数字信号处理(第三版)课后习题答案全

1、时域离散信号和时域离散系统 第 1 章 3 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 是常数AnAnx 8 7 3 cos)( ) 8 1 ( j e)( n nx (1) (2) 解解： （1） 因为=, 所以, 这是有理数， 因此是周期序 列， 周期T=14。 （2） 因为=, 所以=16, 这是无理数， 因此是非周期序列。 7 3 8 1 2 3 142 时域离散信号和时域离散系统 第 1 章 5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输 出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n

2、)=2x(n)+3 （5）y(n)=x2(n) 解解： （1） 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(n n02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(n n02) =y(n) 时域离散信号和时域离散系统 第 1 章 故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2) 所以 Tax1(n)+b

3、x2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 故该系统是线性系统。 时域离散信号和时域离散系统 第 1 章 （2） 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=2x(nn0)+3 y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n) 故该系统是非时变的。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3 Tax1(n)=2ax1(n)+3 Tbx2(n)=2bx2(n)+3 Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n) 故该系统是非线性系统。 时域离散信号和时域离散系统 第 1 章 （5） y(n)=x2(n) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x2(nn0) y

4、(nn0)=x2(nn0)=y(n) 故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n) 因此系统是非线性系统。 时域离散信号和时域离散系统 第 1 章 6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明 理由。 （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n) 解解：（2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时 间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则 |y(n)|x(n)|+|x(n+1)|

5、2M, 因此系统是稳定系统。 （4）假设n00， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和 n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M， 因此系统 是稳定的。 （5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的 未来值。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系统是 稳定的。 时域离散信号和系统的频域分析第章 2.5习题与上机题解答习题与上机题解答 1 设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里 叶变换： (1) x(nn0) (2) x*(n) (6) nx(n) 解解：（1） n n n

6、nxnnx j 00 e )()(FT 令n=nn0, 即n=n+n0， 则 )e (e )()(FT jj)(j 0 00 Xenxnnx n n nn 时域离散信号和系统的频域分析第章 （2） )e (e )(e )()(FT jjj Xnxnxnx n n n n （6） 因为 n n nxX jj e )()e ( 对该式两边求导， 得到 )(jFTe )(j d )e (d nnxnnx X n nj j 因此 d )e (d j)(FT j X nnx 时域离散信号和系统的频域分析第章 6 试求如下序列的傅里叶变换： (1) x1(n)=(n3) (2) 1( 2 1 )() 1(

7、 2 1 )( 2 nnnnx (4) x4(n)=u(n+3)u(n4) 解解(1) 3jjj 1 ee)3()e ( n n nX 时域离散信号和系统的频域分析第章 (2) cos1)ee ( 2 1 1 e 2 1 1e 2 1 e )()e ( jj jjj 2 j 2 n n nxX (4) 3 3 jjj 4 ee )4()3()e ( n nn n nunuX j j 3 j j 4j 3 1 j 3 0 j 3 1 j 3 0 j e e1 e1 e1 e1 eeee n n n n n n n n ) 2 1 sin( ) 2 7 sin( e )ee (e )ee (e e

8、 e1 e1 e1 ee e1 e1 e1 e1 3j 2 1 j 2 1 j 2 1 j 2 7 j 2 7 j 2 7 j 3 j j 7 j j 4 j3 j j 3j j 4 j 时域离散信号和系统的频域分析第章 14 求出以下序列的Z变换及收敛域: (1) 2nu(n)(2) 2nu(n1) (5) (n1) 解(1) 2 1 21 1 2)(2)(2ZT 11 0 z z zznunu n nn n nnn (2) 2 1 21 1 21 2 22 ) 1(2)1(2ZT 11 11 z zz z zz znunu n n nn n n n n nn (5) ZT(n1)=z10|

9、z| 时域离散信号和系统的频域分析第章 16 已知 1 121 2 2 1 1 3 )( z z zX 求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以极点为界， 因此 收敛域有三种情况： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三种收敛域对应三种不同的 原序列。 （1）收敛域|z|0.5： 时域离散信号和系统的频域分析第章 zzzX j nx c n d)( 2 1 )( 1 令 n nn z zz z z zz z zzXzF )2)(5 . 0( 75 )21)(5 . 01 ( 75 )()( 1 11 1 1 n

10、0时， 因为c内无极点，x(n)=0; n1时， c内有极点 0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为求圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么 时域离散信号和系统的频域分析第章 ) 1(22) 2 1 (3 )2( )2)(5 . 0( )75( )5 . 0( )2)(5 . 0( )75( 2),(sRe5 . 0),( sRe)( 25 . 0 nu z zz zz z zz zz zFzFnx nn z n z n (2)收敛域0.5|z|2: )2)(5 . 0( )75( )( zz zz zF n 时域离散信号和系统的频域分析第章 n0时， c内有极点0.5，

11、n zFnx) 2 1 (35 . 0 ),( sRe)( n0时， c内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c外极点留 数， c外极点只有一个， 即2， x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1) 最后得到 ) 1(22)() 2 1 (3)(nununx nn 时域离散信号和系统的频域分析第章 （3）收敛域|z|2: )2)(5 . 0( )75( )( zz zz zF n n0时， c内有极点 0.5、 2， n n zFzFnx22 2 1 32 ),( sRe5 . 0),( sRe)( n0时， 由收敛域判断， 这是一个因果序列， 因此x(n)=0；

12、 或者这 样分析， c内有极点0.5、 2、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留 数，c外无极点， 所以x(n)=0。 最后得到 )(22 2 1 3)( nunx n n 时域离散信号和系统的频域分析第章 18 已知 21 1 252 3 )( zz z zX 分别求： （1） 收敛域0.5|z|2对应的原序列x(n)。 时域离散信号和系统的频域分析第章 解解： c n zzzXnxd)( j2 1 )( 1 )2)(5 . 0(2 3 252 3 )()( 1 21 1 1 zz z z zz z zzXzF n nn （1） 收敛域0.5|z|2: n0时，c内有极点0.5， x

13、(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2n n0时， c内有极点0.5、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数， c外 极点只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n 时域离散信号和系统的频域分析第章 最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2: n0时， c内有极点0.5、 2， nn z n n z zz z zFzFnx 25 . 0 )2( )2)(5 . 0(2 3 5 . 0 2),(sRe5 . 0),( sRe)( 2 n0时， c内有极点0.5、 2、 0， 但极点0是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， 可是c外没有极 点， 因此 x(

14、n)=0 最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n) 时域离散信号和系统的频域分析第章 19 用部分分式法求以下X(z)的反变换： 2 1 |, 252 3 1 1 )( 21 1 z zz z zX (1) 2 1 |, 4 1 1 21 )( 2 1 z z z zX (2) 2 1 z 4 1 1 3 1 1 )( 2 1 z z zX 解解： (1) 4 1 3 1 )( 2 2 z zz zX 时域离散信号和系统的频域分析第章 2 1 6 5 2 1 6 1 ) 2 1 )( 2 1 ( 3 1 4 1 3 1 )( 2 zzzz z z z z zX )( 2 1 6 5 ) 2

15、 1 ( 6 1 )( 2 1 1 6 5 2 1 1 6 1 )( 11 nunx zz zX n n 时域离散信号和系统的频域分析第章 (2) 2 1 z 4 1 1 21 )( 2 1 z z zX 2 1 2 5 2 1 2 3 2 1 2 1 z 2z 4 1 2)( 2 zzzz z z zX 11 2 1 1 2 5 2 1 1 2 3 )( zz zX ) 1() 2 1 ( 2 5 ) 2 1 ( 2 3 )( nunx nn 时域离散信号和系统的频域分析第章 23 设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1) （1） 求系统的系统函数H(z)，

16、并画出极零点分布图； （2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其 单位脉冲响应h(n)； （3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求出 其单位脉冲响应h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1) 将上式进行Z变换， 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1 时域离散信号和系统的频域分析第章 因此 21 1 1 )( zz z zH 11 )( 221 1 zz z zz z zH 零点为z=0。 令z2z1=0， 求出极点： 2 51 1 z 2 51 2 z 极零点分布图如题23解图所示。 时域离散信号和系统的频域分

17、析第章 (2) 由于限定系统是因果的， 收敛域需选包含点在内的收敛域， 即 。 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法， 一种是令输入等于单位脉冲序 列， 通过解差分方程， 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应； 另一种方 法是求H(z)的逆Z变换。 我们采用第二种方法。 2/ )51 ( z zzzHzHTZnh c n d)( j2 1 )()( 11 式中 时域离散信号和系统的频域分析第章 1 )( 21 2 zzzz z zz z zH 2 51 1 z 2 51 2 z ， 令 21 1 )()( zzzz z zzHzF n n 时域离散信号和系统的频域分析第章 n0时， h(n)=R

18、esF(z), z1+ResF(z), z2 nn nn zz n zz n zzzz zz zzzz z zz zzzz z 2 51 2 51 5 1zz 12 2 21 1 2 21 1 21 21 因为h(n)是因果序列, n0时， h(n)=0， 故 )( 2 51 2 51 5 1 )( nunh nn 时域离散信号和系统的频域分析第章 (3) 由于限定系统是稳定的， 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域， 即 |z2|z|z1|, 21 1 )()( zzzz z zzHzF n n n0时， c内只有极点z2， 只需求z2点的留数， n zzFnh) 2 51 ( 5 1 ),(

19、sRe)( 2 时域离散信号和系统的频域分析第章 n0时， c内只有两个极点： z2和z=0， 因为z=0是一个n阶极点， 改成 求圆外极点留数， 圆外极点只有一个， 即z1, 那么 n zzFnh 2 51 5 1 ),( sRe)( 1 最后得到 ) 1( 2 51 5 1 )( 2 51 5 1 )( nununy nn 时域离散信号和系统的频域分析第章 24 已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1) （1） 求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)； （2） 写出网络频率响应函数H(ej)的表达式， 并定性画出其幅频特性曲 线；

20、 （3） 设输入x(n)=ej0n， 求输出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1) Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1 时域离散信号和系统的频域分析第章 1 1 9 . 01 9 . 01 )( z z zH c n zzzHnhd)( j2 1 )( 1 令 11 9 . 0 9 . 0 )()( nn z z z zzHzF n1时，c内有极点0.9， n z n zz z z zFnh9 . 02)9 . 0( 9 . 0 9 . 0 9 . 0),( sRe)( 9 . 0 1 时域离散信号和系统的频域分析第章 n=0时

21、， c内有极点0.9 ， 0， 0),( sRe9 . 0),( sRe)( ZFzFnh 2)9 . 0( )9 . 0( 9 . 0 9 . 0),( sRe 9 . 0 z z zz z zF 1 )9 . 0( 9 . 0 0),(sRe 0 z z zz z zF 最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n) 时域离散信号和系统的频域分析第章 （2） j j e1 1 e9 . 01 e9 . 01 9 . 01 9 . 01 )(FT)e ( j z z z nhH 极点为z1=0.9, 零点为z2=0.9。 极零点图如题24解图(a)所示。 按照 极零点图定性画出的幅度特性

22、如题24解图(b)所示。 （3） n nx 0 j e)( 0 0 000 j j jj e9 . 01 e9 . 01 e)(e)( njn eHny 时域离散信号和系统的频域分析第章 题24解图 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT) 第章 18 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F50 Hz， 信号 最高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数： (1) 最小记录时间Tp min； (2) 最大取样间隔Tmax； (3) 最少采样点数Nmin； (4) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半） 的N值。 s02. 0 50 11 minp F T

23、解解: （1） 已知F=50 Hz， 因而 ms5 . 0 102 1 2 11 3 maxmins max ff T （2） pmin min 3 max 0.02s 40 0.5 10 T N T （3） （4） 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变， 应该使 记录时间扩大1倍， 即为0.04 s， 实现频率分辨率提高1倍 （F变为原来的1/2）。 80 ms0.5 s04. 0 min N 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 教材第教材第5章习题与上机题解答章习题与上机题解答 1. 已知系统用下面差分方程描述: ) 1( 3 1 )()2( 8 1 ) 1( 4 3 )(

24、nxnxnynyny 试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中x(n)和y(n)分别表示 系统的输入和输出信号。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 解解： 将原式移项得 ) 1( 3 1 )()2( 8 1 ) 1( 4 3 )(nxnxnynyny 将上式进行Z变换， 得到 121 )( 3 1 )()( 8 1 )( 4 3 )( zzXzXzzYzzYzY 21 1 8 1 4 3 1 3 1 1 )( zz z zH 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 (1) 按照系统函数H(z)， 根据Masson公式， 画出直接型结构如题1解图（一

25、） 所示。 题1解图（一） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 (2) 将H(z)的分母进行因式分解： ) 4 1 1)( 2 1 1 ( 3 1 1 8 1 4 3 1 3 1 1 )( 11 1 21 1 zz z zz z zH 按照上式可以有两种级联型结构: 11 1 4 1 1 1 2 1 1 3 1 1 )( zz z zH 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示。 1 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 1 )( z z z zH 画出级联型结构如题1解图（二）（b)所示。 时域离散系统的网络结构及

26、数字信号处理的实现第 4 章 (3) 将H(z)进行部分分式展开： ) 4 1 1)( 2 1 1 ( 3 1 1 )( 11 1 zz z zH 4 1 2 1 ) 4 1 )( 2 1 ( 3 1 )( z B z A zz z z zH 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 3 10 ) 2 1 ( ) 4 1 )( 2 1 ( 3 1 2 1 z z zz z A 3 7 ) 4 1 ( ) 4 1 )( 2 1 ( 3 1 4 1 z z zz z B 4 1 3 7 2 1 3 10 )( zz z zH 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 11

27、4 1 1 3 7 2 1 1 3 10 4 1 3 7 ) 2 1 ( 3 10 )( zzz z z z zH 根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。 题1解图（三） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 2 设数字滤波器的差分方程为 )2( 4 1 ) 1( 3 1 ) 1()()(nynynxnxny 试画出系统的直接型结构。 解解： 由差分方程得到滤波器的系统函数为 21 1 4 1 3 1 1 1 )( zz z zH 画出其直接型结构如题2解图所示。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 3. 设系统的差分方程为 y(n)=(a+b)y(n1

28、)aby(n2)+x(n2)+(a+b)x(n1)+ab 式中, |a|1， |b|1/2， 对上式进行逆Z变换， 得到 ) 1( 2 1 5 3 1 9)(6 ) 1( 2 1 2)( 2 1 ) 1( 3 1 3)(5)( 11 nun nunununnh nn nnn 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 16. 画出题15图中系统的转置结构， 并验证两者具有相同 的系统函数。 解解： 按照题15图， 将支路方向翻转， 维持支路增益不 变， 并交换输入输出的位置， 则形成对应的转置结构， 画 出题15图系统的转置结构如题16解图所示。 将题16解图和题15图对照， 它们的

29、直通通路和反馈回路 情况完全一样， 写出它们的系统函数完全一样， 这里用 Masson公式最能说明问题。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 题16解图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 题17图 17. 用b1和b2确定a1、 a2、 c1和c0， 使题17图中的两个系统等效。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 解解： 题17图 （a）的系统函数为 )1)(1 ( )(2 1 1 1 1 )( 1 2 1 1 1 21 1 2 1 1 zbzb zbb zbzb zH 题16图（b）的系统函数为 1 2 1 10 1 1 11 1 )

30、( za zcc za zH 对比式和式， 当两个系统等效时， 系数关系为 a1=b1, a2=b2 c0=2, c1=(b1+b2) 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 18. 对于题18图中的系统， 要求： （1） 确定它的系统函数； （2） 如果系统参数为 b0=b2=1, b1=2, a1=1.5, a2=0.9 b0=b2=1, b1=2, a1=1, a2=2 画出系统的零极点分布图， 并检验系统的稳定性。 解解： （1） 2 2 1 1 2 2 1 10 1 )( zaza zbzbb zH 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 （2） b0=b

31、2=1, b1=2, a1=1.5, a2=0.9 21 21 9 . 05 . 11 21 )( zz zz zH 零点为z=1(二阶)， 极点为 p1, 2=0.750.58j, |p1, 2|=0.773 极零点分布如题18 解图(a)所示。 由于极点的模小于1， 可知系统稳定。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 题18图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 题18解图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 b0=b2=1, b1=2, a1=1, a2=2 21 21 21 21 )( zz zz zH 零点为z=1(二阶)， 极点

32、为 p1, 2=0.51.323j, |p1, 2|=1.414 极零点分布如题18解图(b)所示。 这里极点的模大于1，或者说极点在单位圆 外， 如果系统因果可实现， 收敛域为|z|1.414， 收敛域并不包含单位圆， 因此系统不稳定。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 第第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计章无限脉冲响应数字滤波器的设计 习题解答习题解答 1 设计一个巴特沃斯低通滤波器， 要求通带截止频率fp=6 kHz，通带最 大衰减ap=3 dB， 阻带截止频率fs=12kHz， 阻带最小衰减as=25 dB。 求出滤 波器归一化系统函数G(p)以及实际滤波器的Ha(s)。

33、 解解: （1） 求阶数N。 s p sp sp 0.12.5 sp0.1 0.3 lg lg 101101 17.794 101101 a a k N p k s 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 3 s sp 3 p 2 12 10 2 26 10 将ksp和sp值代入N的计算公式, 得 lg17.794 4.15 lg2 N 所以取N=5（实际应用中， 根据具体要求， 也可能取N=4， 指标稍微差一点， 但阶数低一阶， 使系统实现电路得到简化）。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 （2） 求归一化系统函数G(p)。 由阶数N=5直接查教材第157页表6.2.1

34、, 得 到五阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数G(p)为 5432 1 ( ) 3.2365.23615.23613.23611 G p ppppp 或 22 1 ( ) (0.6181)(1.6181)(1) G p ppppp 当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 121 j 22 e 0,1,2,3,4 k N k pk 再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为 4 0 1 ( ) () k k G p pp 最后代入pk值并进行分母展开， 便可得到与查表相同的结果。 （3） 去归一化（即LP-LP频率变换）， 由归一

35、化系统函数G(p)得到实际滤 波器系统函数Ha(s)。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 由于本题中ap=3 dB， 即c=p=26103 rad/s， 因此 c aa 5 c 54233245 ccccc ( )( )| 3.23615.23615.23613.2361 s p HsHp sssss 对分母因式形式， 则有 c aa 5 2222 ccccc ( )( )| (0.6180)(1.6180)() s p c HsHp sssss 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 如上结果中，c的值未代入相乘， 这样使读者能清楚地 看到去归一化后，3 dB截止频率对

36、归一化系统函数的改变作用。 2 设计一个切比雪夫低通滤波器， 要求通带截止频率 fp=3 kHz，通带最大衰减p=0.2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz, 阻带最小衰减s=50 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)和实 际的Ha(s)。 解解: （1） 确定滤波器技术指标。 p=0.2 dB, p=2fp=6103 rad/s s=50 dB,s=2fs=24103 rad/s p=1, s s p 4 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 (4) 求阶数N和。 s p 1 s 0.1 1 0.1 arch arch 101 1456.65 101 arch 1456.65

37、 3.8659 arch 4 a a k N k N 为了满足指标要求， 取N=4。 p 0.1 1010.2171 a 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 (3) 求归一化系统函数G(p) 4 1 11 11 ( ) 2()1.7368() N N kk kk Q p pppp 其中， 极点pk由教材（6.2.46）式求出如下： (21)(21) ch sinjch cos1,2,3,4 22 1111 arsharsh0.5580 40.2171 k kk pk NN N 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 1 2 3 4 ch0.5580sinj ch0.5580

38、cos0.4438j1.0715 88 33 ch0.5580sinj ch0.5580cos1.0715j0.4438 88 55 ch0.5580sinj ch0.5580cos1.0715j0.4438 88 77 ch0.5580sinj ch0.5580cos0.4438j1.07 88 p p p p 15 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 (4) 将G(p)去归一化， 求得实际滤波器系统函数Ha(s)： p a 44 p 44 p 11 ( )( )| 1.7368()1.7368() s p p kk kk HsQ p spss 其中， sk=ppk=6103pk

39、, k=1, 2, 3, 4。 因为p4=p1*, p3=p2*, 所以， s4=s1*, s3=s2*。 将两对共轭极点对应的因子相乘， 得到分母为二阶因子的形式， 其系 数全为实数。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 16 2222 1122 248248 7.2687 10 ( ) (2Re | )(2Re| ) 7.2687 1016 (1.6731 104.7791 10 )(4.0394 104.7790 10 ) a Hs ss ssss ss ssss 也可得到分母多项式形式， 请读者自己计算。 3 设计一个巴特沃斯高通滤波器， 要求其通带截止频率fp=20 kH

40、z， 阻带截 止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB， 阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤 波器的系统函数Ha(s)。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 解解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求： p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB (2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图5.1.5中高通到低通 频率转换公式， p=1, s=p/s， 得到 p=1, ap=3 dB , 2 s p s as=15 dB 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 (3) 设计相应的归一化低通G(p)。 题目要求采

41、用巴特沃斯类型， 故 p s 0.1 sp 0.1 s sp p sp sp 101 0.18 101 2 lg lg0.18 2.47 lglg2 a a k k N 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 所以， 取N=3， 查教材中表6.2.1， 得到三阶巴特沃斯归一化低通G(p)为 32 1 ( ) 221 G p ppp (4) 频率变换。 将G(p)变换成实际高通滤波器系统函数H(s)： c 3 3223 ccc ( )( )| 22 p s s H sG p sss 式中 c=2fc=220103=4104 rad/s 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 4.

42、 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下： a 22 ( ) () sa Hs sab (1) (2) a 22 ( ) () b Hs sab 式中a、 b为常数， 设Ha(s)因果稳定， 试采用脉冲响应不变法将其转换成数字 滤波器H(z)。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 解解: 该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型 形式。 所以， 求解该题具有代表性， 解该题的过程， 就是 导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式。 设 采样周期为T。 (1) a 22 ( ) () sa Hs sab Ha(s)的极点为 s1=a+jb, s2=ajb 将

43、Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 12 a 22 12 1221 22 121 22 1 22 ( ) () ()() () () () AAsa Hs sabssss A ssA ss sab AA sAsA s sab 比较分子各项系数可知， A1、 A2应满足方程： 12 1 22 1 1AA AsA sa 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 解之得， A1=1/2， A2=1/2， 所以 a 1/21/2 ( ) (j )(j ) Hs sabsab 套用教材（6.3.4）式， 得到 2 1(j )1(j )1 1 1

44、/21/2 ( ) 1 e1 e1 e k k Tsab Tab T k A H z zzz 按照题目要求， 上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。 但在工程实际中， 一般用无复数乘法器的二阶基本节结构来实现。 由于两个极点共轭对称， 所以 将H(z)的两项通分并化简整理， 可得 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 1 122 1ecos() ( ) 1 2ecos()e aT aTaT zbT H z bT zz 这样， 如果遇到将 a 22 ( ) () sa Hs sab 用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时， 直接套用上面的公式即可， 且对 应结构图中无复数乘法器， 便于工

45、程实际中实现。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 a 22 ( ) () b Hs sab (2) Ha(s)的极点为 s1=a+jb, s2=ajb 将Ha(s)部分分式展开： a jj 22 ( ) (j )(j ) Hs sabsab 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 套用教材（6.3.4）式， 得到 (j )1(j )1 jj 22 ( ) 1 e1 e ab Tab T H z zz 通分并化简整理， 得到 1 122 esin() ( ) 1 2ecos()e aT aTaT zbT H z bT zz 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 5

46、 已知模拟滤波器的系统函数如下： a 2 1 ( ) 1 Hs ss (1) (2) a 2 1 ( ) 231 Hs ss 试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。 设T=2 s。 解解: . 用脉冲响应不变法 (1) a 2 1 ( ) 1 Hs ss 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 方法一 直接按脉冲响应不变法设计公式， Ha(s)的极点为 12 1313 j,j 2222 ss a 1313 jj 2222 11 33 jj 33 ( ) 1313 jj 2322 33 jj 33 ( ) 1 e1 e TT Hs ss H z zz 无限脉冲响应(II

47、R)数字滤波器的设 计 第章 将T=2代入上式， 得 1 j 311 j 31 11 1122 33 jj 33 ( ) 1 e1 e 2 3e sin3 31 2ecos 3e H z zz z zz 方法二 直接套用4题（2）所得公式。 为了套用公式， 先对Ha(s)的分母 配方， 将Ha(s)化成4题中的标准形式： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 a 22 ( ) () b Hsc sab c为一常数 由于 2 22 2 1313 1 2422 ssss 所以 a2 2 2 3 12 3 2 ( ) 13 13 22 Hs ss s 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设

48、计 第章 对比可知， ， 套用公式， 得 13 , 22 ab 1 122 2 11 1122 2 3esin() ( ) 312ecos()e 2 3esin3 312ecos3e aT aTaT T zbT H z zbTz z zz (2) a 2 111 ( ) 1 2311 2 Hs sss s 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 21 1 1 2 1121 11 ( )| 1 e 1 e 11 1 e1 e T T T H z z z zz 或通分合并两项得 121 12132 (ee ) ( ) 1 (ee )e z H z zz 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设

49、 计 第章 用双线性变换法 （1） 1 1 a2 21 11 ,2 1 11 1 2 1 2111 2 12 2 1 ( )( )| 11 1 11 (1) (1)(1)(1)(1) 12 3 z sT T z H zHs zz zz z zzzz zz z 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 (2) 1 1 a2 1 11 1 11 1 2 1 221 2 12 1 1 ( )( )| 11 231 11 (1) 2(1)3(1)(1) 12 62 z s z H zHs zz zz z zzz zz z 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 6 设ha(t)表示一模拟

50、滤波器的单位冲激响应， 即 0.9 a e 0 ( ) 0 0 t t h t t 用脉冲响应不变法， 将此模拟滤波器转换成数字滤波器（用h(n)表示单位脉冲 响应， 即 h(n)=ha(nT)）。 确定系统函数H(z)， 并把T作为参数， 证明： T为 任何值时， 数字滤波器是稳定的， 并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高 通滤波器。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 解解: 模拟滤波器系统函数为 0.9 a 0 1 ( )eed 0.9 tst Hst s Ha(s)的极点s1=0.9， 故数字滤波器的系统函数应为 1 10.91 11 ( ) 1 e1 e s TT H

51、z zz H(z)的极点为 z1=e0.9T, |z1|=e0.9T 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 题6解图 所以， T0时， |z1|slsu， 所以不满足教材（6.2.56）式。 按照教材（6.2.57）式, 增大sl， 则 plpu sl su 0.3538 =0.3022 1.1708 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 采用修正后的设计巴特沃斯模拟带通滤波器。 (3) 将带通指标转换成归一化低通指标。 套用图5.1.5中带通到低通频率转换 公式， sl 22 0sl ps slW 1, B 求归一化低通边界频率： p 1, 222 0sl s sl 0.

52、35380.3022 1.9744 0.3022 0.4399 W B ps 3 dB,15 dBaa 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 (4) 设计模拟归一化低通G(p)： p s 0.10.3 sp 0.11.5 s sp p sp sp 101101 0.1803 101101 1.9744 lg lg 0.1803 2.5183 lglg1.9744 k k N a a 取N=3。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 查教材表6.2.1， 得到归一化低通系统函数G(p)： 32 1 ( ) 221 G p ppp (5) 频率变换， 将G(p)转换成模拟带通H

53、a(s)： 22 0 w a 33 w 22 3222222233 00w0ww 3 65432 ( )( )| ()2()2() 0.085 0.87981.44840.70760.51240.11010.0443 s p sB HsG p B s sssBss Bs B s ssssss 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 (6) 用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)： 1 1 a 21 1 151234 155612 34561 ( )( )| (0.0181 1.7764 100.05434.44090.0543 2.7756 100.0181)(12.2723.51

54、51 3.26852.31290.96280.278) z s T z H zHs zzzz zzzz zzzz 以上繁杂的设计过程和计算， 可以用下面几行程序ex612.m实现。 程序运行结果 如题12解图所示。 得到的系统函数系数为 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 B = 0.0234 0 0.0703 0 0.0703 0 0.0234 A= 1.0000 2.2100 3.2972 2.9932 2.0758 0.8495 0.2406 与手算结果有差别， 这一般是由手算过程中可能产生的计算误差造成的。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 %程序ex612.

55、m wp=0.25， 0.45； ws=0.15， 0.55； Rp=3； As=15； %设置带通数字滤波器指标参数 N， wc=buttord(wp， ws， Rp， As)； %计算带通滤波器阶数N和3 dB截止频率Wc B， A=butter(N， wc)； %计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向 量A和B myplot(B， A)； %调用自编绘图函数myplot绘制带通滤波器的损耗函 数曲线 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计 第章 题12解图 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计 第章 教材第教材第7章习题与上机题解答章习题与上机题解答 1 已知FIR滤波器的单位

56、脉冲响应为： （1） h(n)长度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3 （2） h(n)长度N=7 h(0)= h(6)=3 h(1)= h(5)= 2 h(2)=h(4)=1 h(3)=0 试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计 第章 解解： （1） 由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N1n)， 所以FIR滤 波器具有A类线性相位特性： 5 . 2 2 1 )( N 由于N=6为偶数(情况2)， 所以幅度特性关于=点奇对称。 （2） 由题中h(n)值可知， h(n)满足h(n)

57、=h(N1n)， 所以FIR滤波器具 有B类线性相位特性： 3 2 2 1 2 )( N 由于7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于=0, , 2三点奇对称。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计 第章 2 已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16， 其16个频域幅 度采样值中的前9个为： Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)Hg(8)=0 根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点， 求其余7个频域幅度采 样值。 解解： 因为N=16是偶数（情况2）， 所以FIR滤波器幅度特性Hg()关于=点 奇对称， 即Hg(2)=Hg

58、()。 其N点采样关于k=N/2点奇对称， 即 Hg(Nk)=Hg(k) k=1, 2, , 15 综上所述, 可知其余7个频域幅度采样值： Hg(15)=Hg(1)=8.34， Hg(14)=Hg(2)=3.79， Hg(13)Hg(9)=0 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计 第章 3 设FIR滤波器的系统函数为 )9 . 01 . 29 . 01 ( 10 1 )( 4321 zzzzzH 求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)， 判断是否具有线性相位， 求出其幅度特 性函数和相位特性函数。 解解: 对FIR数字滤波器， 其系统函数为 1 0 4321 )9 . 01 . 29 . 0

59、1 ( 10 1 )()( N n n zzzzZnhzH 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计 第章 1 ( )1, 0,9, 2.1, 0.9,1 10 h n 由h(n)的取值可知h(n)满足： h(n)=h(N1n) N=5 所以， 该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。 频率响应函数H(ej)为 所以其单位脉冲响应为 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计 第章 1 0 j)(j g j e )(e )()e ( N n m nhHH ee9 . 0e1 . 2e9 . 01 10 1 4 j3 j2 jj 2 j2 jjj2 j e )ee9 . 01 . 2e9 . 0e

60、( 10 1 2 j e )2cos2cos8 . 11 . 2( 10 1 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计 第章 幅度特性函数为 10 2cos2cos8 . 11 . 2 )( g H 相位特性函数为 2 2 1 )( N 4 用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器， 要求过渡带宽度不超过/8 rad。 希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ej)为 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计 第章 |0 | 0e )e ( c j j d c a H （1） 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)； （2） 求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式，