质 123123 1111 (32) 2366 1 (

6、6 20 2,9 4 1,3 6 3, 6 2 2) 6 1 (24,12,6, 6)(4,2,1, 1) 6 例2 设 求 4.2 n维向量空间 数域F上全体n维向量所组成的集合： 中向量加法与 数乘向量运算称为 中向量线性运算，它 满足下列八条运算规律。 1212 (,.) |,., n nn FaaaaaaF n F n F 设向量 ，数 ， 则向量加法满足： (1) (2)()() (3)0 (4)0 数乘满足： (5)1 (6) ()()k lkl , n F , lF 加法和数乘满足分配律： (7) (8) klkl kkk 另外，根据线性运算定义还可得出如下性质： (1)00,(

7、 1),00 (2)0,00kk得或 ,（3)得 定义6 设V是数域F上的n维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么 就称集合V为向量空间 说明说明: : 集合集合V V对于加法及数乘两种运算封闭指对于加法及数乘两种运算封闭指 ,;VVV 有有 ,.VFV 有有 若F为实数域，则称V为实向量空间；若F为复数域，则称V为复向量空间 易知：全体三维向量的集合 构成一个向量空间 部分三维向量的集合 也都构成向量空间， 但部分三维向量集合 不构成向量空间，因为它不满足定义第2点。 3 1, 231, 23 (, )|,Raa aaa aR 11,21,2 (,0)|Sa

8、 aa aR 21,1 (0,0)|SaaR 31,231231,23 (,)|1,Sa a aaaaa a aR 一般，数域F上全体n维向量所成集合 对其定义的向量加法和数乘向量运算满足： (1)向量加法封闭，即若 ， 有 。 (2)数乘向量封闭，即若 ， ，有 ， 故称非空集合 为向量空间 。 1212 ( ,. )|,. n nn Fa aaa aaF , n F n F n F n F n F n F n F 例3 验证n维向量集合 集合 构成向量空间，集合 不构成向量空间。 11121 21121 (1)(,.,)|.0,., (2)(,.,)|.1,., nnn nnn Vaaaa

9、aaaR VaaaaaaaR 1 V 2 V 解解 (1) 非空，又若 ， ， 则 ， ， 于是 ， 从而 。 同样，任給 ， 有 从而 ，故 构成向量空间。 1 V 11 ( ,.,) n aaV 1,1 (. ) n bbV 12 .0 n aaa 12 .0 n bbb 1122 ()().()0 nn ababab 1122 ()().()0 nn abababV R 1 (,.,) n aa 1212 .(.)00 nn aaaaa 1 V 1 V （2)由于 ，则 ， 那么 ，但 得 ，故数乘运算不封闭， 不构成 向量空间。 12 (,.,) n aaV 12 .1 n aaa 1

10、 2(2 ,.,2) n aa 12 22.22 n aaa 2 2V 2 V 说明：对n分别取1,2,3时， 分别表示数轴R上一个 原点，平面 上一条过原点的直线（二，四象限对 角线），空间 中过原点的一个平面； 而 分别表示数轴R上点1,平面 上不过原 点的直线 ，空间 上不过原点的平面且在三 坐标轴截距为1的平面 。 1 V 2 R 3 R 2 V 2 R 3 R1xy 1xyz 4.3 向量组的线性相关性 在第一节例2中，向量 就是向量 ，的一 个线性组合，又 ，这时又称向量 可由 线性表示，一般的有 定义7 设n维向量 ，如果有一 组数 使 则说向量 是 的线性组合，或可说 可由 线

11、性表示。 123 111 236 123 , 123 111 (4,2,1, 1) 236 (4,2,1,1) 123 , 12 , m 12 , m 1122mm 12 , m 12 , m 1234 1234 1234 1234 2322 421 331 733 xxxx xxxx xxxx xxxx 例四 线性方程组 4个方程分别可用向量表示为 1 (2,3, 1, 2,2) 2 (1, 4,2, 1, 1) 3 (3, 1,1, 3,1) 4 (1,7, 3, 1,3) 由于 312 412 即 可由 表示， 也可由 表示。 那么原方程组与 对应组成的方程 组 同解， 有了这一关系，今

12、后在不改变原方程组系数情况下， 可简化方程的求解。 3 12 , 4 12 , 12 , 1234 1234 2322 421 xxxx xxxx 例五 线性方程组 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxa xb 可写成 1112111 2122212 12 121 . n mmmm aaab aaab xxx aaab 由上式可见，方程组（I)有解的充要条件是： 右端常数列向量可由系数矩阵的列向量线性表示。 （I） 例六 n维向量组称为 12 1,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1 n 中n维单位向

13、量组，显然， 中任一向量 可表示为 12 , n n F n F 1122nn aaa 即向量 可由 线性表示，且表示系数就是 向量 的各分量 又若有数 ，使： 则 即 这时，我们把具有这种性质的向量组： 称为 线性无关向量组 12 ,., n 12 , n k kk 1122 0 nn kkk 12 0 n kkk 12 ,0 n k kk 12 ,., n 定义8设有向量组： ，如果存在一组不全为 零的数 ，使 则称向量组 线性相关，否则，称 它们线性无关 12 , m 12 , m kkk 1122 0 mm kkk 12 , m 向量组（同维向量组成的集合）不是线性相关就是线性 无关，

14、所谓线性无关，换句话说就是 定义9 设有向量组 ，若 只有在 时才成立，这时称向量组 线性无关。 12 , m 1122 0 mm kkk 12 0 n kkk 例7 讨论向量组 的线性相关性 123 1,1,1 ,0,2,5 ,1,3,6 123 ,k k k 112233 0kkk 13123123 (,23,56)0kkkkkkkk 13 123 123 0 230 560 kk kkk kkk 13 23 23 0 220 550 kk kk kk 13 23 0 0 kk kk 13 23 kk kk 3 1k 12 1kk 解 设有数 ，使 ，即 于是 解之得 令，得 ，从而得一组

15、不全为0的数，使 123 11( 1)0 ，故 线性相关。 （或由于： ，所以 ， 线性相关。）123 , 123 , 312 123 0 例八 齐次线性方程组 111 212 1 1 0 0 . 0 n n n mmn aa aa xx aa 可写成 它有非零解的充要条件是系数矩阵的列向量组线性相关 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxa xb 例九 设 线性无关， 试证： 也线性无关。 证明 设有数 ，使 ， 即 也就是 由于 线性无关， 则 故 线性无关。 123 、 11222333 , 3

16、 + , 123 、 、 112233 kkk0 123 ,k k k 111221233 ()()kkkkkk0 11222333 ()()0kkk 3 + 123 、 1 12 123 0 0 0 k kk kkk 1 1 3 0 0 0 k k k 123 、 、 定理一 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能由 线性表示，且表示式是唯一的。 12 , r 12 , r 12 , r 定理二 向量组 线性相关，则向量 组中至少有一向量可由其余s-1个向量线性表示。 12 ,(2) s s 注意 一个向量 线性相关当且仅当 为零向量。 含零向量的向量组线性相关。 定理三 当mn时，

17、任意m个n维向量线性相关。 推论 取mn1可得，任意n+1个n维向量一定线性相关 由推论知，在几何空间 中任意四个向量线性相关，在 平面 中任何三个向量线性相关。 3 R 2 R 定理四 设 与 是两个向 量组，如果 （1)向量组 可以经 线性表出； （2)rs。 那么，向量组 必线性相关。 12 , r 12 , r 12 :, r A 12 , s 12 :, s B 推论如果向量组 可以经向量组 线性表出，且 线性无关，那么 12 , r 12 , s 12 , r rs 4.4 向量组等价 引例：在几何空间 中，向量组A为单位基本向量组： 向量组B为： 。 向量组A与向量组B有关系：

18、123 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) （1)向量组B中向量 都可由向量组A中向量线性表出； （2)向量组A中向量 也都可由向量组B中向量线性表出， 且表出关系为 像这种能相互线性表出的向量组称为等价向量组。 3 R 1123,223,33 i i 11222333 , 定义10 设有两个n维向量组 如果向量组A中的每个向量都能由向量组B的向量线 性 表示，则称向量组A能由向量组B线性表示。 如果向量组A能由向量组B线性表示，且向量组B也能 由向量组A线性表示，则称向量组A和向量组B等价； 记作 AB 12 :, r A 12 :, s B 向量组之间的等价关系具有下列性质：

19、（1)反身性：A组与A组自身等价，即 （2)对称性：若A组与B组等价，则B组与A组等价， 即若 ，则 ； （3)传递性：若向量组A与向量组B等价，向量组B与向量组C 等价，则向量组A与向量组C是等价的。 即若 ，则 。 AA ABBA ,AB BCAC 数学中，把具有反身性，对称性，传递性这三条性质的关系称为对称关系。 例10 设 11121314 21222324 31323334 aaaa Aaaaa aaaa 1 010 100 001 P 2 100 010 101 P 3 200 010 001 P ， ， ， 记A的行向量为 1,2,3 ，则 111 112222332 3313

20、2 ,BPABP ABP A 易知， 中行向量组均与A的行向量组 等价。 1,23 ,B B B1,2,3 由例10我们可以得到更一般的结论： 定理五 阶矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B ，则 矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价，而且A中的任 意k个列向量与B中对应的k列向量有相同的线性相关性。 m n 推论 矩阵A经有限次初等列变换变成B，则矩阵A的列向量组 与矩阵B的列向量组等价，而A的任意k个行向量与B中对 应的k个行向量有相同的线性相关性。 例11 设 ，满足： A=PB ，P为m阶可逆矩阵，则矩阵A的行向量组 与矩阵B的行向量组等价。 证明 P为m阶可逆矩阵，则P可表示成有限

21、次初等方阵之积， 即 于是 相当于B经有限次初等行变换 变成矩阵A， 由定理5得知：矩阵A与B的两行向量等价。 (),()(), ijm nijm nijm n AaBbPP 121 . ll PPPP P 121 . ll APBPPP PB 1,2 ,. l P PP 4.5 极大无关组 在向量空间 中，我们知道，单位向量组 线性无关，且对 中任一向量 ，均可由 线性表 示，那么， n F 称向量组 为向量集 的一个极大无关组。 一般地，我们可定义向量组T的一个极大无关组如下： n F n F12n ,., 12n ,., 12n ,., n F 定义11 向量组T中有r个向量 ，满足：

22、（1)向量组 线性无关； （2)向量组T中任意一个向量均可由 线性表示。 这时，称向量组 是向量组T的一个极大线性无关组， 简称极大无关组，也可称最大无关组。 从定义可知，向量组T与它的极大无关组等价。 1,2,.r 1,2,.r 1,2,.r 1,2,.r 例12 （1)n维向量空间 中的单位向量组 是空间 中的一个极大无关组。 （2)设向量组T为 ，则可 验证 线性无关， ，即 可由 线性表示，从而 为向量组T的一个极大无关组。 同样， 也是向量组T的一个极大无关组。 思考： 是否为向量组T的一个极大无关组？ n F n F 12n ,., 123 (1,0,0),(0,1,0),(1,1

23、,0) 1,2 312 3 1,2 1,2 13 , 23 , 例13 设 是三维向量空间 中以原点为起点，终点落在平面 上所有向量的集合，求 的一个极 大无关组。 解 由于 显然 是 中向量， 线性无关。 又设 是 中任一向量，则 ， 有 。 于是 可由 线性表出，且表出关系式为 所以向量 为向量集 的一个极大无关组。 1 V 3 R 123 :0 xxx 1 V 1123123 ( ,)|0,1,2,3 i Vx x xxxxxR i 12 (1, 1,0),(1,0, 1) 1 V 12 , 123 ( ,)k k k 1 V 123 0kkk 123 kkk 12 , 12 , 1 V

24、 2132 ()()kk 从上两例知，一向量组T的极大无关组不一定是唯一的，但向 量组T的每个极大无关组所含的向量个数是否相等呢？ 答案是肯定的。 为了回答这个问题，我们先证一个重要的定理。 定理六 设有两个n维向量组 （1)若A组线性无关，且可由B组线性表示，则 ； （2)若A组线性无关，B组也线性无关，且A组与B 组等价，则rs。 rs 12 :, r A 12 :, s B 定理七 设向量组A与向量组B是向量组T的两个极大无关组，则 向量组A与向量组B等价且A中所含向量个数等于B组所 含向量个数。 由定理七知，一个向量组T含一个极大无关组或含有两个 以上极大无关组，它的每个极大无关组所含

25、向量个数相同。 定义12 向量组T的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩， 记作秩(T)或rank(T),简记r(T)。 这里规定仅含有零向量的向量组的秩为零。 例14 设向量组A 求向量组的秩。 解因易知 线性无关，而 故知， 为向量组A的一个最大无关组。 从而知r(A)=2 12 , 12 , 312412 2,2 1234 (1,2, 1,3),(1, 1,2, 2),(3,3,0,4),(1,5, 4,8) 定理八 两个n维向量组A,B有 （1)如果组A可由组B线性表示，则 ； （2)如果组A与组B等价，则r(A)=r(B) r(A)r(B) 4.6 矩阵的秩 矩阵的秩是刻画矩阵内在特

26、性的重要概念，它能使我们深 刻认识矩阵确定向量的相关性或无关性，建立线性方程组的 理论等。 定义13 矩阵 11121 21222 12 . . . . . . n n mmmn aaa aaa aaa A 的行向量组成的向量组的秩，称为矩阵A的行秩,记作r(A)。 它的列向量组成的向量组的秩，称为矩阵A的列秩，记作c(A). 如矩阵 1 0 0 A= 1 0 1 0 0 1 ， 它的行向量组 123 (1,0,0),(1,0,1),(0,0,1) 易知 为一个最大无关组，从而r(A)=2。 它的列向量组 同样可知 为极大无关组，故c(A)=2。 对矩阵A有r(A)= c(A)=2 12 ,

27、123 (1,0,0) ,(0,0,0) ,(0,1,1) TTT 13 , 定义14 在一个 矩阵A中任意选定k行和k列( ), 位于这些选定的行列的交叉点上的 个元素按原来的 次序所组成的 矩阵的行列式称为A的一个k阶子式。 mnmin( , )km n 2 k kk 例如 1345 1 023 011 0 A 的第一，二行，第二，四两列交叉点上的元素所构成的一 个二阶子式为 3 5 0 3 定义15 设A为 矩阵，如果A中不为零的子式最高阶数 为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式若 有的话）皆为零，则称r为矩阵的秩，记作R(A)， 即R(A)=r。 mn 当A=0时，规定R(A

28、)0。 显然：( )(),0( )min( , ) T R AR AR Am n 当 ( )min( , )R Am n时，称矩阵A为满秩矩阵。 例如，1 2 3 0 0 1 2 1 2 4 6 0 A 中有二阶子式 12 10 01 但它的任何三阶子式皆为零，所以R(A)=2。 如在上面的矩阵A中，有二阶子式 10 10 11 而三阶子式 0A ，故A的行列式秩D(A)=2。 那么，对矩阵A,我们可以看到，它的行秩，列秩， 行列式的秩都等于2,即( )( )(2)r Ac AD A 那么，对于任何一个矩阵，它们三秩的关系如何呢？ 而 1 2 3 0 0 1 0 1 0 0 1 0 B 是满秩矩阵。 定理九 任一矩阵A的行秩r(A)，列秩c(A) ，行列式秩D(A