第二章高等数学提高课2014.4.12

1、知识1 导数的概念及其计算 知识2 导数的几何意义 知识2 导数的应用 考点一：利用导数的定义求极限 导数定义的几种表达式导数定义的几种表达式 00 0 0 ()() ()lim, x f xxf x fx x 00 0 0 ()() ()lim, h f xhf x fx h 0 0 0 0 ( )() ()lim xx f xf x fx xx ， 00 0 0 ()() ()lim f xf x fx 例1：设 0 ()fx存在，则 00 0 (2 )() lim h f xhf x h (1)1 f 0 (12 )(1) lim h fhf h ，则 设 (1)1 f 0 (12 )(

2、1) lim h fhfh h ，则 设 40 f . 3 2 lim 0 x xfxf x 设 ，求 考点二：导数运算法则 高阶导数高阶导数 四则运算四则运算 复合函数求导复合函数求导 隐函数求导隐函数求导 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 幂指函数求导幂指函数求导 复习导数公式 (1) (1) 四则运算四则运算 ()uvuv ()u vu vuv 2 0 uu v uv v v v uCCu ) ( 2 11 0 x x x ()uvwuvw ()uvwu vw uv w uvw 推广推广 2 11 (vv v v （2 2）复合函数求导）复合函数求导 ()(31

3、31 =6 321)xxx（） 2 31yx 2y 31x31x 2 ln (1 3 )yx 2 2 1 (13 ) (13 ) x x 1 y 2 ( 3 )1x 2 ( 3 )1x 2 1 2(13 )(13 ) (13 ) xx x 6 13x 是关于 的函数）x 内函数 内函数 )(xfy ( )( )( )yfxuxfuu ( )( )fux 例2： 2 arcsinyx 2 sin (23 )yxlnsin(1 2 )yx 内函数 内函数 外函数 遇到 ，就看成 的函数，求导即为 ；y x y (3) (3) 隐函数求导法则隐函数求导法则 ( , )0F x y x（1 1）方程两

4、边逐项对求导： 012 yxyxe xy 遇到 的函数，直接求导；x x 遇到 的函数 ，就看成 的复合函数，求导为 ；y yx yx( )y （2）从求导后的关系式中解出 x y （当然，结果中可能会含有 ，这没关系，让它保留在式子中就可以了） y 隐函数隐函数 例3：(1) 求由方程0 y exye所确定的隐函数的导数. dy dx 1lnyxy (2) 求由方程所确定的隐函数的导数 . dy dx 22y exye (3) 求由方程所确定的隐函数的导数 . dy dx （4 4）由参数方程所确定的函数的导数）由参数方程所确定的函数的导数 dy dx ,dy dx 求由参数方程所确定的函数

5、的导数时，不必死记公式， ，然后作比值，即微商.可以先求出微分 参数方程参数方程 一般的，若参数方程 , ( ), ( ) xt yt 确定了y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表达的 函数由有参数方程(2-1)所确定的函数。 (2-1) 求二阶导数时，应按复合函数求导法则进行，必须分 清是对哪个变量求导。 例4（1）已知 sin2 , cos yt xt 4 t dy dx 求 （2）已知 2 21 , 31 ytt xt 1t dy dx 求 2 31 , 21 yt xt 2 2 d y dx 求 （3）已知 (5) (5) 幂指函数求导法则幂指函数求导法则对数求导法对数求导法 ( )

6、 ( ) n f x y g x ( ) ( ) ( ) f x g x y h x 等含乘、除、乘方、开方较多的函数的求导 方法方法1 1：两端先取对数，再对：两端先取对数，再对 求导；求导；x 方法方法2 2：把它化成指数函数与其它函数的复合；：把它化成指数函数与其它函数的复合； 幂指函数幂指函数 ( ) ( ) x x 形如 ( ) ( )v xyx 两端取自然对数得 ( ) lnln( )( )ln( ) v x yxv xx 再对上式两端分别求导。 sin (12 ) x yx x y . dy dx 例5（1）求函数 的导数或 2 3 1 1 x yx x （2）已知 dy dx

7、，求 （6 6）高阶导数）高阶导数 22 22 ,( ), d yd f yfx dxdx n n n n n dx fd dx yd xf , , )( )( 求出所给函数的前几阶导数，分析规律，得出n阶导数直接法：直接法： 间接法：间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算、变量替换等 方法，求给定函数的高阶导数 yx (4) ?y 例6：已知，则 sin,yx已知 (8) ?y 考点一：求切线方程和法线方程 方法：利用导数的几何意义和点斜式方程方法：利用导数的几何意义和点斜式方程 0 ()ky x 切 00 ()yyk xx ( )yf x 00 (,)xy已知一曲线 ，求曲线上点处的

8、切线方程 和法线方程. 1kk 切法 例7（1）曲线 32 11 ( )61 32 f xxxx(0,1) x 在点处的切线与 轴交点的坐标. （2）求曲线lnyxx平行于直线10 xy 的切线方程. （3）求曲线 lnsin cos xt yt 在 2 t 处的切线方程和法线方程. 考点一：利用洛必达法则求极限 利用洛必达法则及其他方法求函数极限，要结合等价 代换、分解因式、有理化等进行，特别是非零因子的极限 一定要求出，并注意特定形式固定解法。能够利用洛必达 法则求极限的形式有“ ”，“ ”外，还有“ ”， “ ”，“ ”等类型，一般地，这些类型的未定式 要先通过恒等变形转化为“ ”，“

9、”型，再利用洛必 达法则计算。 0 0 0 0 0 0 0 1、 型型 例9、求 0 11 lim() sin x xx 2、 型型0 例10、求 2 0 limln x xx 3、 型型 0 0 例11、求 0 lim x x x 4、 型型 1 例12、求 1 1 1 lim x x x 5、 型型 0 例13、求 sin 0 1 lim( ) x x x 考点二：利用导数确定单调区间和极值 1、函数的单调性、函数的单调性 判别函数单调性的步骤是：判别函数单调性的步骤是： 确定函数 的定义域； ( )yf x 求出函数的驻点和不可导点； 用这些点将函数的定义域分成若干小区间； 确定各小区间

10、上导数的符号(列表)； 判别函数在各小区间上的单调性。 在区间 内 例14、若 ()( ),fxf x在区间 (0, ) 内， ( )0,( )0fxfx 则 ( )f x(,0) ( ) A、( )0,( )0fxfx B、( )0,( )0fxfx C、( )0,( )0fxfx D、( )0,( )0fxfx 例15、函数 的单调递增区间是 。 2 2lnyxx 2、函数的极值、函数的极值 根据极值的必要条件知，函数的极值只能在驻点驻点(导数 为零的点称为驻点)和不可导点取得。求极值的步骤是： 求出导数 ； 求出 的全部驻点和不可导点； 考察 在每个驻点与不可导点的左右邻近的符号，确 定

11、该点是否为极值点； 用第一充分条件判别函数在这些点是否取得极值，是极 大值还是极小值，并求出各极值点的函数值，得函数的全 部极值点。 ( )fx ( )f x ( )fx 例16、函数 ( )12f xx在 1,2 上的极小值为 。 例17、若函数 2 ( )f xaxbx在 1x 处取得极值 2，则 a ， b 。 考点三：曲线渐近线的求法 曲线渐近线的求法：曲线渐近线的求法： 水平渐近线：若当( ,)xxx 或或时，有( )f xb （ 为常数），），则称曲线 有水平渐近线。b( )yf x 垂直渐近线：若当( ,)xaxaxa 或或 时， ( ),f x 则称曲线 有垂直渐近线 。( )

12、yf x a（ 为常数） 有xa 例18、曲线 2 2 1 1 x x e y e （ ） A、没有渐近线 B、仅有水平渐近线 C、仅有垂直渐近线 D、既有水平渐近线又有垂直渐近线 例19、曲线 arctan 2 yxx 的水平渐近线是 。 考点四：一元函数最值在实际中的应用 一元函数最值的应用是优化应用的基础，有的看似二元， 但约束条件代入就转化为一元函数的应用题了。同学们有时 感觉比较难，主要是题的文字一般比较长，设计的知识点比 较多，对题意理解不清，这就需要多看、多练、多想，多接 触此类题目是提高的基础，把实际问题转化为数学问题是解 决问题的关键。从问题分类上看，专升本要么是几何题，要 么是经济函数问题，基本不涉及物理、化学等学科问题。 理解题意理解题意 设出变量设出变量 表示目标函数表示目标函数 求函数的最值求函数的最值 例20 一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时， 公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓 租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租 金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？ 例21 (用料最省问题