数理方程复习

1、数理方程 南京邮电大学、应用数理系 数数 学学 物物 理理 方方 程程 数学角度数学角度 微分积分方程微分积分方程 偏微分方程偏微分方程 积分方程积分方程 波动方程波动方程 (双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程) 恒定场方程恒定场方程(椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程) 输运方程输运方程 (抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程) 定解问题定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和 历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解定解 条件条件。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学

2、物理。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学物理 定解问题或简称为定解问题或简称为定解问题定解问题。 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 三类基本方程在直角坐标系中的表示三类基本方程在直角坐标系中的表示 一、一、 波动方程波动方程 222 () ttxxyyzz uaua uuu 二、热传导方程二、热传导方程 222 () txxyyzz uaua uuu 三、拉普拉斯方程三、拉普拉斯方程 2 0=0 xxyyzz uuuu即 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 定解问题的适定性定解问题的适定性：解的：解的存在性存在性、解的、解的唯一性唯一性和解的和解的稳定性稳定性； 若一个定解问题存在

3、唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。 定解问题泛定方程定解问题泛定方程+定解条件定解条件 边界条件确定本征值和本征函数边界条件确定本征值和本征函数 要求掌握三类边界条件的常见例子（见第一章课件，要求掌握三类边界条件的常见例子（见第一章课件， 如边界吸热，放热，绝热，边界不受外力，自由冷却如边界吸热，放热，绝热，边界不受外力，自由冷却 等）以及初始条件的表述方法。等）以及初始条件的表述方法。 初始条件确定级数叠加系数初始条件确定级数叠加系数 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 fcuububuauaua yxyyxyxx 21221211 2

4、 1 1、线性二阶偏微分方程的一般形式、线性二阶偏微分方程的一般形式 0f该方程为齐次的该方程为齐次的0f该方程为非齐次的该方程为非齐次的 数学物理方程的分类数学物理方程的分类 0 2211 2 12 aaa方程为双曲型方程为双曲型 0 2211 2 12 aaa方程为抛物型方程为抛物型 0 2211 2 12 aaa 方程为椭圆型方程为椭圆型 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 行行 波波 法法 一、行波法主要用来求解一、行波法主要用来求解无界区域无界区域内波动方程的定解问题内波动方程的定解问题 12 11 ()() ( , )()() ( ) 2 2 x at x at x u x tf

5、xatfxat atxatd a 达朗贝尔公式达朗贝尔公式 )( )( )( 0 0 x xu xu t t t 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动、无限长理想对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动、无限长理想 传输线上电流和电压变化而言，传输线上电流和电压变化而言，任意扰动总是以行波的形式分为任意扰动总是以行波的形式分为 两个方向传播出去两个方向传播出去，波速为，波速为 ，也即，也即 : a )( 1 atxfax 以速度以速度 沿沿 负方向移动的行波负方向移动的行波 2( )fxatax以速度以速度 沿沿 正方向移动的行波正方向移动的行波

6、 通解的物理意义：通解的物理意义： 12 ( , )()()u x tf xatfxat 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 三维达朗贝尔公式物理意义：三维达朗贝尔公式物理意义： （1）空间任一点）空间任一点M在任意时刻在任意时刻t0的状态完全由以该点为心，的状态完全由以该点为心， at为半径的球面上为半径的球面上 初始状态决定；（初始状态决定；（2）三维空间的局部有）三维空间的局部有 界域内的初始扰动导致空间各点在有限时段受扰，无持续后效；界域内的初始扰动导致空间各点在有限时段受扰，无持续后效； （3）三维空间局部初始扰动的传播有清晰的波前与波后。）三维空间局部初始扰动的传播有清晰的波前与波

7、后。 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 二、一般的二阶齐次线性偏微分方程特征线的求法：二、一般的二阶齐次线性偏微分方程特征线的求法： 222 22 20 uuuuu ABCDEFu xx yyxy 其特征方程为：其特征方程为： 22 ()2()0A dyBdxdyC dx 其特征方程的解即为特征线方程：其特征方程的解即为特征线方程： 032 22 dxdxdydy 1 3Cyx 2 Cyx (3)0dydxdydx 如如 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 双曲型方程双曲型方程过其中每一点有过其中每一点有两条两条不同的实的特征线不同的实的特征线 椭圆型方程椭圆型方程过其中每一点过其中每一点不

8、存在不存在实的特征线实的特征线 抛物型方程抛物型方程 过其中每一点有过其中每一点有一条一条实的特征线实的特征线 三、傅里叶级数三、傅里叶级数 )sincos()( 1 0 l xn b l xn aaxf n nn dxxf l a l l )( 2 1 0 0,cos)( 1 kdx l xn xf l a l l k dx l xn xf l b l l k sin)( 1 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 ( )( )d 1 ( )( )d 2 i x i x Ff x ex f xFe 傅里叶变换式傅里叶变换式 傅里叶逆变换式傅里叶逆变换式 复数形式的傅里叶变换复数形式的傅里叶变换

9、数理方程 南京邮电大学、应用数理系 基本思想基本思想：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分 方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。 分离变量分离变量( (傅立叶级数傅立叶级数) )法法 要求能熟练应用分离变量法求解波动方程，热传导方程，拉普拉要求能熟练应用分离变量法求解波动方程，热传导方程，拉普拉 斯方程（矩形区域和圆形区域）的定解问题。斯方程（矩形区域和圆形区域）的定解问题。 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 解题步骤解题步骤: 边界是否齐次边界是否齐次 Y N 写出本征值、

10、本征函数、待求写出本征值、本征函数、待求 物理量的傅立叶级数展开式物理量的傅立叶级数展开式 边界齐次化边界齐次化 写出定解问题写出定解问题 方程非齐次项和初值条件的级方程非齐次项和初值条件的级 数展开数展开 代入原泛定方程得到另一变量的微分方程和初值代入原泛定方程得到另一变量的微分方程和初值 写出解的表达式和系数写出解的表达式和系数 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 边界齐次化（考点）边界齐次化（考点） ),(),(),(txwtxvtxu )(),( )(), 0( )()(),( )(),( )(), 0( 2 1 2 1 ttlw ttw tBxtAtxw ttlu ttu )(),(

11、 )(), 0( )()(),( )(),( )(), 0( 2 1 2 1 ttlw ttw tBxtAtxw ttlu ttu x x 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 )(),( )(), 0( )()(),( )(),( )(), 0( 2 1 2 1 ttlw ttw tBxtAtxw ttlu ttu x x 2 1 1 2 2 ( , )( )( ) (0, )( ) (0, )( ) ( , )( ) ( , )( ) x x x x w x tA t xB t x utt wtt u l tt w l tt 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 边界条件（四种）：边界条件（四

12、种）： 2 0 0 ,( )sin, 1,2, 0 x n x l u nn XxAxn llu 2 0 0 ,( )cos, 0,1,2, 0 x x n x x l u nn XxAxn llu 2 0 0 21(21) ,( )sin, 0,1,2, 220 x n x x l u nn XxAxn llu 2 0 0 21(21) ,( )cos, 0,1,2, 220 x x n x l u nn XxAxn llu 0XX 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 2 ( )( )0 ( )( )0 XxX x Tta T t 波动方程：波动方程： 2 0 ttxx ua u ( ) c

13、os sin nnn T tCa tDa t 热传导方程：热传导方程： 2 0 txx ua u 2 ( )( )0 ( )( )0 XxX x T ta T t 222 ( ) nn atat nnn T tC eC e 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 拉普拉斯方程：拉普拉斯方程： 1 1、矩形区域：、矩形区域： 0 xxyy uu 0 XX 0 YY y a n n y a n nn eDeCY 2 2、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）：、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）： 22 222 11 0 uuu rrrr 2 0 0 r RrRR ( )( )0, ( )(2 ), , 3 ,

14、2 , 1 , 0, 2 nn n cossin nnn AnBn 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 2 0, (0). r RrRR R 若研究区域包括圆心，必须考虑该自然边界条件。若研究区域包括圆心，必须考虑该自然边界条件。 000 =0ln ,Rcdr当时， 2 =n nn nnn Rc rd r 当时, 满足有界性条件满足有界性条件 的通解为：的通解为： n nn Rc r0, 1, 2 ,n 0,0,1,2 n dn (0).R 在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两 边的系数，达到化简叠加系数的目的边的系数，达到化简叠

15、加系数的目的. . 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 求解非齐次方程求解非齐次方程特征函数法特征函数法 22 2 22 ( , ),0,0 (0, )( , )0,0 ( ,0) ( ,0)( ),( ),0 uu af x txl t tx utu l tt u x u xxxxl t 2222 22 2222 ( , ),0,0, (0, )( , )0,(0, )( , )0,0, ( ,0)( ,0) ( ,0)( ),( )( ,0)0,0, WWVV aaf x txl t txtx WtW l tVtV l tt W xV x W xxxV xxl tt ( , )( , )(

16、 , )u x tV x tW x t 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 22 2 22 ( , ),0,0, (0, )( , )0,0, ( ,0) ( ,0)0,0, VV af x txl t tx VtV l tt V x V xxl t 将将V（x,t）按）按W（x,t）的本征函数进行展开，如：）的本征函数进行展开，如： 1 ( )sin n n n Vv tx l 令：令： 若若 表达式与表达式与x无关或可以写成关于无关或可以写成关于x的正余弦的正余弦 形式，形式， 不用展开，否则，不用展开，否则， 也需要按也需要按W 的本征函数展开。的本征函数展开。 ( , )f x t (

17、 , )f x t ( , )f x t 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 将展开式代入原方程，注意等号两边的比对，代入初始将展开式代入原方程，注意等号两边的比对，代入初始 条件，化简叠加系数。具体内容参见课件中相关例题。条件，化简叠加系数。具体内容参见课件中相关例题。 222 2 ( ) ( )( ) (0)0, (0)0 nnn nn na vtvtft l vv ( ) n v t d)(sin)( 0 t l an f an l t n 本部分重点复习第三章课件中倒数第二个例题。本部分重点复习第三章课件中倒数第二个例题。 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 格林函数格林函数 主要掌握

18、使用格林函数求解三维拉普拉斯方程主要掌握使用格林函数求解三维拉普拉斯方程 1、 熟记第一格林公式和第二格林公式熟记第一格林公式和第二格林公式 ()() v u v dVuv dVudS n -第一格林公式 () vu uvdS nn ()u vv u dV -第二格林公式 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 2 拉普拉斯方程的钮曼问题拉普拉斯方程的钮曼问题 有解的必要条件有解的必要条件f n u | 0fdS 3 拉普拉斯方程解的唯一性问题拉普拉斯方程解的唯一性问题 结论结论 狄利克雷问题在原定解问题中的解是唯一确定的；狄利克雷问题在原定解问题中的解是唯一确定的； 钮曼问题的解在相差一个常数下

19、也是唯一确定的钮曼问题的解在相差一个常数下也是唯一确定的. 4、三维拉普拉斯方程的基本解、三维拉普拉斯方程的基本解. 1 v r 或 1 4 v r 222 000 ()rxxyyzz 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 （2）、二维拉普拉斯方程的基本解）、二维拉普拉斯方程的基本解. 1 lnv r 22 00 ()rxxyy 使用镜像法求上半空间内的格林函数使用镜像法求上半空间内的格林函数 ds n G uMu )( 0 ),( ),( , 0 zyxfu zyxu 在狄利克雷问题中在狄利克雷问题中 dS n G zyxfMu ),()( 0 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 z d d

20、q q p x o 0 MM r 1 MM r z d d q q x o 0 MM r 1 MM r 1 M 0 M M 01 0 111 , 4 M MM M G M M rr 为上半空间为上半空间 的格林函数的格林函数.0z | , GG nz 001 0 111 (,)() 4 MMOMMM R G M M rrr 球域内的格林函数：球域内的格林函数： 具体内容参见课件上相关例题。具体内容参见课件上相关例题。 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 贝塞尔函数贝塞尔函数 0 222 PnPP 在讨论圆盘区域内瞬时温度分布问题中遇到的n阶贝 塞尔方程 做代换做代换 , r 0 222 rFn

21、rrFrrFr n阶贝塞尔方程的标准形式. 熟记！熟记！ 熟记！熟记！ 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 2 222 2 ()0 d ydy xxxny dxdx 贝塞尔函数的级数解法贝塞尔函数的级数解法 ks k ss k ks k xaxaxaxaxy 1 10 0 )( 12 1 0 n a n21 0 m a 2 2 11 1 2!1 m m nm a mnm n阶贝塞尔方程的一个特解 2 0 1 () !12 m nm n m x Jx mnm 熟记！熟记！ 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 2 0 1 ( ) !12 m nm n m x Jx mnm 或 当 n 不为整数时,

22、 和 线性无关 xJ n xJ n n阶贝塞尔方程的通解为 xBJxAJy nn n xJnxJ xY nn n sin cos xDYxCJy nn 另两个特解 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 2 0 11 1() !2 nm m n mx mnm Jx 当n为整数时，有： 当n为整数时, 与 线性相关 xJ n xJ n n阶贝塞尔方程通解只可写为 xDYxCJy nn 贝塞尔函数的性质： 1 1 有界性有界性 )(xJ n )(xYn0 x)0( n Y 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 n n为偶数时，为偶数时， 为偶函数为偶函数)( xJ n n n为奇数时，为奇数时， 为奇函

23、数为奇函数)(xJ n 性质性质2 2 奇偶性奇偶性 () n Yx () n Yx 性质性质3 3 递推性（大题考点）递推性（大题考点） 1 d ( )( ) d nn nn xJxxJx x 1 d ( )( ) d nn nn x Jxx Jx x 01 d ( )( ) d JxJ x x 10 d ( )( ) d xJ xxJx x xJ x n xJxJ nnn 2 11 xJxJxJ nnn 2 11 具体内容参见课件上相关例题具体内容参见课件上相关例题 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 1 2 2 ( )sin Jxx x x x xJcos 2 )( 2 1 222 0P

24、PnP 贝塞尔方程贝塞尔方程 的本征值为的本征值为 ( ) ( )2 () , (1,2) n n m m m R 与本征值对应的本征函数为：与本征值对应的本征函数为： ( ) ( )(), (1,2) n m mn PJm R 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 ( )22 22( )2( ) 11 0 ()()() 22 n R nn m nnmnm RR rJr drJJ R 称为贝塞尔函数的称为贝塞尔函数的模。模。 傅立叶傅立叶- -贝塞尔级数贝塞尔级数 1m n m nm r R JArf drr R Jrrf J R A R n k n n kn k 0 2 1 2 2 1 数理方

25、程 南京邮电大学、应用数理系 往年考题往年考题 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 定解问题的适定性指的是定解问题的适定性指的是_。 1 1定解问题中的定解条件包含定解问题中的定解条件包含_， 2. 2. 边值问题边值问题 0 00,0 XxXx XXl 的固有值为的固有值为 n n _ ， x xX X n n _ ，n = _ n = _ 。 固有函数为固有函数为 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 先求出对应的齐次方程满足齐次边界条件的固有函数系，为先求出对应的齐次方程满足齐次边界条件的固有函数系，为 _，再设，再设 u( x, t)= _u( x, t)= _，将自，将自 由项按此函数系展由项按此函数系展开为开为_，一起代入原方程，利用初，一起代入原方程，利用初 始条件，求出待定函数，最后得始条件，求出待定函数，最后得u ( x,t ) = _。 3. 对于非其次方程的定解问题通常采用固有函数法求解，比如对对于非其次方程的定解问题通常采用固有函数法求解，比如对 定解问题定解问题 00 ,0 , , 0, 0 0,0,sin xuxu tlutu tlxx l uu t xxtt 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 5. 5. 贝塞尔方程贝塞尔方程 y yx xx xy yy yx x