线性代数教案第二章矩阵

1、精品教学教案授课章节第二章矩阵 2.1矩阵 22矩阵的运算目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算重 点 矩阵的运算矩阵的乘法 2.1矩阵前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。但是 Cramer法则有它的局限性:1. 系数行列式D=0 ；2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的一一一用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念及其运算。一、矩阵的概念矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。矩 阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的 关联，但

2、二者不能等同混淆。对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、 线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。矩阵是本课程的一个 重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中 的产量统计表，市场上的价目表等等例1某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示表1产地销地调配情况表销地产地 、BB2B3B4A1635A3120A4012那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：*16 3 5312 04012；在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状 况。不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得

3、 到如下矩阵的概念。(2.1)称为一个m行n列矩阵，简称m n矩阵。这m n个数称为矩阵的元素，其中aj称为矩阵的第i行第j列元素.（2.1）式也简记为A = (aij )m n 或 A = (aij).有时 m n 矩定义2.1由m n个数aj （i =i,2,|m； j二1,2川|,n）排成的m行n列数表a11耳2IIIam a21a22+IIIa2nqq卡Iam1+am2IIIamn丿阵A也记作Am n .注1元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩 阵除特别说明外，都指实矩阵 2. 当m1 n时，称m n矩阵为长方阵（长得像长方形）；3. 当m= n时，称矩阵

4、为n阶方阵（长得像正方形），简称方阵；4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵如果A = （aj）与B = （bj）是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即aij 二 6 （i =1,2,|; j =1,21）则称矩阵A与矩阵B相等，记作5所有元素都为零的矩阵称为零矩阵,记为0 值得注意的是：不同型的零矩阵是5z = z-8，所以不相等的.(12 -x 36 x 3,B = 1265z丿6 z 8丿例2设A =，已知 a= b，求 x, y,z.【解】因为2x=1, y=2, z = -2、几种特殊矩阵(i)m n 矩阵 A= (aQmn，当 m = n 时,，aiiai2a2ia

5、22IIIIIIaina2nanian2IIIann称为n阶方阵，记为An .特别地，一阶方阵(a)方阵中从左上角元素 aii到右下角元素ann的这条对角线称为方阵的主对角线，从右上角元素am到左下角元素的这条对角线称为方阵的副对角线。(2)形如aii0ai2a22IIIIIIa1 na2n的n阶方阵称为上三角矩阵(3)形如的n阶方阵称为下三角矩阵(4)形如的n阶方阵称为n阶对角矩阵(5)形如ai1a2ia22IIIIIIIIIIIIillIIIIII，记为：二diag 仆鼻，III, n .A-ili 0、川00的n阶方阵称为n阶数量矩阵。特别地，当 =1时，即矩阵q o 川 0、0 Mil

6、 0+4+ + 1+4求AB及BA.【解】 因为A是2 3矩阵，B是3 3矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵 A与B可以相乘.其乘积AB是一个2 3矩阵：广410、(1 03 :AB =|-1131-212 ,J234i 1 x4+0x(-1)+3 x21x1+0x1+3x31x0+0x3+3x4 -(-2) 4 1 (-1) 2 2 (-2) 1 1 1 2 3 (-2) 0 1 3 2 4 广101012一 1-5511 J由于B的列数不等于 A的行数，因此 BA没有意义例6求矩阵.b2A=佝 a? Ill an),B=.的乘积AB及BA.【解】b24AB =(q a2IIIan)n=(

7、印0 +a2p +|*nbn)=迟 QU.i 4匕越 ba? HI da.b2b2a1b2a2illbza.BA =q(a1a? II) a.)=+1+ri+i4丿bna1bna2illbnan 丿例7某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵A表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用B表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元） ：用矩阵C = （Cjj ）g 2表示这三家 商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，求矩阵C。III单价利润骣2010十骣3.5 0.8三A =彳25桫811 i9 土B =桫51.2 i【解】C中的元素

8、分别为骣骣11C12 -j-骣12028十C =c21C22 戸彳42.533.2 E桫31C32王桫10825.2=20 x35 +10 汉5 = 120= 25 汉 35 +11 汉 5 = 142.5 ，c =18x35+9x5 = 108C12=20 x 0.8 +10 x 12 = 28丫 C22=25 汉 0.8 + 11 汉 12= 33.2C32=18 x 0.8 + 9 X 12= 25.2矩阵的乘法满足下列运算规律(假设运算都是可行的)(1) 乘法结合律 (AB) C =A (BC).(2) 数乘结合律 k(AB) =(kA)B二A(kB)(其中k为数).(3) 左乘分配律

9、 A(B C)=.AB - AC ,右乘分配律 (B C) A =BA CA阵 矩 求8例3 16 2-A-261-15 )1 ,C =11 ;-1-1的乘积AB、BA及AC.BAAC1-62- -6 6-310丿定义2.6 n阶方阵A满足a T =a，则称A为对称矩阵. 例如，1厅r 1 6AA =2 ,B =-312血 12 00 嘉 0=0 佇 00 為 0=0 1 0I00)330 00打I00爲0 0 b可知对角阵偽00、0再0I。0-3是可逆矩阵，且0 00厂是其逆矩阵2逆矩阵的求法一个矩阵在什么条件下是可逆的呢？下面的定理回答了这个问题，并以行列式为工具给出了逆矩阵的一种求法 首

10、先介绍伴随矩阵的概念：设an312IIIa1nA =321322III32n13n2IIIann丿则称n阶方阵咎1AI2A21( I An1A22An 2AnA2n山Am y为矩阵A的伴随矩阵，其中Aij为元素a。的代数余子式*A 贝2 41 3-A-2由矩阵乘法易知AA 二 A A =I AI E1定理21 n阶方阵A可逆的充要条件是IA 2且当1AI时，A亠| a|a*.证明必要性因为A可逆，即有A丄，使得AA 二 E故IAIIA 丄冃 E I = 1所以I A KO充分性设I A I = 0，则由AA二A A斗AI E，得A|1_ A 二 一1 A* A 二 EI A I I A I由逆

11、矩阵的定义及唯一性可知A可逆，且A=丄 A*I A |当| A |=0, A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵由定理2.1可知可逆矩阵就是矩阵.由定理2.1可得以下推论:推论1若n阶方阵满足 AB =0且| A | = 0,则B =0 .证明 因为| A | = 0 ,所以A可逆.用A 左乘AB =0两边，得 B =0 .推论2 若n阶方阵满足 AB=AC，且| A尸0，则B =C .证明因为| A | = 0 ,所以A可逆，用A丄左乘AB=AC两边，得B =C .推论3设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B,使得AB = E （或BA=E ），则A可逆，且B = A 1.证明 由| A |B |二E

12、 =1，故| A匕0 ,因而A丄存在，于是1 1 1 1B 二 EB =（ A-A） B 二 A-（AB）二 A-E 二 A-推论3使检验可逆矩阵的过程减少一半，即由AB=E或BA=E，就可确定B是A的逆矩阵，但前提是 A,B必须是同阶矩阵.3逆矩阵满足的运算率方阵的逆矩阵满足下述运算规律：（1）若矩阵A可逆，则A -亦可逆，且（A） = A.（2）若矩阵A可逆，数k =0，则kA可逆，且（kA）二1 A-.k证明因为则由推论3可知1 1 1(S宀1A亠(3) 若A,B为同阶矩阵且均可逆，则 AB亦可逆，且1 1 1 (AB)=B A证明因为1 1 1 1 1 1(AB)( B A ) = A

13、( BB ) A 工 AEA 工AA 工E则由推论3可知（AB ）=B丄A匕（4）可逆矩阵A的转置At也可逆，且T1T（A ）=（ A ）证明因为AT(A4)T =(AJA)T 二ET = E则由推论3可知T 11丁(A )_ =(A)(5)若矩阵A可逆，则| A亠|=| A|.证明因为AA丄=E，所以IAIIA 丄 口 E | = 1从而1 1I A 一1=1 A 厂(ad _bc =0)的逆矩阵a C-A例1【解】所以| A |=ad -be,A *I d_bl乂a )丄 A* 一1 d| A| ad -be -c例2求矩阵*12A= 223 4的逆矩阵.【解】因为| A|=2=0，所以A

14、丄存在.下面再计算| A |的代数余子式:Ai =2,A-3,A3 =2A2 i =6,A22 = 6,A23 =2*A所以例3密码问题:3 1 , br 2,Cr 3,z A- 113212652一1丿-1十-11?action : 1,3, 20, 9, 15, 14发出/接收密码：67, 44, 43, 81, 52, 437a-1解密：AA-11；2|珑y骣15桫4明码：1,3, 20, 9, 15, 14 表示 actiona,b,c 为例4设方阵A满足方程aA2 bA cE =O，证明A为可逆矩阵，并求A丿【证明】由a A2 bA c E =0，得2a A bA = -cE-a A

15、-b Ec c则由推论3可知A可逆，且c c对矩阵方程AX =B,XA =B, AXB =C利用矩阵乘法的运算规律和逆矩阵的运算性质，通过在方程两边左乘或右乘相应矩阵 的逆矩阵，可求出其解，它们分别为：X =A-B,X =BA-, X =A 丄CB 丄对于其他形式的矩阵方程,可通过矩阵的有关运算性质转化为标准矩阵方程后进行求解i123i1沦12 2 1B =1, C =2 0,3 43 ?V5 3丿2 1A =求矩阵X，使满足AXB二C .【解】因为 | A|=2 =0 ,| B |=1=0，所以A-, B -都存在，且3 2-3又由AXB =C，得至U13 2 1(13、Z -21(31)2

16、0=10 -4b2丿C104-25 2-14万阵的幕有了矩阵的乘法和逆矩阵的概念，就可以定义方阵的幕设A为n阶方阵，规定A0 = E , A、A,A2 = AA, ，Ak 1 = Ak A,其中k是正整数，即Ak就是k个A连乘.显然AkA有意义的充要条件是 A为方阵，故只有方阵才有幕设A为n阶可逆方阵，规定A =( A )其中k是正整数由于矩阵的乘法适合结合律，因此当| A戶0，对于整数k,l，有Ak A1 二 Ak 1 , (A V 二 Akl又因矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个n阶矩阵A与B，一般来说有(AB )k = Ak Bk.0，且 AP 二 P 上，求 An .所以【解】因为I

17、 P =2 ,AP =P上A=P_：P 丄，A2 =P： P 丄P： P 二 P_rP 七 ,An = P：: P JA1 0 1 F 4 Q1I 2n+f4 2n1 2丿n-1 1 丿2Q 2：r1 1丿44_2计广 2_2n2n_1 27-2n +2宀_11 2-授课章节第二章 2.4分块矩阵目的要求了解分块矩阵的定义，简单运算和性质，掌握矩阵的按行和按列分块法重点分块矩阵的定义，简单运算、性质难点分块矩阵的划分，运算性质 2.4分块矩阵为了研究行数、列数较高的矩阵，对矩阵常常采用分块的方法类似于集合的划分，对矩阵进行分块是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个

18、分快的子矩阵中。以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵线性代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜在线性代数中，分块矩阵是一个十分重要的概念，它可以使矩阵的表示简单明了，使矩阵的运算得以简化，而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题而事实上，利用分块矩阵计算行列式，时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果，而且利用分块矩阵还可以求出 某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等、矩阵的分块将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵.分成子块的方法很多，矩阵分块的原则： 在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，

19、其块矩阵的列数一致例如a 10 0M II IIH0 a 0 010b1| to 4 III kml I Illi M If II JUI 卍11b(1) 列向量分法，即(2) 行向量分法，即常用的几种分块方法:A = G1,2川1, :-n)，其中 为A的列向量PHA =，其中Bi为A的行向量(3) 分两块，即(4) 分四块，即二、分块矩阵的运算1.加法设A二(aj)m n、B =(bij )m n为同型矩阵，若采用相同的分块法，即A11A12IIIAs、B11B12IIIB1s A21A22IIIA2s,B =B21B22IIIB2s；屮11-Ar2III44Ars ;,Br1*4Bt2I

20、IIBrsyA =A_ BA1 士 B11A21 B21Al2 二 B12A22 Z B22IIIIIIAs 二B1sAs 二 B2sAl _BriAr2 丄Br2IIIAs 二 Brs注 相加矩阵的行、列的分块方式要一致,即行块列块数对应相等、对应位置上的子块的行列数对应等。已知-1一1丿用矩阵的分块计算【解】B22.数乘-2Z 1 01 30 12 40 0-1 00 00A1AE-E一丿2B1B2-200、001001丿广12206-20300001001A1-E EA1 A2 III As/-Al1，A2III 九 AsA21A221 I 1A2sifA21丸 A22III丸 A2s4卜4t苫1Ar2 HI Ars J4卜lAr1Ar2III 九As /A3.乘法般地，若A和B可乘，将A,B分别表示成分块矩阵作乘法时，要求A的列的分法与B的行的分法必须一致， 以保证除了分块矩阵可乘， 而且各子块间的运算也可行,而对A的行的分法及 A的列的分法没有限制当矩阵中出现单位矩阵子块